專題06第六章三角函數【專題過關】類型一、已知正切值求邊長【解惑】在中，，如果，，那么________．【答案】8【分析】根據正切函數的定義求解即可．【詳解】解：如圖，

在中，，所以，因為，所以，故答案為：8．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握正切函數的定義．【融會貫通】1．在中，，若，，則．【答案】【分析】先證明，再利用勾股定理求解a即可．【詳解】解：如圖，，，，∴，，，∴，由，則，解得：；故答案為：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，熟記三角函數的定義與勾股定理是解本題的關鍵．2．如圖，在中，，于點，，，則的值為．

【答案】//【分析】由題意易證，即得出，從而得出，解出的值即可．【詳解】解：∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題考查同角的余角相等，正切的定義．證明出是解題關鍵．3．在中，，，，則．【答案】【分析】根據銳角三角函數的定義解答即可．【詳解】解：在中，，，，故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角函數的定義的運用．正切值等于對邊比鄰邊，掌握定義是解題的關鍵．4．如圖，在中，，的角平分線交于點，以為半徑作，交于點，交的延長線于點．

(1)判斷直線是否是的切線，請說明理由；(2)連接，在中，若，求的值．【答案】(1)直線是的切線，理由見解析(2)【分析】（1）根據角平分線的性質，結合題意，即可得證；（2）證明，根據正切的定義，相似三角形的性質即可求解【詳解】（1）直線是的切線，理由如下：，，如圖，作于點，是的角平分線，，是的半徑，直線是的切線；

（2）如圖，連接，是的直徑，，即．，即．，，，又，，．【點睛】本題考查了切線的性質與判定，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質與判定，正切的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．如圖，在中，，，，求的長．【答案】14【分析】過點A作，構造兩個直角三角形，再利用三角函數解直角三角形即可求得的長度．【詳解】解：過點A作，垂足為∵在中，，∴∴∴在中，，，【點睛】本題考查了用三角函數解直角三角形，解題的關鍵是掌握利用三角函數求線段長度的方法．類型二、已知正弦值求邊長【解惑】在中，，，，則的值是（）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】根據銳角三角函數定義，得出，然后把代入，求出的長，再根據勾股定理，計算即可得出的長．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數、勾股定理，解本題的關鍵在熟練掌握銳角三角函數定義．【融會貫通】1．如圖，在矩形，E是對角線上一點，，若，，則矩形的周長為．

【答案】17【分析】根據矩形的性質可得，從而得到，可設，從而得到x的值，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，∴，∴，∵，∴，可設，∴，∵，∴，∴，∴，∴矩形的周長為．故答案為：17【點睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質，熟練掌握銳角三角函數，矩形的性質是解題的關鍵．2．在中，，，，則______.【答案】8【分析】根據銳角三角函數和勾股定理進行計算即可．【詳解】解：在中，，∵，，∴，∴，則，故答案為：8．【點睛】本題考查銳角三角函數，勾股定理，理解銳角三角函數的定義以及勾股定理是正確解答的關鍵．3．如圖，在中，，，，則．【答案】10【分析】根據銳角三角函數的意義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查銳角三角函數，掌握銳角三角函數的定義是解決問題的前提．4．如圖，在直角坐標平面內，O為原點，點A的坐標為，點B在第一象限內，，．則點B的坐標為；．

【答案】/【分析】①由題意，過點B作于H，根據，，可得，即可得出；②根據題意，，可得，所以，在中，可得．【詳解】解：①如圖，過點B作于H，

∵，，∴，∴點B的坐標為；故答案為：；②∵，∴，∴在中，．故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，由直角三角形已知元素求未知元素的過程，只要理解直角三角形中邊角之間的關系即可求解．5．如圖所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周長及面積．【答案】(1)(2)；【分析】（1）根據銳角三角形函數的定義求得，根據勾股定理求得，根據銳角三角形函數的定義即可求解；（2）結合（1）中結論即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：的周長，．【點睛】本題考查了銳角三角形函數，勾股定理，三角形的面積公式等，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．類型三、已知余弦值求邊長【解惑】在中，，，，則的長為（

）A．10 B．24 C．5 D．12【答案】A【分析】根據余弦的定義可得，將代入即可求得的長，再利用勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖，在中，

，，，故選：A．【點睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關鍵，在中，，也考查了勾股定理．【融會貫通】1．如圖，在中，點D，E分別是邊的中點，于點F，，，則的長為（

）

A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】由直角三角形斜邊上中線的性質可求得，再由余弦定義即可求得結果．【詳解】解：∵D、E分別是邊的中點，，∴，，∴，∴，在中，，∴；故選：C．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上中線的性質，余弦函數，掌握這些知識是關鍵．2．如圖，在直角坐標平面內，點與原點的距離，線段與軸正半軸的夾角為，且，則點的坐標是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作軸于點B，如圖，先根據余弦的定義求出，再利用勾股定理求出，進而得解.【詳解】解：作軸于點B，如圖，∵，，∴，∴，∴點的坐標是；故選：D.

【點睛】本題考查了余弦的定義和勾股定理，熟知余弦的定義是解題的關鍵.3．在中，，，如果，那么．【答案】【分析】根據余弦定義求得，再根據勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查余弦定義、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數是解答的關鍵．4．如圖，在中，，，．

(1)求的長；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據余弦等于鄰邊除以斜邊代入求出，再結合勾股定理即可得到答案；（2）根據正弦等于對邊除以斜邊代入求解解即可得到答案；【詳解】（1）解：在中，，∴，∴（2）解：∵在中，，，，∴；【點睛】本題考查正弦，余弦，解題的關鍵是熟練掌握：余弦等于鄰邊除以斜邊，正弦等于對邊除以斜邊．5．如圖，在平行四邊形中，，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由，推出，可知四邊形是平行四邊形，再根據可得結論；（2）解直角三角形求出的長即可解決問題；【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵是的中點，∴∴在與中，∴∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵，∴四邊形是菱形（2）∵四邊形是菱形，∴，∴∵∴∴∵，∴，∴.【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．類型四、特殊角的三角函數的混合運算【解惑】計算：．【答案】【分析】將特殊三角函數值代入，利用有理數混合運算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了特殊三角函數值，解題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值，結合有理數的混合運算法則．【融會貫通】1．計算：．【答案】【分析】根據特殊角的三角函數值和零指數冪的性質計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數計算和零指數冪的性質，牢記特殊角的三角函數值是解題關鍵．2．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數值代入，進而得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數值結合二次根式的性質化簡，進而得出答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．3．先化簡，再求代數式的值，其中．【答案】，【分析】運用乘法公式對分式進行化簡，再運用特殊值的三角函數計算出的值，代入求解并進行分母有理化即可．【詳解】解：，∵，∴原式，∴當時，原式．【點睛】本題主要考查運用乘法公式進行分式的化簡，求特殊值的三角形函數，代入求值，掌握以上知識的運算方法是解題的關鍵．4．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先把特殊角銳角函數值代入，再計算，即可求解；（2）先把特殊角銳角函數值代入，再計算，即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點睛】本題主要考查了特殊角銳角函數值的混合運算，熟練掌握特殊角銳角函數值是解題的關鍵．5．計算：．【答案】【分析】先用特殊角的三角函數值化簡，然后再進行計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值，牢記特殊角的三角函數值成為解答本題的關鍵．類型五、根據三角函數值判斷角的取值范圍【解惑】已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據特殊角的三角函數值求出，根據當是銳角時，其余弦隨角度的增大而減小即可求解，【詳解】解∶∵為銳角，且，又∵當是銳角時，其余弦隨角度的增大而減小，∴，故選∶C．【點睛】考查了特殊角的三角函數值和銳角三角函數的增減性的應用，注意：當角是銳角時，其正弦和正切隨角度的增大而增大，余弦和余切隨角度的增大而減小．【融會貫通】1．已知為銳角，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據正弦值隨著角度的增大而增大，進行判斷即可．【詳解】解：當時，，∵為銳角，正弦值隨著角度的增大而增大，∴；故選A．【點睛】本題考查特殊角的三角函數值．熟記特殊角的三角函數值，以及銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，是解題的關鍵．2．當時，的值是（

）A．大于 B．小于 C．小于 D．大于且小于【答案】D【分析】根據正弦函數的特殊值和三角函數值的性質解答．【詳解】解：當時，隨A的增大而增大，且，，．故選：D．【點睛】本題考查特殊角的三角函數值及函數的性質，屬于基礎知識點．3．若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊角的三角函數值得到，然后利用銳角的余弦值隨著角度的增大而減小求解．【詳解】解：，而，，，銳角的取值范圍為：．故選：B．【點睛】本題考查了銳角三角函數的增減性：當角度在間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）．也考查了特殊角的三角函數值．4．若為銳角，且，則（

）A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60°【答案】D【分析】首先確定在銳角范圍內，并且在此范圍內，正切函數值隨角度的增大而增大，由此判斷即可．【詳解】解：∵在銳角范圍內，正切函數值隨角度的增大而增大，∴，即，∴，故選：D．【點睛】本題考查三角函數的增減性，熟記特殊三角函數值，理解三角函數的增減性是解題關鍵．5．若cos∠1=0.8，則∠1的度數在（

）范圍內．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判斷得到正確答案．【詳解】解：∵，，∴∴故選：【點睛】本題考查根據銳角三角函數的數值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數值是關鍵．類型六、利用同角三角函數關系求值【解惑】若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對原式左右兩邊進行平方計算，然后結合同角三角函數關系求解即可．【詳解】解：∵，∴，即：，∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查同角三角函數之間的關系，熟記并熟練運用基本結論是解題關鍵．【融會貫通】1．已知是銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】根據一個角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，計算即可得出結果．【詳解】解：是銳角，，．故選：A．【點睛】本題主要考查了互余兩角的三角函數的關系，解題的關鍵是掌握一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即．2．在中，，若，則的值為．【答案】【分析】設，根據勾股定理求出的長，再根據即可【詳解】解：如圖所示，，設，

則，．故答案為：．【點睛】此題考查了同角的三角函數，勾股定理，關鍵是熟練運用數形結合的數學方法．3．如圖，在平面直角坐標系中，是第一象限內的點，且，則．【答案】【分析】根據在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，可得答案．【詳解】解：如圖：作于C點，∵，∴，，∵，∴，由勾股定理，得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．4．計算：．【答案】【分析】根據同一個角正弦的平方與余弦的平方的和等于1，和特殊角的三角函數值求解即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查特殊角三角函數值的混合運算．掌握同一個角正弦的平方與余弦的平方的和等于1，特殊角的三角函數值是解題關鍵．5．嘉嘉在某次作業中得到如下結果：，，，，．據此，嘉嘉猜想：對于任意銳角，，若，均有．(1)當，時，驗證是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結合如圖所示給予證明，其中所對的邊為，所對的邊為，斜邊為；若不成立，請舉出一個反例；(3)利用上面的證明方法，直接寫出與，之間的關系．【答案】(1)成立，見解析(2)成立，見解析(3)【分析】（1）直接根據特殊角的三角函數值代入計算驗證即可；（2）根據正弦函數的定義列出，，結合勾股定理整理化簡即可證得結論；（3）根據正切函數的定義列出表達式，然后結合中，，，再變形代入整理即可得出結論．【詳解】（1）解：∵，，∴，結論成立；（2）解：成立．理由如下：在中，，且，∴，故結論成立；（3）解：，理由如下：在中，，，，∴，∴．【點睛】本題考查余角之間的三角函數關系，以及同角三角函數關系的推理證明，理解三角函數的基本定義，靈活變形構造是解題關鍵．類型七、求證同角三角函數關系式【解惑】常聽到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述話語中所含有的數學語言應正確表達為（

）（假設有任意角α）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意即可寫出式子．【詳解】解：“正弦平方加余弦平方”的數學語言為：，故選：B．【點睛】本題考查同角三角函數關系，明確題意，用數學語言正確表達是解題的關鍵．【融會貫通】1．已知：，，，請你根據上式寫出你發現的規律．【答案】【分析】從角度的倍數關系方面考慮并總結寫出結論．【詳解】根據題意發現：同一個角正弦與余弦的積等于這個角的2倍的正弦的一半，規律為：.故答案為.【點睛】本題考點：同角三角函數的關系.2．下列結論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號）①；②；③當時，；④．【答案】①③④【分析】根據同角三角函數關系及銳角三角函數的增減性進行判斷即可．【詳解】解：①如圖，在中，∵，，∴，故①正確；②若，則，，∴∴，故②錯誤；③當時，，∴越大，對邊越大，且越接近斜邊，∴越大，∴當時，，故③正確；④∵，，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了同角三角函數的關系及銳角三角函數的增減性，掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵．3．如圖，在中，、、三邊的長分別為、、，則，，．我們不難發現：，試探求、、之間存在的一般關系，并說明理由．

【答案】；，理由見解析【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根據題意得出，即可得出．【詳解】存在的一般關系有：，，證明：，，，，，，．【點睛】本題考查了同角三角函數的關系，勾股定理的知識，熟練應用銳角三角函數關系是解答本題的關鍵．4．如圖，在中，，，，求、的長．【答案】【分析】過作，交于點，利用銳角三角函數和勾股定理解直角三角形即可．【詳解】解：過作，交于點，則：，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查解直角三角形．熟練掌握銳角三角函數的定義，利用銳角三角函數解直角三角形是解題的關鍵．5．（1）如圖，銳角α和線段m，用尺規作出一個以線段m為直角邊，α為內角，為的（保出作圖痕跡，不寫作法）．（2）根據（1）中所畫圖形證明．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作線段，過點作，作，射線，交于點，即為所求；（2）利用勾股定理，三角函數的定義證明即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．

（2）證明：，，，，．【點睛】本題考查了作一個角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數，熟練掌握勾股定理和三角函數是解題關鍵．類型八、互余兩角三角函數的關系【解惑】在中，，，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據各個三角函數的定義即可解答．【詳解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合題意；B、，∴，故B成立，符合題意；C、，∴，故C不成立，不符合題意；D、，∴，故D不成立，不符合題意；故選：B．

【點睛】本題主要考查了三角函數的定義，解題的關鍵的數量掌握各個三角函數的求法．【融會貫通】1．已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據特殊角的三角函數值，，，再由余弦函數值在銳角范圍內，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內，余弦函數值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點睛】本題考查利用特殊角的三角函數值及余弦函數的性質比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數值性質是解決問題的關鍵．2．在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余兩角的三角函數關系求解，即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了互余兩角的三角函數關系，解題關鍵是掌握一個角的正弦值等于它的余角的余弦值．3．在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，設，則，根據余弦的定義即可得到答案．【詳解】解：在中，，，設，則，∴．故選：A．

【點睛】此題考查了銳角三角函數的定義等知識，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．4．已知，，則．【答案】/【分析】應用互余兩角三角函數的關系進行計算即可得出答案．【詳解】解：根據題意可得，，，，，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了互余兩角三角函數的關系，熟練掌握互余兩角三角函數的關系進行求解是解決本題的關鍵．5．同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．【答案】【分析】先根據求出，把變為，然后根據計算即可．【詳解】解：如圖，在中，

∵，∴．∵，∴．∵為銳角，∴．∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數的運算，正確理解所給計算公式是解答本題的關鍵．類型九、解直角三角形的相關計算【解惑】如圖，矩形中，，對折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點的對應點落在上，折痕是，連接，若，則點的長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形性質和折疊性質可得，，，，可得，從而可得，可得，從而可得的長，，即可求解，進而求出的長．【詳解】解：四邊形是矩形，，由折疊性質可得：，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，故選：．【點睛】本題考查折疊性質，長方形的性質，角的直角三角形等知識點，解題的關鍵是利用邊之間的關系推出．【融會貫通】1．如圖，在正方形中，，點是邊上的動點（點不與端點重合），的垂直平分線分別交于點，當時，的長為（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖作于．首先證明，設，則，可得，根據，，【詳解】解：如圖作于．

四邊形是正方形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，設，則，垂直平分線段，，，，，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數、線段的垂直平分線等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．如圖，在中，，，，點、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點的對應點落在邊的延長線上．如果平分，那么的長度為．【答案】【分析】由翻折得出，再根據平分，得出，然后借助相似列出方程即可．【詳解】解：作于H，在紙片中，，由勾股定理得：，∵將沿翻折得，∴，∵平分，∴，∴，設，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案是：．【點睛】本題考查了以直角三角形為背景的翻折問題，緊扣翻折前后對應線段相等、對應角相等來解決問題，通過相似表示線段和列方程是解題本題的關鍵．3．在中，，，則．（用含的式子表示）【答案】【分析】根據過點A作交于D，得，在中，即可求得答案．【詳解】解：過點A作交于D，如圖∵，∴，在中，，得，故．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和直角三角形中余弦的定義，解題的關鍵是作輔助線構造直角三角形．4.銳角α滿足，則．【答案】/【分析】根據銳角三角函數的定義以及勾股定理進行計算即可．【詳解】解：如圖，，，，則，

由于，可設，則，所以，∴，故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角函數、勾股定理，理解銳角三角函數的定義以及勾股定理是正確解答的前提．5.已知，是銳角，則.【答案】【分析】根據求得的值，再根據求出即可．【詳解】解：，是銳角，，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數，解題的關鍵是掌握正弦函數、余弦函數、正切函數之間的關系．類型十、解非直角三角形【解惑】如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據，，算出和，再根據，算出，最后根據計算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了用銳角三角函數解非直角三角形，作垂直構造直角三角形是解題的關鍵．【融會貫通】1．已知在中，，，，則（）A． B． C