八年級數學上冊勾股定理全章導學案

1-1探索勾股定理(1)

學習目標：

L體驗勾股定理的探索過程，認識勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數量關系；

2.會初步證明勾股定理進行簡單的計算.

重點和難點：

初步認識勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題.

學習過程：

一、閱讀教材2-3頁的內容，請完成以下問題：

1.什么是勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于的平方。這就是著名的“勾股定理”也就是說：如果

直角三角形的兩直角邊為。力，斜邊為c,那么.

試一試：在RtAABC中，4=90。，若a=3,b=4,則。=.

二、合作探究學習

1.探究1：

首先請同學們分小組活動：在紙上作出若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，看看三

邊長的平方之間有什么樣的關系？與同伴交流。

2.探究2:

⑴觀察書上圖1-2(左),

正方形A中有個小方格，即A的面積為個單位；

正方形B中有個小方格，即B的面積為個單位；

正方形C中有個小方格，即C的面積為個單位。

⑴你是怎樣得出上面的結果的？

圖1-3

（2）上面A,B,C之間的面積的大小關系：

3,觀察書上圖1-3（左），

正方形A中有個小方格,即A的面積為個單位;正方形B中有個小方

格，即B的面積為個單位；

正方形C中有個小方格，即C的面積為個單位。

上面A,B,C之間的面積大的大小關系：

3.探究3:

如果直角三角形的兩直角邊分別為L6個單位長度和2.4個單位長度，上面所猜想的數量關

系還成立嗎？說明你的理由。

想一想：經過前面的探索你能發現直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

小結：直角三角形三邊長度之間的關系：

直角三角形兩直角邊的平方和等于的平方。這就是著名的“勾股定理”也就是說：如果

用。力和c分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊，那么___________________.

三、當堂檢測

1.解決教材2頁圖1-1中的問題和教材3頁隨堂練習第1題

2.填空題:已知在RtAABC中，ZC=90°.

①若a=6,b=8,則c=;

②若a=40,b=9,貝|Jc=;

③若a=5,c=13,貝!JA=;

④若a：6=3：4,c-10,貝ija~,b-.

3.直角三角形的兩邊長為4,5,則第三邊長的平方為（）

A、9B、9或41C、41D、無法確定

4.在RtAABC中，ZACB=90,于點D,AABC的周長是24,BC:AC=3:4,求

AB和CD的長.

四、課堂小結

什么是勾股定理?

五、課后作業:

1.教材4頁習題1.11-4題

2.如圖，小張為測量校園內池塘A,B兩點的距離，他在池塘邊選定一

點C,使NABC=90。，并測得AC長26m,BC長24m,則A,B兩

點間的距離為m.

3.如圖，已知直角AABC的兩直角邊分別為6,8,分別以其三邊為直徑作半圓，求圖中陰影

部分的面積.

1.1探索勾股定理(2)

學習目標：

1.經歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數學活動中發展學生的探究意識和

合作交流的習慣.

2、會用勾股定理解決直角三角形中的簡單問題

重點和難點：

能熟練運用拼圖的方法證明勾股定理

學習準備：

課前每人準備四個全等的直角三角形

學習過程：

一、閱讀教材4-6頁的內容，請完成以下問題：

1.今天我們將研究利用拼圖的方法驗證勾股定理，請你利用自己準備的四個全等的直角三角

形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形.

2.選擇自己最喜歡的拼圖方法，驗證勾股定理

二、合作探究學習

1.探究1：

觀察教材6頁圖1-8,判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a?+h2=C2.

2.探究2:

例題：我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發現一輛敵方汽車在公路上疾馳.

他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m,10s后，汽車與他相距500m,你能幫小

王計算出敵方汽車的速度嗎？

請寫出您的分析與解答:

三、當堂檢測

1.教材6頁隨堂練習

C

d

2.在RtAABC中，ZC=90°R力」

(1)若。=5,b=12,貝!Jc=;

(2)b=8,c=17,則SAABC=.(提示先構好圖)

3.小明想知道學校旗桿的高，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多1m,當它把繩子的下端拉

開5m后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿的高為()

A.8cmB.10cm(C)12cm(D)14cm

4.直角三角形的兩直角邊分別為5、12,則斜邊上的高為()

8060

A.6B.8(C)一(D)一

1313

5.如圖，在AA3C中，ZACB=90°,BC=15,AC=20,CD是高.

⑴求AB的長；

⑵求AASC的面積;

⑶求。的長.

四、課堂小結

這節課你學到了什么知識？你還有什么疑問需要解決?

五、課后作業：

1.教材6頁習題1.21-4題

2.等腰三角形的腰長為13cm,底邊長為10cm,則面積為（）.

A.30cm2B.130cm2C.120cm2D.60cm2

3.折疊長方形ABC。的一邊AO,使點。落在8c邊的尸點處，若A3=8cm,BC=10cm,求

EC的長.

1.2一定是直角三角形嗎

學習目標：

1.經歷用試驗的方法說明勾股定理逆定理是正確的過程，在數學活動中發展學生的

探究意識和合作交流的習慣；

2.能認識勾股定理逆定理和他的簡單應用.

重點和難點：

能熟練用勾股定理逆定理解決實際問題.

學習準備：

直角三角形中，三邊長度之間滿足什么樣的關系？

學習過程：

一、閱讀教材%10頁的內容，請完成以下問題：

1.直角三角形的判定方法：

(1)；

(2)如果三角形的三邊長a,6，c滿足/+〃=/,那么這個三角形是直角三角形.

試一試：

①在"BC中，若NA=35。,N8=55。，則AABC_直角三角形(填“是”或“不是”)；

②在AABC中，AB=6,BC=8,AC=1(),則AABC___直角三角形(填"是''或"不是”).

2.什么是勾股數

滿足/+〃=c2的三個數，稱為勾股數.如:.

二、合作探究學習

1.探究1：

下面有三組數，分別是一個三角形的三邊長a,Ec,

①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17;

(1)這三組數都滿足/+〃=c2嗎？

(2)分別用每組數為三邊作三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？

(3)得出結論：______________________________________

2.探究2:

例：一個零件的形狀如圖，按規定這個零件中NA與NBDC都應為直角，工人師傅量得

零件各邊尺寸：40=4,AB=3,DC=12,BC=13,這個零件符合要求嗎？

請寫出您的分析與解答：

13C

D12

4

A3

3.探究3:拓展

在/J7&4A7中，NC=90°,切1四于D,

求證：AB2=AD2+DB2+2CD2

請寫出您的分析與證明：

三、當堂檢測

1.以下列長度（單位：cm）為邊長的三角形是直角三角形的是（）

A.5,6,7B.7,8,9C.6,8,10D.5,7,9

2.若三條線段。、b、c滿足/+。2=>,這三條線段組成的三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.對角三角形D.無法判斷

3.八43。的三邊為。,4，且（“+份（。一。）=。2,貝！j（）

A.邊a的對角是直角B.0邊的對角是直角C.c邊的對角是直角D.是斜三角形

4.如果直角三角形的兩直角邊的長分別為9、12,則斜邊長為

5.若有兩根木棒長度分別是15cm和8cm,當第三根木棒長為時，方能圍成一個直

角三角形.

6、已知：四邊形ABCD中，BD、AC相交于O,且BD垂直AC,

求證：.2-------

A

B

四、課堂小結

怎樣判定一個三角形是直角三角？

五、課后作業：

1.教材10頁習題1.31-5題

2.已知a,b,c為AABC的三邊長，且滿足a2c2-b2c2=a4-h4,判斷AABC的形狀（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等

腰三角形或直角三角形C

3.已知：如圖，在AA5C中，是邊上的高，且5=4。必。.\

求證：AA3C是直角三角形.N______LA

BDA

L3勾股定理的應用

學習目標：

1.能證明勾股定理與直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡單的實際問題.

2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模

的思想.

重點和難點：

探索、發現給定事物中隱含的勾股定理及其逆定理，并用它們解決生活中的實際問題.

學習過程：

一、閱讀教材13-14頁的內容，請完成以下問題：

1.欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少\

C

B

5

需梯子的長度為__________.

2.在立體圖形中求最小值路線長度時，常將立體圖形的表面_____轉化為平面圖形來解決

問題.

二、合作探究學習

1.探究1：螞蟻怎樣走最近

如圖所示，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱下底面的A點有

一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物.

(1)仔細觀察自己準備好的圓柱，并畫出螞蟻從A點到B點有哪幾種路線圖？.

⑵你認為哪條路線最短？mB

(3)最短路程是多少？Qi的值取3)

小結：利用展開圖中___________________________解決問題.

2.探究2:驗證垂直問題

如圖是一尊雕塑，李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB,

但他隨身只帶了卷尺.

(1)李叔叔隨身只帶了卷尺檢測AD、BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測一

ZDAB=,NCBA=.若連接BD或AC,也就是要檢測ADAB和ACB《吊,

A是否為一.溫

⑵李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊夕心將

垂直于AB邊嗎?

(3)小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂

直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？寫出你的檢驗方法.

3.探究3:

例：如右圖是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與

AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m.試求滑道AC的長。

請寫出您的分析與解答：

三、當堂檢測

1.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A、B都

是格點，則線段AB的長度為（

A.5B.6C.7

2.一直角三角形兩邊分別為5,

3.直角三角形的兩直角邊的比是3:4,而斜邊的長是20cm,那么這個三角形的面積是

4.甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8:00甲先出發，他以6km/h的速度向正東

行走，1小時后乙出發，他以5km/h的速度向正北行走.上午10一：0%甲、乙兩人相距多

遠？

四、課堂小結

這節課你學到了什么知識？你還有什么疑問需要解決?

五、課后作業：

1.教材14頁，習題1.41-5題

2..如圖所示是棱長為1的正方體，在A點處的螞蟻為了吃到B點處的食物，它爬行的最短

路程為.

3.如圖，圓柱形玻璃杯，高為12an,底面周長為18cm,在杯內離杯底4。”的點C處有

一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達

蜂蜜的最短距離是多少。77.

回顧與思考

學習目標：

1.熟記本章重要知識點.

2.牢記本章相關類型題的解決方法.

重點和難點：

勾股定理及其逆定理在實際生活中的應用.

學習過程：

一、知識回顧

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為。、b,斜邊為c,那么

即直角三角形的兩直角邊的等于斜邊的.

2.逆定理：如果三角形的三邊分別為。、b、c,且滿足,

那么這個三角形是直角三角形.

3.勾股數：三個正整數滿足則稱這三個數為勾股數.請任意

寫出三組勾股數：如.

二、當堂檢測

1.教材16頁復習題，第1—5題.小組派代表展示講解.

2.在448C中，ZC=90°,①若a=5,b=12,則c=:

②若c=10,a=3：4,則成＞=

3.等腰AA8C的面積為12cm2,底上的高AZ）=3cm,