./有理數(shù)基礎知識正數(shù)和負數(shù)⒈正數(shù)和負數(shù)的概念負數(shù)比0小的數(shù)；正數(shù)比0大的數(shù)0既不是正數(shù),也不是負數(shù)注意：①字母a可以表示任意數(shù),當a表示正數(shù)時,-a是負數(shù)；當a表示負數(shù)時,-a是正數(shù)；當a表示0時,-a仍是0。〔如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù),帶負號的數(shù)是負數(shù),這種說法是錯誤的,例如+a,-a就不能做出簡單判斷②正數(shù)有時也可以在前面加"+",有時"+"省略不寫。所以省略"+"的正數(shù)的符號是正號。具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量,則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量,比如：零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃3.0表示的意義⑴0表示"沒有",如教室里有0個人,就是說教室里沒有人；⑵0是正數(shù)和負數(shù)的分界線,0既不是正數(shù),也不是負數(shù)有理數(shù)有理數(shù)的概念⑴正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)〔0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)⑵正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)⑶正整數(shù),0,負整數(shù),正分數(shù),負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式,這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分數(shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①π是無限不循環(huán)小數(shù),不能寫成分數(shù)形式,不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分數(shù),都是有理數(shù)。注意：引入負數(shù)以后,奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶數(shù),-1,-3,-5…也是奇數(shù)。有理數(shù)的分類總結：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負整數(shù)〔也叫自然數(shù)②負整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)③正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負有理數(shù)④負有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)四對定義：①正負數(shù)負數(shù)比0小的數(shù)；正數(shù)比0大的數(shù)；0既不是正數(shù),也不是負數(shù)②奇偶數(shù)整數(shù)中,能表示成2的整數(shù)倍的數(shù),都是偶數(shù)；否則就是奇數(shù)。注意：0是偶數(shù)③非正數(shù)、非負數(shù)非正數(shù)就是0和所有負數(shù)的合稱。非負數(shù)就是0和所有正數(shù)的合稱。④有理數(shù)、無理數(shù)有理數(shù)：有理數(shù)分為正有理數(shù),負有理數(shù),0。有理數(shù)都可以化為小數(shù),其中整數(shù)可以看作小數(shù)點后面是零的小數(shù),只要是無限循環(huán)小數(shù)的都叫有理數(shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)。正負數(shù)例1：按要求選擇下列各數(shù)：8,3,0,-1.5,,-0.037,+0.62,-3,,,+2,-7屬于整數(shù)集合的有___屬于分數(shù)集合的有_____屬于正數(shù)集合的有____屬于負數(shù)集合的有_____屬于正整數(shù)集合的有____屬于負整數(shù)集合的有_____正分數(shù)集合的有_____屬于負分數(shù)集合的有_____屬于非整數(shù)集合的有________屬于非負數(shù)集合的有____屬于非負整數(shù)集合的有_________屬于非正整數(shù)集合的有______例2主動學習網飲料公司生產的一種瓶裝飲料外包裝上印有"600±30〔mL"字樣,請問"±30mL"是什么含義？質檢局對該產品抽查5瓶,容量分別為603mL,611mL,589mL,573mL,627mL,問抽查產品的容量是否合格？練習：1.若密云水庫的水位比標準水位高出3cm記為＋3cm,某月的水位記錄中顯示,1日水位為－5cm,2日水位為－1cm,3日水位為＋4cm,則〔A.1日與2日水位相差6cmB.1日與3日水位相差1cmC.2日與3日水位相差5cmD.均不正確2.籃球的質量,超過標準質量的克數(shù)記為正數(shù),不足標準質量的克數(shù)記為負數(shù),檢查的結果如下表：籃球編號12345與標準質量的差〔克+4+7-3-8+9最接近標準質量的是號籃球；質量最大的籃球比質量最小的籃球重克.3.判斷：1最小的自然數(shù)是1；2最小的整數(shù)是1；3一個有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身,則這個數(shù)是1；數(shù)軸⒈數(shù)軸的概念規(guī)定了原點,正方向,單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；⑵原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素,三者缺一不可；⑶同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。2.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關系⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示,正有理數(shù)可用原點右邊的點表示,負有理數(shù)可用原點左邊的點表示,0用原點表示。⑵數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù),也就是說,有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應關系。〔如,數(shù)軸上的點π不是有理數(shù)3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；⑵正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于負數(shù)；⑶兩個負數(shù)比較,距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。4.數(shù)軸上特殊的最大〔小數(shù)⑴最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù)⑵最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù)⑶最大的負整數(shù)是-1,無最小的負整數(shù)5.a可以表示什么數(shù)⑴a>0表示a是正數(shù)；反之,a是正數(shù),則a>0；⑵a<0表示a是負數(shù)；反之,a是負數(shù),則a<0⑶a=0表示a是0；反之,a是0,則a=06.數(shù)軸上點的移動規(guī)律根據(jù)點的移動,向左移動幾個單位長度則減去幾,向右移動幾個單位長度則加上幾,從而得到所需的點的位置。2.數(shù)軸例3在數(shù)軸上表示下列各數(shù),再按大小順序用"＜"號連接起來.-4,0,-4.5,-,2,3.5,1,例4如右圖所示,數(shù)軸的一部分被墨水污染了,被污染的部分內含有的整數(shù)為練習：實數(shù)在數(shù)軸上表示如圖所示,則結論錯誤的是B.C.D.數(shù)軸上有一點到原點的距離是5.5,那么這個點表示的數(shù)是_________.一個點從數(shù)軸的原點開始,先向右移3個單位長度,再向左移動5個單位長度,則終點表示的數(shù)是____.4.數(shù)軸上點A對應的數(shù)為-3,那么與A相距1個長度的點B所對應的數(shù)是_________.相反數(shù)⒈相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù),其中一個是另一個的相反數(shù),0的相反數(shù)是0。注意：⑴相反數(shù)是成對出現(xiàn)的；⑵相反數(shù)只有符號不同,若一個為正,則另一個為負；⑶0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。2.相反數(shù)的性質與判定⑴任何數(shù)都有相反數(shù),且只有一個；⑵0的相反數(shù)是0；⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,和為0的兩數(shù)互為相反數(shù),即a,b互為相反數(shù),則a+b=03.相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數(shù),是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個數(shù),在數(shù)軸上的對應點〔0除外在原點兩旁,并且與原點的距離相等。0的相反數(shù)對應原點；原點表示0的相反數(shù)。說明：在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個點關于原點對稱。4.相反數(shù)的求法⑴求一個數(shù)的相反數(shù),只要在它的前面添上負號"-"即可求得〔如：5的相反數(shù)是-5；⑵求多個數(shù)的和或差的相反數(shù)是,要用括號括起來再添"-",然后化簡〔如；5a+b的相反數(shù)是-〔5a+b。化簡得-5a-b；⑶求前面帶"-"的單個數(shù),也應先用括號括起來再添"-",然后化簡<如：-5的相反數(shù)是-〔-5,化簡得5>5.相反數(shù)的表示方法⑴一般地,數(shù)a的相反數(shù)是-a,其中a是任意有理數(shù),可以是正數(shù)、負數(shù)或0。當a>0時,-a<0〔正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)當a<0時,-a>0〔負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)當a=0時,-a=0,〔0的相反數(shù)是06.多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律:"+"號的個數(shù)不影響化簡的結果,可以直接省略；"-"號的個數(shù)決定最后化簡結果；即："-"的個數(shù)是奇數(shù)時,結果為負,"-"的個數(shù)是偶數(shù)時,結果為正。相反數(shù)例5〔1－3與互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是.〔2的相反數(shù)是,的相反數(shù)是,的相反數(shù)是.〔3已知那么的相反數(shù)是.已知,則a的相反數(shù)是.例6如果,化簡下列各數(shù)的符號,并說出是正數(shù)還是負數(shù)〔2〔3〔4例7一個數(shù)的相反數(shù)的倒數(shù)是-4,這個數(shù)是__________如果與-3互為相反數(shù),那么等于<>絕對值⒈絕對值的幾何定義一般地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值,記作|a|。2.絕對值的代數(shù)定義⑴一個正數(shù)的絕對值是它本身；⑵一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；⑶0的絕對值是0.可用字母表示為：①如果a>0,那么|a|=a；②如果a<0,那么|a|=-a；③如果a=0,那么|a|=0。可歸納為①：a≥0,<═>|a|=a〔非負數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)。②a≤0,<═>|a|=-a〔非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。3.絕對值的性質任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù),也就是說絕對值具有非負性。所以,a取任何有理數(shù),都有|a|≥0。⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0<═>|a|=0；⑵一個數(shù)的絕對值是非負數(shù),絕對值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0；⑶任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|≥a；⑷絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個,它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a〔a>0,則x=±a；⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b|；⑹絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|,則a=b或a=-b；⑺若幾個數(shù)的絕對值的和等于0,則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。〔非負數(shù)的常用性質：若幾個非負數(shù)的和為0,則有且只有這幾個非負數(shù)同時為04.有理數(shù)大小的比較⑴利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個數(shù)相比較,左邊的總比右邊的小；⑵利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小：兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而小；異號兩數(shù)比較大小,正數(shù)大于負數(shù)。5.絕對值的化簡①當a≥0時|a|=a②當a≤0時|a|=-a6.已知一個數(shù)的絕對值,求這個數(shù)一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離,一般地,絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個,它們互為相反數(shù),絕對值為0的數(shù)是0,沒有絕對值為負數(shù)的數(shù)。絕對值例7：求絕對值.：〔10.5；〔2；〔3－〔－3；〔4－∣1.5∣.例8已知∣x∣=4,∣y∣=6,求代數(shù)式∣x+y∣的值.練習：的倒數(shù)是2..計算=____________.3..絕對值不大于3的整數(shù)有4..已知有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法法則⑴同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加；⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值；⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加,和為零；⑷一個數(shù)與零相加,仍得這個數(shù)。2.有理數(shù)加法的運算律⑴加法交換律：a+b=b+a⑵加法結合律：<a+b>+c=a+<b+c>在運用運算律時,一定要根據(jù)需要靈活運用,以達到化簡的目的,通常有下列規(guī)律：①互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加——"相反數(shù)結合法"；②符號相同的兩個數(shù)先相加——"同號結合法"；③分母相同的數(shù)先相加——"同分母結合法"；④幾個數(shù)相加得到整數(shù),先相加——"湊整法"；⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——"同形結合法"。3.加法性質一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負數(shù)后的和比原數(shù)小；加0后的和等于原數(shù)。即⑴當b>0時,a+b>a⑵當b<0時,a+b<a⑶當b=0時,a+b=a4.有理數(shù)減法法則減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+<-b>。5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中,根據(jù)有理數(shù)減法法則,可以將減法轉化成加法后,再按照加法法則進行計算。在和式里,通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫,寫成省略加號的和的形式。如：<-8>+<-7>+<-6>+<+5>=-8-7-6+5.6.有理數(shù)加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：Ⅰ.把符號相同的加數(shù)相結合〔同號結合法Ⅱ.把和為整數(shù)的加數(shù)相結合〔湊整法Ⅲ.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結合〔同分母結合法Ⅳ.既有小數(shù)又有分數(shù)的運算要統(tǒng)一后再結合〔先統(tǒng)一后結合Ⅴ.把帶分數(shù)拆分后再結合〔先拆分后結合Ⅵ.分組結合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69Ⅶ.先拆項后結合〔1+3+5+7…+99-〔2+4+6+8…+100有理數(shù)的加法<1>67+<-73>；<2><-84>+<-59>；<3>33+48；<4><-56>+37．<-0.9>+<-2.7>；<6>3.8+<-8.4>；<7><-0.5>+3；<8>3.29+1.78；有理數(shù)的減法-30-<+8>-<+6>-<-17><2>︱-15︱-<-2>-<-5>-0.8-<-0.08>-<-0.8>-<-0.92>-<-9>〔410-[〔-8+〔-3-〔-5]〔5-1-〔6-9-〔1-13有理數(shù)的混合運算〔有括號的先算括號里面的〔125.3＋〔－7.3＋〔－13.7＋7.3〔2－4.27＋3.8－0.73＋1.2〔433.1－10.7－〔－22.9－〔5〔-6-〔+6-〔-7〔60-〔+8+〔-27-〔+5<->+<+0.25>+<->-<+><8><+3>+<+4>-<+1>+<-3>〔910-[〔-8+〔-3-〔-5]〔10-1-〔6-9-〔1-13[1.8-<-1.2+2.1>-0.2]-<-1.5>-︱--〔-︱-︱〔-+〔-︱有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘；〔"同號得正,異號得負"專指"兩數(shù)相乘"的情況,如果因數(shù)超過兩個,就必須運用法則三法則二：任何數(shù)同0相乘,都得0；法則三：幾個不是0的數(shù)相乘,負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時,積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時,積是負數(shù)；法則四：幾個數(shù)相乘,如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2.倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù),其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù),用式子表示為a·=1〔a≠0,就是說a和互為倒數(shù),即a是的倒數(shù),是a的倒數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②求假分數(shù)或真分數(shù)的倒數(shù),只要把這個分數(shù)的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數(shù)的倒數(shù)時,先把帶分數(shù)化為假分數(shù),再把分子、分母顛倒位置；③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。〔求一個數(shù)的倒數(shù),不改變這個數(shù)的性質；④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。3.有理數(shù)的乘法運算律⑴乘法交換律：ab=ba⑵乘法結合律：<ab>c=a<bc>.⑶乘法分配律：a<b+c>=ab+ac4.有理數(shù)的除法法則〔1除以一個不等0的數(shù),等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。〔2兩數(shù)相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù),都得05.有理數(shù)的乘除混合運算〔1乘除混合運算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號,最后求出結果。〔2有理數(shù)的加減乘除混合運算,如無括號指出先做什么運算,則按照‘先乘除,后加減’的順序進行。有理數(shù)的乘除〔15×〔－4=；〔2〔-6×4=；〔3〔-7×〔-1=；〔4〔-5×0=；〔5；〔6；〔7〔-3×2、填空：〔1-7的倒數(shù)是,它的相反數(shù)是,它的絕對值是；的倒數(shù)是,-2.5的倒數(shù)是；倒數(shù)等于它本身的有理數(shù)是。的倒數(shù)的相反數(shù)是。3、計算：〔1；〔2<-6>×5×；〔3〔-4×7×〔-1×〔-0.25〔4〔5；〔6；〔7〔8。〔9〔10。<11>〔12<13>〔－85×〔－25×〔－4；<14>－9×〔－11+12×〔－9有理數(shù)的除法〔1；〔2=；〔3；〔4；〔5；〔6.2、化簡下列分數(shù)：〔1；〔2；〔3；〔4.3、計算：〔1〔2〔3；〔4〔5〔6；〔7〔8；〔9〔10.〔1111+〔—22—3×〔—11有理數(shù)的乘方1.乘方的概念求n個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方,乘方的結果叫做冪。在中,a叫做底數(shù),n叫做指數(shù)。2.乘方的性質〔1負數(shù)的奇次冪是負數(shù),負數(shù)的偶次冪的正數(shù)。〔2正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是0。一．選擇題1、118表示〔A、11個8連乘B、11乘以8C、8個11連乘D、8個別1相加2、－32的值是〔A、－9B、9C、－6D、63、下列各對數(shù)中,數(shù)值相等的是〔A、－32與－23B、－23與<－2>3C、－32與<－3>2D、<－3×2>2與－3×224、下列說法中正確的是〔A、23表示2×3的積B、任何一個有理數(shù)的偶次冪是正數(shù)C、－32與<－3>2互為相反數(shù)D、一個數(shù)的平方是,這個數(shù)一定是5、下列各式運算結果為正數(shù)的是〔A、－24×5B、<1－2>×5C、<1－24>×5D、1－<3×5>66、如果一個有理數(shù)的平方等于<－2>2,那么這個有理數(shù)等于〔A、－2B、2C、4D、2或－27、一個數(shù)的立方是它本身,那么這個數(shù)是〔A、0B、0或1C、－1或1D、0或1或－18、如果一個有理數(shù)的正偶次冪是非負數(shù),那么這個數(shù)是〔A、正數(shù)B、負數(shù)C、非負數(shù)D、任何有理數(shù)9、－24×<－22>×<－2>3=〔A、29B、－29C、－224D、22410、兩個有理數(shù)互為相反數(shù),那么它們的次冪的值〔A、相等B、不相等C、絕對值相等D、沒有任何關系11、一個有理數(shù)的平方是正數(shù),則這個數(shù)的立方是〔A、正數(shù)B、負數(shù)C、正數(shù)或負數(shù)D、奇數(shù)12、<－1>2001＋<－1>2002÷＋<－1>2003的值等于〔A、0B、1C、－1D、2二、填空題1、<－2>6中指數(shù)為,底數(shù)為；4的底數(shù)是,指數(shù)是；的底數(shù)是,指數(shù)是,結果是；2、根據(jù)冪的意義,<－3>4表示,－43表示；3、平方等于的數(shù)是,立方等于的數(shù)是；4、一個數(shù)的15次冪是負數(shù),那么這個數(shù)的2003次冪是；5、平方等于它本身的數(shù)是,立方等于它本身的數(shù)是；6、,,；7、,,的大小關系用"＜"號連接可表示為；8、如果,那么是；9、；10、如果一個數(shù)的平方是它的相反數(shù),那么這個數(shù)是；如果一個數(shù)的平方是它的倒數(shù),那么這個數(shù)是；11、若,則0計算題1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、有理數(shù)的混合運算做有理數(shù)的混合運算時,應注意以下運算順序：1.先乘方,再乘除,最后加減；2.同級運算,從左到右進行；3.如有括號,先做括號內的運算,按小括號,中括號,大括號依次進行。科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式〔其中,n是正整數(shù),這種記數(shù)法是科學記數(shù)法。一、選擇題1、