【學生版】專題02等式與不等式第2章等式與不等式【課本目錄】2.1等式與不等式的性質：2.1.1等式的性質與方程的解集；2.1.2一元二次方程的解集與根與系數的關系；2.1.3不等式的性質2.2不等式的求解：2.2.1一元一次不等式及一元一次不等式組的求解；2.2.2一元二次不等式的求解；2.2.3分式不等式的求解；2.2.4含絕對值不等式的求解2.3基本不等式及其應用；2.3.1平均值不等式及其應用（1）；2.3.1平均值不等式及其應用（2）；2.3.2三角不等式；本章內容提要實數大小的比較：；；；等式的基本性質傳遞性如果，且，那么；加法性質如果，，那么；乘法性質如果，，那么；不等式的基本性質傳遞性如果，且，那么；加法性質如果，，那么；乘法性質如果，，那么；如果，，那么；一元二次方程的根與系數關系：設（）的兩根為、，則，；5.一元二次不等式的求解（下表中均假設，而）有兩不同實根有兩相同實根無實根解集為解集為解集為全體實數集解集為解集為全體實數集解集為全體實數集解集為解集為空集解集為空集解集為解集為解集為空集6.基本不等式平均值不等式（，）當且僅當時等號成立；常用不等式，當且僅當時等號成立；，當且僅當時等號成立.三角不等式，當且僅當時等號成立；題型1、比較兩數（式）的大小例1、（1）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關系是（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不確定（2）若a＞0，b＞0，則p＝與q＝的大小關系是【說明】比較大小常用的方法：1、作差(商)法：作差(商)?變形?判斷；2、構造函數法：利用函數的單調性比較大小；3、中間量法：利用中間量法比較兩式大小，一般選取“0”或“1”作為中間量；題型2、涉及對不等式性質的理解

例2、（1）若a＞b，則下列結論正確的為（）

A．ln(a－b)＞0B．3a＜3b

C．a3－b3＞0D．|a|＞|b|

（2）對于實數a，b，c，下列命題中正確的序號是

①若a＞b，則ac＜bc；②若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2；

③若c＞a＞b＞0，則eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)；④若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0；

【說明】涉及需理解不等式性質解答的題，解決此類題目常用的三種方法；

1、直接利用不等式的性質逐個驗證．2、利用特殊值法排除錯誤答案，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．

3、利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數函數、對數函數、冪函數等函數的單調性進行判斷；

題型3、不等式性質的應用例3、（1）小明同學的媽媽是某省援鄂醫療隊的隊員，為了迎接勝利歸來的英雄母親，小明準備為媽媽獻上一束鮮花．據市場調查，已知6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元，而4枝玫瑰花與5枝康乃馨的價格之和小于22元，則2枝玫瑰花的價格和3枝康乃馨的價格比較結果是（）A．3枝康乃馨價格高B．2枝玫瑰花價格高C．價格相同D．不確定（2）已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，則2a－b的取值范圍是________________．【說明】利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解取值范圍；題型4、對平均值不等式的理解與應用例4、（1）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則（）A．a<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)【說明】對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：1、不等式成立的條件是a，b都是正數；2、“當且僅當”的含義：當a＝b時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b；（2）如果0<a<b<1，P＝eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\r(ab)，M＝eq\r(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是【說明】運用基本不等式比較大小的注意點：1、要靈活運用基本不等式，特別注意其變形；2、應注意成立的條件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b；題型5、結合平均值不等式利用配湊法求最值例5、（1）若－4＜x＜1，則f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)（）A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值－1D．有最大值－1（2）設0＜x＜eq\f(3,2)，則函數y＝4x(3－2x)的最大值為________．【說明】配湊法求最值的實質及關鍵點：配湊法就是將相關代數式進行適當的變形，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配湊法的實質是代數式的靈活變形，配系數、湊常數是關鍵；題型6、結合平均值不等式利用常數代換法求最值例6、（1）已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值為（）A．eq\f(3,2)＋eq\r(2)B．eq\f(3,4)＋eq\f(\r(2),2)C．3＋2eq\r(2)D．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),3)（2）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________．【說明】常數代換法求解最值的基本步驟：1、根據已知條件或其變形確定定值(常數)；2、把確定的定值(常數)變形為1；3、把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積為定值的形式；4、利用基本不等式求解最值；題型7、結合平均值不等式利用消元法求最值例7、（1）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．（2）已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是________．【說明】利用消元法求最值的技巧：消元法，即先根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式，再進行最值的求解．有時會出現多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解，但應注意各個元的范圍；題型8、平均值不等式在實際問題中的應用例8、（1）如圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開．（1）設場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，試將y表示成x的表達式．（2）怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？【說明】數學建模是對現實問題進行數學抽象，建立和求解模型的過程，其一般步驟是：建?！饽！貧w驗證；（2）如圖，某生態園將一個三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆；（1）若圍墻AP與AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高米，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？【說明】利用基本不等式求解實際問題的兩個注意點：1、利用基本不等式解決實際問題時，應明確其中的數量關系，并引入變量，依題意列出相應的函數關系式，然后用基本不等式求解；2、在求所列函數的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，可利用函數單調性求解；題型9、一元二次不等式的解法例9、（1）不等式3＋5x－2x2≤0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3或x<－\f(1,2)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))D．R【說明】解一元二次不等式的一般步驟：1、將一元二次不等式化為一端為0的形式(習慣上二次項系數大于0)；2、求出相應一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根；3、畫出相應二次函數示意草圖，方程有根的將根標在圖中；4、觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集；（2）關于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))；求不等式cx2＋bx＋a<0的解集；【說明】已知以a，b，c為參數的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循1、根據解集來判斷二次項系數的符號；2、根據根與系數的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；3、約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解；題型10、含參數的一元二次不等式的解法例10、（1）解關于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.（2）解關于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．【說明】解含參數的一元二次不等式的步驟特別提醒：對應方程的根優先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計算；題型11、與一元二次不等式有關的恒成立問題例11、（1）若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0對一切實數x都成立，則k的取值范圍為（）A．(－3，0]B．[－3，0)C．[－3，0]D．(－3，0)（2）若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對一切x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是【說明】一元二次不等式在R上恒成立的條件（也就是：形如f(x)≥0(f(x)≤0)在R上恒成立問題）不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0題型12、一元二次不等式在給定區間上恒成立問題例12、（1）若對任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a為常數)，則a的取值范圍是（）A．(－∞，－3]B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，1]（2）設函數f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于任意x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，則m的取值范圍是_________【說明】一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題的求解方法（即：形如f(x)≥0在區間[a，b]上恒成立問題）1、若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數的值（或范圍）；2、轉化為函數值域問題，即已知函數f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a；題型13、一元二次不等式在給定區間上恒成立確定x的取值范圍問題例13、（1）設函數f(x)＝mx2－mx－1.若對于任意m∈[1,3]，f(x)＜－m＋4恒成立，則實數x的取值范圍為________________________．（2）對任意m∈[－1,1]，函數f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．【說明】一元二次不等式在參數某區間上恒成立確定變量x取值范圍的方法（即：形如f(x)≥0(在參數m∈[a，b]上恒成立)確定x的取值范圍）解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數．即把變元與參數交換位置，構造以參數為變量的函數，根據原變量的取值范圍列式求解；題型14、一元二次不等式的實際應用例14、（1）商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現準備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件可定為（）A．11元B．16元C．12元到16元之間D．13元到15元之間（2）某文具店購進一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是【說明】利用一元二次不等式解決實際問題，應理解題意，明確數量關系，并引入變量，依題意建立數學模型，列出一元二次不等式，然后求解；題型15、有關不等式的新穎題、綜合題新高考下，高考數學命題遵循課程標準，深化基礎性考查，注重數學本質與創造性思維，深入考查核心素養和關鍵能力，加強情境化設計，增強題目的開放性．新情境、新設問、新題型等都成為新高考的一個特色．機械刷題、套路解題已遠遠達不到新高考的要求，減少刷題、減少套路，重思維、提能力例15、幾何原本》第二卷的幾何代數法(以幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多代數的公理或定理都能夠通過圖形來證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示的圖形，點F在半圓O上，點C在半徑OB上，且OF⊥AB.設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a＞0，b＞0)B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C．eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a＞0，b＞0)D．eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)例16、某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關系式為y＝－x2＋18x－25(x是正整數)，求每臺機器為該公司創造的最大年平均利潤；例17、若對任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實數a的取值范圍為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,3)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,5))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,5)))))例18、設f(x)＝lnx,0＜a＜b.若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，則下列關系中正確的是()A．q＝r＜p B．q＝r＞pC．p＝r＜q D．p＝r＞q例19、若關于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在{x|1＜x＜4}上有解，則實數a的取值范圍是________例20、已知函數f(x)＝x2－2ax＋2a－1.若對任意的a∈(0,3)，存在x0∈[0,4]，使得t≤|f(x0)|成立，求實數t的取值范圍；一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、設M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則有2、設a>0，b>0，且a≠b，則aabb與abba的大小關系為_______________________（按從大到小順序填寫）3、已知角α，β滿足－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，則3α－β的取值范圍是________________________4、若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.5、設x，y為正數，若x＋eq\f(y,2)＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)取到最小值時x＝________________6、已知不等式2x＋m＋eq\f(2,x－1)＞0對一切x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))恒成立，則實數m的取值范圍是_____________7、已知函數f(x)＝3x＋eq\f(a,3x＋1)(a>0)的最小值為5，則a＝________.8、已知正實數a，b滿足a＋2b＝2，則eq\f(1＋4a＋3b,ab)的最小值為________．9、下面四個推導過程正確的序號是①若a，b為正實數，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2②若a∈R，a≠0，則eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4③若x，y∈R，xy<0，則eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2④若a<0，b<0，則eq\f(a2＋b2,2)≤ab10、若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、已知函數f(x)＝x2－2ax＋1對任意x∈(0,2]有f(x)≥0恒成立，則實數a的取值范圍是（）A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))B．[－1,1]C．(－∞，1]D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4)))12、已知實數a，b滿足a＞b，則下列不等式中恒成立的是（）A．a2＞