江西科技學院附屬中學2024屆高三（5月）第二次質量測試數學試題試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．學業水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業水平測試成績如圖所示．該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學等級都是的學生至多有人B．物理化學等級都是的學生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至少有人2．下圖所示函數圖象經過何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位3．設為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數的最大值為，若存在實數，使得對任意實數總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則△的內切圓的半徑為（）A． B． C． D．6．已知邊長為4的菱形，，為的中點，為平面內一點，若，則（）A．16 B．14 C．12 D．87．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設計和建筑領域有著廣泛的應用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂到塔底的高度與第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米8．甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④9．某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且10．是的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要11．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，則A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}12．已知函數滿足，當時，，則（）A．或 B．或C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若四棱錐的側面內有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，k的值為______.14．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．15．已知數列為等比數列，，則_____.16．李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無論實數取何值，直線恒過定點，并求出該定點的坐標；（2）若直線經過點，試判斷函數的零點個數并證明．18．（12分）已知在平面四邊形中，的面積為.（1）求的長；（2）已知，為銳角，求.19．（12分）在直角坐標系中，長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動，點為線段上的點，且滿足.記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點為曲線上的兩個動點，記，判斷是否存在常數使得點到直線的距離為定值？若存在，求出常數的值和這個定值；若不存在，請說明理由.20．（12分）手工藝是一種生活態度和對傳統的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質量為A,B,C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.21．（12分）在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數方程為（為參數，為常數，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.22．（10分）在銳角三角形中，角的對邊分別為．已知成等差數列，成等比數列．（1）求的值；（2）若的面積為求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數以及物理等級為，化學等級為的學生人數，結合表格中的數據進行分析，可得出合適的選項.【題目詳解】根據題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有人），表格變為：物理化學對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【題目點撥】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.2、D【解題分析】

根據函數圖像得到函數的一個解析式為，再根據平移法則得到答案.【題目詳解】設函數解析式為，根據圖像：，，故，即，，，取，得到，函數向右平移個單位得到.故選：.【題目點撥】本題考查了根據函數圖像求函數解析式，三角函數平移，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.3、A【解題分析】

根據向量共線的性質依次判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當與共線，方向相反時，，故不必要.故選：.【題目點撥】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學生的推斷能力.4、B【解題分析】

根據三角函數的兩角和差公式得到，進而可以得到函數的最值，區間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結果.【題目詳解】函數則函數的最大值為2，存在實數，使得對任意實數總有成立，則區間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【題目點撥】這個題目考查了三角函數的兩角和差的正余弦公式的應用，以及三角函數的圖像的性質的應用，題目比較綜合.5、B【解題分析】

設左焦點的坐標，由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內切圓的半徑.【題目詳解】由雙曲線的方程可設左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設內切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【題目點撥】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法，內切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題.6、B【解題分析】

取中點，可確定；根據平面向量線性運算和數量積的運算法則可求得，利用可求得結果.【題目詳解】取中點，連接，，，即.，，，則.故選：.【題目點撥】本題考查平面向量數量積的求解問題，涉及到平面向量的線性運算，關鍵是能夠將所求向量進行拆解，進而利用平面向量數量積的運算性質進行求解.7、B【解題分析】

根據題意，畫出幾何關系，結合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【題目詳解】設第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【題目點撥】本題考查了對中國文化的理解與簡單應用，屬于基礎題.8、A【解題分析】

由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數,即可判斷①②③,再根據數據集中程度判斷④.【題目詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為,乙同學成績的中位數為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【題目點撥】本題考查由莖葉圖分析數據特征,考查由莖葉圖求中位數、平均數.9、D【解題分析】

首先把三視圖轉換為幾何體，根據三視圖的長度，進一步求出個各棱長.【題目詳解】根據幾何體的三視圖轉換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，，.故選：D..【題目點撥】本題考查三視圖和幾何體之間的轉換，主要考查運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題.10、B【解題分析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關系之間的等價關系，即可得出。【題目詳解】設對應的集合是，由解得且對應的集合是，所以，故是的必要不充分條件，故選B。【題目點撥】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關系法。設，如果，則是的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。11、A【解題分析】

解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【題目詳解】∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故選：A．【題目點撥】此題考查求集合的并集，關鍵在于準確求解不等式，根據描述法表示的集合，準確寫出集合中的元素.12、C【解題分析】

簡單判斷可知函數關于對稱，然后根據函數的單調性，并計算，結合對稱性，可得結果.【題目詳解】由，可知函數關于對稱當時，，可知在單調遞增則又函數關于對稱，所以且在單調遞減，所以或，故或所以或故選：C【題目點撥】本題考查函數的對稱性以及單調性求解不等式，抽象函數給出式子的意義，比如：，，考驗分析能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，可得，由此可得，則由可求k值.【題目詳解】解：如圖，設二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，∴，則，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【題目點撥】本題考查了四棱錐的結構特征，由四棱錐的側面與底面的夾角求參數值，屬于中檔題.14、4【解題分析】設，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為415、81【解題分析】

設數列的公比為，利用等比數列通項公式求出，代入等比數列通項公式即可求解.【題目詳解】設數列的公比為，由題意知，因為，由等比數列通項公式可得，，解得，由等比數列通項公式可得，.故答案為：【題目點撥】本題考查等比數列通項公式；考查運算求解能力；屬于基礎題.16、130.15.【解題分析】

由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【題目詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【題目點撥】本題主要考查不等式的概念與性質?數學的應用意識?數學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，（2）函數存在唯一零點.【解題分析】

（1）首先求出導函數，利用導數的幾何意義求出處的切線斜率，利用點斜式即可求出切線方程，根據方程即可求出定點.（2）由（1）求出函數，令方程可轉化為記，利用導數判斷函數在上單調遞增，根據，由零點存在性定理即可求出零點個數.【題目詳解】所以直線方程為即，恒過點將代入直線方程，得考慮方程即，等價于記，則于是函數在上單調遞增，又所以函數在區間上存在唯一零點，即函數存在唯一零點.【題目點撥】本題考查了導數的幾何意義、直線過定點、利用導數研究函數的單調性、零點存在性定理，屬于難題.18、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得.（2）利用余弦定理求得，由此求得，進而求得，利用同角三角函數的基本關系式求得.【題目詳解】（1）在中，由面積公式：在中，由余弦定理可得：（2）在中，由余弦定理可得：在中，由正弦定理可得:，為銳角.【題目點撥】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面積公式，考查同角三角函數的基本關系式，屬于中檔題.19、（1）（2）存在；常數，定值【解題分析】

（1）設出的坐標，利用以及，求得曲線的方程.（2）當直線的斜率存在時，設出直線的方程，求得到直線的距離.聯立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數關系，結合以及為定值，求得的值.當直線的斜率不存在時，驗證.由此得到存在常數，且定值.【題目詳解】（1）解析：（1）設，，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為設，由可得：由點到的距離為定值可得（為常數）即得：即，又為定值時，，此時，且符合當直線的斜率不存在時，設直線方程為由題可得，時，，經檢驗，符合條件綜上可知，存在常數，且定值【題目點撥】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查運算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難題.20、（1）（2）①2②期望值為X900600300100P【解題分析】

（1）一件手工藝品質量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則,.由得，所以當時，，即，由得，所