高中奧林匹克物理競賽解題方法之十二類比法PagePAGEPAGE6例1圖12—1中AOB是一內表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（圖中紙面）上，夾角（為了能看清楚，圖中畫的是夸大了的）.現將一質點在BOA面內從A處以速度射出，其方向與AO間的夾角設質點與桌面間的摩擦可忽略不計，質點與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求：（1）經過幾次碰撞質點又回到A處與OA相碰？（計算次數時包括在A處的碰撞）（2）共用多少時間？（3）在這過程中，質點離O點的最短距離是多少？解析由于此質點彈性碰撞時的運動軌跡所滿足的規律和光的反射定律相同，所以可用類比法通過幾何光學的規律進行求解.即可用光在平面鏡上反射時，物像關于鏡面對稱的規律和光路是可逆的規律求解.（1）第一次，第二次碰撞如圖12—1—甲所示，由三角形的外角等于不相鄰的一兩個內角和可知，故第一次碰撞的入射角為.第二次碰撞，，故第二次碰撞的入射角為.因此每碰一次，入射角要減少1°，即入射角為29°、28°、…、0°，當入射角為0°時，質點碰后沿原路返回.包括最后在A處的碰撞在內，往返總共60次碰撞.（2）如圖12—1—乙所示，從O依次作出與OB邊成1°、2°、3°、……的射線，從對稱規律可推知，在AB的延長線上，BC′、C′D′、D′E′、……分別和BC、CD、DE、……相等，它們和各射線的交角即為各次碰撞的入射角與直角之和.碰撞入射角為0°時，即交角為90°時開始返回.故質點運動的總路程為一銳角為60°的Rt△AMO的較小直角邊AM的二倍.即 所用總時間（3）碰撞過程中離O的最近距離為另一直角邊長此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解.例2有一個很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h.同時岸上一人從停放點起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h，在水中游的速度為2解析費馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播.據此可以證明，光在平面分界面上的折射是以時間為極小值的路程傳播.本題求最短時間問題，可類比類在平面分界面上的折射情況，這樣就把一個運動問題通過類比可轉化為光的折射問題求解.如圖12—2所示，船沿OP方向被刮跑，設人從O點出發先沿湖岸跑，在A點入水游到OP的B點，如果符合光的折射定律，則所用時間最短.根據折射定律：在這最短時間內，若船還未到達B點，則人能追上小船，若船已經通過了B點，則人不能追上小船，所以船剛好能到達B點所對應的船速就是小船能被追及的最大船速根據正弦定理①又由以上兩式可解得②此即小船能被人追上的最大速度，而小船實際速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船.例3一只螞蟻洞沿直線爬出，已知爬出速度的大小與距螞蟻洞中心的距離L成反比，當螞蟻爬到距螞蟻洞中心距離L1=1m的A點時，速度大小為，問當螞蟻爬到距螞蟻洞中心L2=2m的B點時，其速度大小螞蟻從A點到達B點所用的時間t=？解析雖然螞蟻的運動我們不能直接用已學過的運動學公式求解，但只要能找到描述螞蟻運動的公式和學過的公式的形式相同，便可借助學過的公式形式使問題得以解決.由已知得：螞蟻在距離巢中心△處的速度為，代入已知得：，所以當由速度的定義得螞蟻從L到L+△L所需時間為△t所以①類比初速的勻加速直線運動的兩個基本公式在t到△t時刻所經位移為②比較①、②兩式可以看出兩式的表述形式相同.據此，可得螞蟻問題中的參量t和L分別類比為初速為零的勻加速直線運動中的s和t.而相當于加速度a，于是可得：在此螞蟻問題中令t1對應L1，t2對應L2，則所求時間為代入已知可得從A到B所用的時間為此題也可以用圖像法、等效法求解，讀者可試試.例4如圖12—3所示為一很大的接地導體板，在與導體板相距為d的A處放一帶電量為－q的點電荷.（1）試求板上感應電荷在導體內P點產生的電場強度；（2）試求感應電荷在導體外點產生的電場強度，P與對導體板右表面是對稱的；（3）在本題情形中根據場強分析證明導體表面附近的電場強度的方向與導體表面垂直；（4）試求導體上的感應電荷對點電荷－q的作用力；（5）若在切斷導體板與地的連線后，再將+Q電荷置于導體板上，試說明這部分電荷在導體板上如何分布可達到靜電平衡.（略去邊緣效應）解析面電荷問題有時可用點電荷場來類比，使問題大大簡化.（1）因導體處于靜電平衡狀態，內部場強為零，因此感應電荷在P點產生的場強可用點電荷場類比，若在A點放+q在導體中P點產生的場和感應電荷在P點產生的場相同，因此有，方向如圖12—3—甲所示.（r為AP間距離）（2）同理，感應電荷在導體外點產生的電場跟把+q放在與A關于導體右表面對稱的點產生的電場相同，即，方向如圖12—3甲所示.（3）取導體外極靠近導體表面的一點P1，此處電場由感應電荷和－q共同產生，可類比等量異號點電荷形成的電場，導體表面可類比為等勢面，場強和等勢面是垂直的，因此P1點的場強方向跟導體表面垂直.如圖12—3—乙所示.（4）感應電荷對－q的作用力也可類比在點放的+q對它的庫侖力來求.如圖12—3—乙所示.（5）切斷接地線后，感應電荷分布不變，感應電荷和－q在導體中產生的電場強度為零（相當于不帶電情況），將+Q置于導體板上時，類比孤立無限大帶電平板，電荷將均勻分布例5如圖12—4所示為一無限多電容器連成的網絡，若其中每個電容器的電容均為C，求此網絡A、B間的等效電容CAB.解析電容器兩極板間所加電壓為U，正極板上的電量為Q時，電容為：C=Q/U.電阻器兩端所加電壓為U，通過的電流為I時，電阻為R=U/I.在C、R表達式中U相同，Q與I類比，但兩個式子顯然有顛倒的關系，若為電容器引入C*便可與R類比，通過對R的求解，求出C*，再求出它的倒數即為C.當將阻值為R的電阻替換電容C時，可以求得：AB間的總電阻為現在用C*取代R，可解得也即所以AB間的等效電容為例6電容器網絡如圖12—5所示，各電容器以為單位的電容量數值已在圖中標出.求A、B兩點之間的等效電容CAB.解析同樣用類比法為電容器引入輔助參量，則C*的串并聯公式與電阻R的串并聯公式完全一樣，而且如圖12—5—甲中兩個電容網絡元之間有完全類似于電阻網絡元的Y—△變換.變換公式為： 通過變換公式對題中的網絡進行交換，從而求解.設將中間同為的電容變為，再將三個C*組成的△網絡元變換為的三個Y網絡元，于是將原網絡等效為如圖12—5—乙網絡，圖12—5—乙中所標數值均為C*值，為此網絡可等效如圖12—5—丙網絡，圖中所標數值仍是C*值.因為此網絡中沒有電流圖12—5—丙可當作平衡的橋式電路，中間的電容可拆去，此網絡又可等效為圖12—5—丁，再類比電阻串并聯公式可得故原網絡A、B間的等效電容為例7如圖12—6所示，一個由絕緣細線構成的剛性圓形軌道，其半徑為R.此軌道水平放置，圓心在O點，一個金屬小珠P穿在此軌道上，可沿軌道無摩擦地滑動，小珠P帶電荷Q.已知在軌道平面內A點（）放有一電荷q.若在OA連線上某一點A1放電荷q1，則給P一個初速度，它就沿軌道做勻速圓周運動.求A1點位置及電荷q1之值.解析因為P可沿圓軌道做勻速圓周運動，說明此圓軌道是一等勢線，將此等勢線看成一個球面鏡的一部分.已知半徑為R，所以此球面鏡的焦距為.由成像公式若q為物點，q1為像點不成立，只能是q1為物點成虛像于q，所以有又解得例8將焦距為10cm距離，并用不透明的材料將其擋住.若在原透鏡左側主軸上，距透鏡光心20cm處放一點光源M，如圖12—7所示，點光源能射出波長為的單色光，那么在透鏡另一側距透鏡50cm的屏幕（垂直于透鏡主軸放置）上，將出現多少亮條紋？解析由透鏡成像規律可知，單色點光源M，經切割成的兩個半透鏡分別成兩個像M1，M2（此時每個半透鏡相當于一個透鏡）.這兩個像距相等，關于主光軸對稱，形成相干光源，從而在屏幕上可看到干涉條紋，屏幕中央是零級亮條紋，兩側依次分布著各級干涉條紋.根據透鏡成像公式：①設兩個像之間的距離由圖12—7—甲中的幾何關系可知②由①、②兩式得③由圖12—7—甲知類比光的雙縫干涉作圖12—7—乙.設屏幕上Q為一級亮條紋，則光程差為⑤因為解很小，所以有將其代入⑤式得：⑥將③、④代入⑥式得：⑦由于干涉條紋是等間距的，所以屏幕上出現的亮條紋數目為⑧由圖12—7—甲中幾何關系得：解得⑨將⑨代入⑧式得⑩將已知代入⑩得N=46.6所以亮條紋的條數為46條.例9如圖12—8所示，半徑R=10cm的光滑凹球面容器固定在地面上，有一小物塊在與容器最低點P相距5無摩擦滑下，則物塊自靜止下滑到第二次通過P點時所經歷的時間是多少？若此裝置放在以加速度a向上運動的實驗艙中，上述所求的時間又是多少？解析本題中的小物塊是在重力、彈力作用下做變速曲線運動，我們若抓住物體受力做往復運動的本質特征，便可以進行模型等效，即把小物塊在凹球面上的運動等效為單擺模型.將上述裝置等效為單擺，根據單擺的周期公式 得若此裝置放在以加速度a向上運動的實驗艙中，比較兩種情形中物體受力運動的特征，可以等效為單擺的重力加速度為的情形，經類比推理可得：針對訓練1．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L.若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為.已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G.求該星球的質量M.2．如圖12—9所示，有一半徑為R的接地導體球，在距離球心a處放有一點電荷Q，由于靜電感應，球的表面出現感應電荷，求點電荷Q和導體球之間的相互作用力.3．如圖12—10所示，如果導體球不接地，且與外界絕緣，帶電量為q，則點電荷Q和導體球之間的作用力大小是多少？4．已知，，試求如圖12—11所示的電路中，A、B間的等效電容CAB.5．電容器網絡如圖12—12所示，各電容器以為單位的電容量數值已在圖中標出，試求A、B兩點間的等效電容CAB.6．許多電容量都為C的電容器組成一個多級網絡，如圖12—13所示.（1）問在最后一級右邊的電容器上并聯一個多大的電容，可使整個網絡的總電容也等于C？（2）如不加，但無限增加級數，問整個網路的總電容是多少？（3）當電路中的級數足夠多時，如果在最后一級右邊的電容器上并聯一個任意大小的電容，問整個網路的總電容是多少？7．將焦距為f的一塊透鏡沿其表面的垂直方向切割成兩部分.如圖12—14所示，把兩塊半透鏡移開一小段距