專題12.4因式分解【九大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用因式分解求值】 1【題型2因式分解在有理數簡算中的應用】 2【題型3利用因式分解確定整除問題】 2【題型4利用添項進行因式分解】 3【題型5利用拆項進行因式分解】 5【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】 6【題型7利用因式分解求最值】 6【題型8因式分解在新定義問題中的運用】 6【題型9因式分解在閱讀理解中的運用】 8【知識點因式分解】定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。【題型1利用因式分解求值】【例1】（2023春·安徽合肥·八年級統考期末）將2xn-81因式分解后得4x2+92x+32x-3，那么n等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-1】（2023春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學校考期中）把多項式x3+ax分解因式得xx-12【變式1-2】（2023春·八年級單元測試）已知三次四項式2x3-5x2【變式1-3】（2023春·八年級單元測試）若2x2-6y【題型2因式分解在有理數簡算中的應用】【例2】（2023春·八年級課時練習）利用因式分解計算：(1)-2101(2)32021(3)121×0.13+12.1×0.9-12×1.21；(4)2022【變式2-1】（2023春·全國·八年級專題練習）計算：2020×512－2020×492的結果是．【變式2-2】（2023春·八年級單元測試）計算：（1）(1-122)×(1-132（2）2021【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）利用因式分解計算：（1）1（2）1+24（3）2【題型3利用因式分解確定整除問題】【例3】（2023春·全國·八年級專題練習）某興趣小組為探究被3整除的數的規律，提出了以下問題：（1）在312，465，522，458中不能被3整除的數是________；（2）一個三位數abc表示百位、十位、個位上的數字分別是a、b、c（a，b，c為0－9之間的整數，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍數（設a+b+c=3t，t為正整數），那么abc能被3（3）若一個能被3整除的兩位正整數ab（a，b為1－9之間的整數），交換其個位上的數字與十位上的數字得到一個新數，新數減去原數等于54，求這個正整數ab．【變式3-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期末）利用因式分解說明：當n為自然數時，n+72-n-5【變式3-2】（2023春·湖南永州·八年級校聯考期中）已知432-1可以被10到A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【變式3-3】（2023·河北衡水·統考三模）某數學興趣小組研究如下等式：38×32=1216，53×57=3021，71×79=5609，84×86=7224．觀察發現以上等式均是“十位數字相同，個位數字之和是10的兩個兩位數相乘，且積有一定的規律”．(1)根據上述的運算規律，直接寫出結果：58×52=___________；752=(2)設其中一個數的十位數字為a，個位數字為b（a，b>0），①請用含a，b的等式表示這個運算規律，并用所學的數學知識證明；②上述等式中，分別將左邊兩個乘數的十位和個位調換位置，得到新的兩個兩位數相乘（如：38×32調換為83×23）．若分別記新的兩個兩位數的乘積為m，①中的運算結果為n，求證：m-n能被99整除．【題型4利用添項進行因式分解】【例4】（2023春·陜西榆林·八年級統考期末）19世紀的法國數學家蘇菲·熱門給出了一種分解因式x4+4的方法：他抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和x22+22的形式，要使用公式就必須添一項4x2，隨即將此項4根據以上方法，把下列各式因式分解：(1)4x(2)a2【變式4-1】（2023春·廣東佛山·八年級專題練習）添項、拆項是因式分解中常用的方法，比如分解多項式a2①a2又比如多項式a3②a3仿照以上方法，分解多項式a5-1的結果是【變式4-2】（2023春·湖南常德·八年級統考期中）閱讀與思考在因式分解中，有些多項式看似不能分解，如果添加某項，可以達到因式分解的效果，此類因式分解的方法稱之為“添項法”．例如：a4參照上述方法，我們可以對a3a任務：(1)請根據以上閱讀材料補充完整對a3(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3【變式4-3】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校考三模）閱讀理解：添項法是代數變形中非常重要的一種方法，在整式運算和因式分解中使用添項法往往會起到意想不到的作用，例如：例1：計算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據材料解決下列問題：(1)計算：(1+1(2)小明在作業中遇到了這樣一個問題，計算(14+4)(54+4)(94+4)……(494①分解因式：x4+4；②計算：(1【題型5利用拆項進行因式分解】【例5】（2023春·八年級課時練習）閱讀理解，并解答下面的問題：拆項法原理：在多項式乘法運算中，常經過整理、化簡，通常將幾個同類項合并為一項，或相互抵消為零．反過來，在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項（拆項）．例：分解因式：x2＋4x＋解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x＝（x2＋x）＋（3x＋3＝x（x＋1）＋3（x＋1）對每一組分別提取公因式＝（x＋3）（x＋1）繼續提公因式請類比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋【變式5-1】（2023春·黑龍江雞西·八年級校考期末）利用拆項法，分解因式：x2﹣6x﹣7；【變式5-2】（2023春·陜西榆林·八年級統考期末）利用拆項法，解決下列問題：(1)分解因式：x2(2)分解因式：a2【變式5-3】（2023春·八年級單元測試）閱讀理解題：拆項法是因式分解中一種技巧較強的方法，它通常是把多項式中的某一項拆成幾項，再分組分解，因而有時需要多次實驗才能成功，例如把x3-3x2+4分解因式，這是一個三項式，最高次項是三次項，一次項系數為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數項拆成1原式==公式：a3+根據上述論法和解法，（1）因式分解：x3（2）因式分解：x3（3）因式分解：x4【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】【例6】（2023春·全國·八年級專題練習）已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，則△ABC為三角形．【變式6-1】（2023春·河南鄭州·八年級校聯考期中）若△ABC三邊a、b、c滿足a2-ab-ac+bc=0，則△ABC是【變式6-2】（2023春·全國·八年級專題練習）已知：a，b，c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2【變式6-3】（2023春·八年級統考課時練習）已知等腰三角形ABC的三邊長a、b、c均為整數，且滿足a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形共有個．【題型7利用因式分解求最值】【例7】（2023春·湖南株洲·八年級株洲二中校考期末）整數a、b、c是△ABC的三條邊（a<b<c），若△ABC的周長為30，那么c2+18a+18b-446的最小值為【變式7-1】（2023春·遼寧阜新·八年級校考階段練習）利用完全平方公式因式分解在數學中的應用，請回答下列問題：(1)因式分解：x2-4x+4=(2)填空：當x=__________時，代數式x2(3)閱讀如下材料，完成下列問題：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：x2因為x-12≥0，所以x-12+2≥2，所以當①代數式x2+10x+2的最小值是②拓展與應用：求代數式a2【變式7-2】（2023春·八年級課時練習）已知A為多項式，且A=-2x2-y2A．最大值23 B．最小值23 C．最大值-23 D．最小值-23【變式7-3】（2023·安徽亳州·八年級專題練習）求x2-6xy+10y2【題型8因式分解在新定義問題中的運用】【例8】（2023春·全國·八年級期末）整式乘法與多項式因式分解是既有聯系又有區別的兩種變形．例如，a(b+c+d)=ab+ac+ad是單項式乘多項式的法則；把這個法則反過來，得到ab+ac+ad=a(b+c+d)，這是運用提取公因式法把多項式因式分解．又如(a±b)2=a2±2ab+b2有時在進行因式分解時，以上方法不能直接運用，觀察甲、乙兩名同學的進行的因式分解．甲：x=(x=x(x-y)+4(x-y)（分別提公因式）=(x-y)(x+4)乙：a=a=a=(a+b-c)(a-b+c)請你在他們解法的啟發下，完成下面的因式分解問題一：因式分解：（1）m3（2）x2問題二：探究對x、y定義一種新運算F，規定：F(x,y)=(mx+ny)(3x-y)（其中m，n均為非零常數）．當x2≠y2時，F(x,y)=F(y,x)對任意有理數x、y都成立，試探究【變式8-1】定義：任意兩個數a，b，按規則c=ab+a+b擴充得到一個新數c，稱所得的新數c為“如意數”.（1）若a=2，b=-1，直接寫出a，b的“如意數”c；（2）如果a=m-4，b=-m，求a，b的“如意數”c，并證明“如意數”c≤0；（3）已知a=x2(x≠0)，且a，b的“如意數”為c=x4【變式8-2】（2023春·河南周口·八年級校考期末）設m、n是實數，定義一種新運算：m?n=(m-n)2．下面四個推斷正確的是（A．m?n=n?m B．(m?n)C．(m?n)?p=m?(n?p) D．m?(n-p)=(m?n)-(m?p)【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期末）定義：若一個整數能表示成a2＋b2（a，b是正整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如：因為13＝32＋22，所以13是“完美數”；再如：因為a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美數”．（1）請直接寫出一個小于10的“完美數”，這個“完美數”是；（2）判斷53（請填寫“是”或“否”）為“完美數”；（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整數，k是常數），要使M為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由；（4）如果數m，n都是“完美數”，試說明mn也是“完美數”．【題型9因式分解在閱讀理解中的運用】【例9】（2023春·八年級統考期末）（2023春·陜西榆林·八年級統考期末）閱讀下列材料：將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q=mn且p=m+n，則可以把x2例如：（1）x2+4x+3=x+1x+3；（根據材料，把下列式子進行因式分解．(1)x2(2)x2(3)x-4x+7【變式9-1】（2023春·湖南湘潭·八年級統考期末）材料1：由多項式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，將該式子從右到左使用，即可對形如x材料2：因式分解：x+y2+2x+y+1，將“x+y”看成一個整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=上述用到整體思想，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法．請你根據以上閱讀材料解答下列問題：(1)根據材料1將x2(2)根據材料2將x-y2(3)結合材料1和材料2，將m2【變式9-2】（2023春·全國·八年級期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如ax2+bx+ca≠0的多項式變形為x即：x2根據以上材料，解答下列問題：(1)把下列多項式因式分解