專(zhuān)項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練(二)三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用一、選擇題1.(2015·濟(jì)寧模擬)已知向量a=(1,3),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,則tanθ=()A.33 B.3 C.-33 【解析】選B.因?yàn)閍∥b,所以sinθ-3cosθ=0,即sinθ=3cosθ.故tanθ=3.2.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,m=(bcosC,-1),n=((c-3a)cosB,1),且m∥n,則cosB的值為()A.13 B.-13 C.223【解題提示】利用已知轉(zhuǎn)化為邊角關(guān)系后利用余弦定理角化邊后可解.【解析】選A.由m∥n,得bcosC+(c-3a)cosB=0.所以a2+b則c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2).所以2a2c=3a(a2+c2-b2),則13=a于是cosB=a2+c3.(2015·臨沂模擬)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),則a與b一定滿(mǎn)足()A.a與b的夾角等于α-β B.a⊥bC.a∥b D.(a+b)⊥(a-b)【解題提示】欲求a與b滿(mǎn)足的關(guān)系,先利用平面向量數(shù)量積公式,判斷a與b是否有垂直或者平行的關(guān)系,再結(jié)合選項(xiàng)判斷.【解析】選D.因?yàn)閍·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),這表明這兩個(gè)向量的夾角的余弦值為cos(α-β).同時(shí),也不能得出a與b的平行和垂直關(guān)系.因?yàn)橛?jì)算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故選D.4.已知a=cosθ2,sinθ2,b=(cosθ,sinθ是()A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2]【解析】選C.因?yàn)閍-b=cosθ所以|a-b|=cos=2=2-2cosθ2因?yàn)棣取?0,π),所以θ2∈0,π2故|a-b|∈(0,2).5.(2015·鄭州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,cosC=14,AC→A.5 B.13 C.4 D.17【解題提示】由已知cosC=14,AC→【解析】選A.由已知cosC=14,AC→得b·a·cos(π-C)=-2?b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.所以c=5.故選A.二、填空題6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,則△ABC的形狀是.【解題提示】利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊角關(guān)系后,再邊化角可解.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.從而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C.由m⊥p可得c-2bcosA=0,從而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形為等邊三角形.答案:等邊三角形7.(2015·銀川模擬)已知正三角形OAB中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-3,4),點(diǎn)A在第一象限,向量m=(-1,0),記向量m與向量OA→的夾角為α,則sin【解析】設(shè)向量OB→與x軸正向的夾角為β,則α+β=π+π3=4π3cosβ=-35,sinα=sin(π-α)=sinβ-π3=12sinβ-32cosβ=45×1答案:48.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2cos2A-Bcos(A+C)=-35,若a=42,b=5,則BA→【解題提示】利用已知條件先轉(zhuǎn)化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2A-B2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-35即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35則cos(A-B+B)=-35即cosA=-35由0<A<π,得sinA=45由正弦定理,有asinA=b所以,sinB=bsinAa=由題知a>b,則A>B,故B=π4根據(jù)余弦定理,有(42)2=52+c2-2×5c×-3解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA→在BC→方向上的投影為|答案:2三、解答題9.(2015·濰坊模擬)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且m·n=0.(1)求角B的大小.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2xcos(A+C)-32【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以2sinAcosB+sin(B+C)=0,即2sinAcosB+sinA=0.因?yàn)?<A<π,所以sinA≠0.所以2cosB+1=0,所以cosB=-12又0<B<π,所以B=2π(2)因?yàn)閒(x)=sin2xcos(A+C)-32=-sin2x·cosB-32=12sin2x-3=sin2x-故f(x)的最小正周期T=2π2=當(dāng)2x-π3=2kπ+π2,k∈即當(dāng)x=kπ+5π12,k已知平面向量a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ),其中0<φ<π,且函數(shù)f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx的圖象過(guò)點(diǎn)π6(1)求φ的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)先將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π12個(gè)單位,然后將得到函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)在0【解題提示】(1)由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)的相關(guān)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,由函數(shù)f(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)確定φ的值,并由此求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)先根據(jù)圖象變換的法則確定函數(shù)g(x)的表達(dá)式,并由此根據(jù)給定的范圍求函數(shù)g(x)的最值.【解析】(1)因?yàn)閍·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x),b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x).所以f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx=cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx=cos(φ-x-x)=cos(2x-φ),即f(x)=cos(2x-φ),所以fπ6=cosπ3-φ=1,而0<φ所以φ=π3所以f(x)=cos2x-由2kπ-π≤2x-π3≤2kπ得kπ-π3≤x≤kπ+π即f(x)的單調(diào)增區(qū)間為kπ-π3(2)由(1)得,f(x)=cos2x-y=cos2x+π12于是g(x)=cosx-當(dāng)x∈0,π2時(shí),-π6<x-所以12≤cosx-即當(dāng)x=π2時(shí),g(x)取得最小值1當(dāng)x=π610.(2015·保定模擬)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-32),且m⊥n.(1)求A的大小.(2)現(xiàn)給出下列四個(gè)條件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(3+1)b=0;④B=45°.試從中再選擇兩個(gè)條件以確定△ABC,求出你所確定的△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)閙⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-32即cosBcosC-sinBsinC=-32,cos(B+C)=-3因?yàn)锳+B+C=180°,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=32,又0°<A<180°所以A=30°.(2)選擇①③可確定△ABC.因?yàn)锳=30°,a=1,2c-(3+1)b=0,由余弦定理12=b2+3+12b2-2b·整理得b2=2,b=2,c=6+所以S△ABC=12bcsinA=12×2×6=3+1【一題多解】(2)選擇①④可確定△ABC.因?yàn)锳=30°,a=1,B=45°,所以C=105°.因?yàn)閟in105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=6+由正弦定理asinA=b得b=asinBsinA=1×sin45°所以S△ABC=12absinC=12×1×2×6+11.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.(1)若α=π4,求函數(shù)f(x)=b·c的最小值及相應(yīng)x的值.(2)若a與b的夾角為π3,且a⊥c,求tan2α【解析】(1)因?yàn)閎=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=π4,所以f(x)=b·=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+2(sinx+cosx).令t=sinx+cosxπ4則2sinxcosx=t2-1,且-1<t<2.則y=t2+2t-1=t+22-1<t<2,所以t=-22時(shí),ymin=-3此時(shí)sinx+cosx=-22即2sinx+π4因?yàn)棣?<x<π,所以π2<x+π4<所以x+π4=76π,所以x=所以函數(shù)f(x)的最小值為-32