變化率與導數、導數的運算考綱要求(1)通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵．(2)通過函數圖象直觀地理解導數的幾何意義．2．導數的運算(1)能根據導數的定義求函數y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數．(2)能利用給出的根本初等函數的導數公式和導數的四那么運算法那么求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數〔僅限于形如f(ax＋b)〕的導數．(3)會使用導數公式表．1．平均變化率函數f(x)從x1到x2的平均變化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1).2．導數的概念函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)，我們稱它為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).3．導數的幾何意義函數f(x)在x＝x0處的導數就是切線的斜率k，即k＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝f′(x0)．4．導函數(導數)當x變化時，f′(x)便是x的一個函數，我們稱它為f(x)的導函數(簡稱導數)，y＝f(x)的導函數有時也記作y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx).5．幾種常見函數的導數(1)c′＝0(c為常數)，(xn)′＝nxn－1(n∈Z)(2)(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx(3)(lnx)′＝eq\f(1,x)，(logax)′＝eq\f(1,x)logae(4)(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna6．函數的和、差、積、商的導數(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)，(cu)′＝cu′(c為常數)．7．復合函數的導數1．f(x)＝ax3＋3x2＋2，假設f′(－1)＝4，那么a的值等于()A.eq\f(19,3)B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3)D.eq\f(10,3)解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝eq\f(10,3).2．設正弦函數y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)附近的平均變化率為k1，k2，那么k1，k2的大小關系為()A．k1>k2B．k1<k2C．k1＝k2D．不確定解析：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，k1＝cos0＝1，k2＝coseq\f(π,2)＝0，∴k1>k2.3．函數y＝xcosx－sinx的導數為()A．xsinx B．－xsinxC．xcosx D．－xcosx解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B44．一個物體的運動方程是s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么該物體在3秒末的瞬間速度是________．解析：s′＝－1＋2t，∴s′|t＝3＝－1＋6＝5.答案：5米/秒5．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，?-，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2023(x)＝__________.解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx∴fn(x)是以4為周期的周期函數，2023被4整除，∴f2023(x)＝f0(x)＝sinx答案：sinx熱點之一利用導數的定義求函數的導數根據導數的定義求函數y＝f(x)在點x0處導數的方法：(1)求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)；(3)得導數f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).簡記作：一差、二比、三極限．[例1]用定義法求以下函數的導數．(1)y＝x2；(2)y＝eq\f(4,x2).[課堂記錄](1)因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝eq\f((x＋Δx)2－x2,Δx)＝eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2－x2,Δx)＝2x＋Δx，所以y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.(2)Δy＝eq\f(4,(x＋Δx)2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx(2x＋Δx),x2(x＋Δx)2)，eq\f(Δy,Δx)＝－4·eq\f(2x＋Δx,x2(x＋Δx)2)，∴eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4·\f(2x＋Δx,x2(x＋Δx)2)))＝－eq\f(8,x3).即時訓練用導數的定義求函數y＝eq\f(1,\r(x))在x＝1處的導數．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(1－1－Δx,(1＋\r(1＋Δx))\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,(1＋\r(1＋Δx))\r(1＋Δx))，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,(1＋\r(1＋Δx))\r(1＋Δx)).∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,2).熱點之二導數的計算求函數的導數要準確地把函數分割為根本初等函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法那么求導數，在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣法那么，聯系根本初等函數求導公式進行求導；對于不具備直接求導的結構形式要適當變形．[例2]求以下函數的導數：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4)y＝sin32x.[課堂記錄]直接利用導數公式和導數運算法那么求導．(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx；(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；(3)y′＝eq\f((lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′,(x2＋1)2)＝eq\f(\f(1,x)·(x2＋1)－lnx·2x,(x2＋1)2)＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,x(x2＋1)2)；(4)y′＝3(sin2x)2·(sin2x)′＝6sin22xcos2x.[思維拓展]理解和掌握求導法那么和公式的結構規律是靈活進行求導運算的前提條件．運算過程出現失誤，原因是不能正確理解求導法那么，特別是商的求導法那么．求導過程中符號判斷不清，也是導致錯誤的原因，從本例可以看出：深刻理解和掌握導數的運算法那么，再結合給定函數本身的特點，才能準確有效地進行求導運算，才能充分調動思維的積極性，在解決新問題時才能舉一反三，觸類旁通，得心應手．即時訓練求以下函數的導數：(1)y＝xsinx；(2)y＝eq\f(lnx,x)；(3)y＝eq\r(x2＋1)；(4)y＝e1－x.解：(1)y′＝(xsinx)′＝(x′)sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)))′＝eq\f((lnx)′x－(x)′lnx,x2)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2).(3)∵函數y＝eq\r(x2＋1)可以看作函數y＝eq\r(u)和u＝x2＋1的復合函數，∴y′x＝y′u·u′x＝(eq\r(u))′(x2＋1)′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,\r(u))·(2x)＝eq\f(x,\r(x2＋1)).(4)∵函數y＝e1－x可以看作由y＝eu和u＝1－x復合而成的函數，∴y′x＝(eu)′·(ux)′＝eu(1－x)′＝－e1－x.熱點之三導數的幾何意義1．函數y＝f(x)在點P(x，y)處的導數f′(x)表示函數y＝f(x)在x＝x處的瞬時變化率，導數f′(x)的幾何意義就是函數y＝f(x)在P(x，y)處的切線的斜率，其切線方程為y－y＝f′(x)(x－x0)．2．利用導數的幾何意義求曲線的切線方程的步驟：(1)求出函數y＝f(x)在點x處的導數f′(x)；(2)根據直線的點斜式方程得切線方程y－y0＝f′(x(x－x)．特別警示：求曲線的切線要注意“過點P的切線〞與“在點P處的切線〞的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點．[例3](1)在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限內，曲線C在點P處的切線斜率為2，那么點P的坐標為________．(2)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).①求曲線在點P(2,4)處的切線方程；②求曲線過點P(2,4)的切線方程；③求斜率為4的曲線的切線方程．[思路探究]求曲線的切線方程方法是通過切點坐標，求出切線的斜率，再通過點斜式得切線方程．[課堂記錄](1)由y′＝3x2－10＝2可解得x＝±2，∵切點P在第二象限內，∴x＝－2，由此可得點P的坐標為(－2,15)．(2)①∵P(2,4)在曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，∴在點P(2,4)處的切線的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.②設曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過點P(2,4)的切線相切于點A(x0，eq\f(1,3)x03＋eq\f(4,3))，那么切線的斜率k＝y′|x＝x0＝x02.∴切線方程為y－(eq\f(1,3)x03＋eq\f(4,3))＝x02(x－x0)，即y＝x02·x－eq\f(2,3)x03＋eq\f(4,3).∵點P(2,4)在切線上，∴4＝2x02－eq\f(2,3)x03＋eq\f(4,3)，即x03－3x02＋4＝0，∴x03＋x02－4x02＋4＝0，∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.③設切點為(x0，y0)，那么切線的斜率k＝x02＝4，x0＝±2.切點為(2,4)或(－2，－eq\f(4,3))，∴切線方程為y－4＝4(x－2)或y＋eq\f(4,3)＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.[思維拓展]利用導數研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下條件：(1)函數在切點處的導數函數值也就是切線的斜率．即切點坐標可求切線斜率，斜率可求切點的坐標．即時訓練設即時訓練設f(x)＝xlnx＋1，假設f′(x0)＝2，那么f(x)在點(x0，y0)處的切線方程為________．解析：因為f(x)＝xlnx＋1，所以f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1.因為f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，解得x0＝e，y0＝e＋1.由點斜式得，f(x)在點(e，e＋1)處的切線方程為y－(e＋1)＝2(x－e)，即2x－yx－y－e＋1＝0.答案：2x－y－e＋1＝0熱點之四導數的物理意義[例4]有一架長度為5米的梯子貼靠在垂直的墻上，假設其下端沿地板3米/秒的速度離開墻腳而滑動，那么：(Ⅰ)當其下端離開墻腳1.4米時，梯子上端下滑的速度是多少？(Ⅱ)何時梯子的上、下端能以相同的速度移動？(Ⅲ)何時其上端下滑的速度為4米/秒？[思路探究]利用條件可以建立一個距離對時間的函數，即一個實際中的位移函數，由導數的物理意義可知所求的速度即是該函數在這一時刻的導數．[課堂記錄]設在時刻t秒時梯子上端距開始位置的距離為s米，梯子下端離開墻角的距離為x米，那么x＝3t，s＝5－eq\r(25－x2)＝5－eq\r(25－9t2)，∴st′＝eq\f(9t,\r(25－9t2)).∴(Ⅰ)當x＝1.4米，即3t＝1.4時，st′＝eq\×3,2))＝0.875(米/秒)．(Ⅱ)令st′＝3得eq\f(9t,\r(25－9t2))＝3，解得t＝eq\f(5\r(2),6).∴在時刻eq\f(5\r(2),6)秒時，梯子的上、下端能以相同的速度移動．(Ⅲ)令st′＝4得eq\f(9t,\r(25－9t2))＝4，解得t＝eq\f(4,3)，故在時刻eq\f(4,3)秒時，梯子上端下滑的速度為4米/秒．即時訓練旗桿高10m，一人以每秒3m的速度向旗桿前進，當此人距桿腳5m時，他與桿頂的距離改變率如何(此人的身高不計)?解：設從桿腳5m向桿前進，時間為t秒時該人距桿頂的距離為s，那么s＝eq\r(102＋(5－3t)2)，所以s′＝eq\f(2(5－3t)·(－3),2\r(102＋(5－3t)2))，而所要求的改變率為在5m處時的情況，即t＝0，所以s′(0)＝eq\f(－15,\r(125))＝－eq\f(3\r(5)