學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精【推薦】江蘇省13大市2013年高三歷次考試數學試題分類匯編3:函數的應用一、解答題AUTONUM\＊Arabic．（南通市2013屆高三第一次調研測試數學試卷）某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板,其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用。如圖所示,為長方形薄板,沿AC折疊后,交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節(jié)能,凹多邊形的面積最大時制冷效果最好。（1)設AB=x米，用x表示圖中DP的長度,并寫出x的取值范圍;（2)若要求最節(jié)能，應怎樣設計薄板的長和寬?(3）若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？AABCD（第17題）P【答案】解：（1）由題意，,.因,故設，則.因△≌△,故.由，得,(2)記△的面積為，則,當且僅當∈(1，2）時，S1取得最大值故當薄板長為米,寬為米時，節(jié)能效果最好(3)記△的面積為，則,于是，關于的函數在上遞增，在上遞減。所以當時,取得最大值故當薄板長為米，寬為米時，制冷效果最好本題主要考查應用所學數學知識分析問題與解決問題的能力。試題以常見的圖形為載體，再現(xiàn)對基本不等式、導數等的考查.講評時，應注意強調解決應用問題的一般步驟與思維規(guī)律,教學中應幫助學生克服解決應用題時的畏懼心理，在學生獨立解決應用問題的過程中不斷增強他們的自信心.在使用基本不等式應注意驗證取等號的條件，使用導數時應謹慎決斷最值的取值情況.AUTONUM\*Arabic．（南京市、鹽城市2013屆高三年級第一次模擬考試數學試題）近年來,某企業(yè)每年消耗電費約24萬元，為了節(jié)能減排,決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設備接入本企業(yè)電網,安裝這種供電設備的工本費(單位:萬元）與太陽能電池板的面積(單位:平方米）成正比，比例系數約為0。5。為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.假設在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費（單位：萬元）與安裝的這種太陽能電池板的面積（單位:平方米）之間的函數關系是為常數）。記為該村安裝這種太陽能供電設備的費用與該村15年共將消耗的電費之和.(1）試解釋的實際意義,并建立關于的函數關系式；（2）當為多少平方米時,取得最小值？最小值是多少萬元?【答案】解：(1）的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時的用電費用，即未安裝電陽能供電設備時全村每年消耗的電費由，得所以(2)因為當且僅當,即時取等號所以當為55平方米時，取得最小值為59.75萬元（說明:第（2)題用導數可最值的，類似給分)AUTONUM\＊Arabic．（蘇州市2012—2013學年度第一學期高三期末考試數學試卷）在路邊安裝路燈,燈柱與地面垂直,燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知,路寬米,設燈柱高（米），()（1）求燈柱的高(用表示);（2）若燈桿與燈柱所用材料相同,記此用料長度和為,求關于的函數表達式，并求出的最小值。【答案】AUTONUM\＊Arabic．（江蘇省泰州市2012-2013學年度第一學期期末考試高三數學試題）如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形，其底邊.（1）設備，求三角形鐵皮的面積;(2）求剪下的鐵皮三角形面積的最大值。【答案】(1）設MN交AD交于Q點∵∠MQD=30°,∴MQ=,OQ=（算出一個得2分）S△PMN=MN·AQ=××（1+）=(2）設∠MOQ=θ，∴θ∈[0,]，MQ=sinθ,OQ=cosθ∴S△PMN=MN·AQ=(1+sinθ)(1+cosθ)=(1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)令sinθ+cosθ=t∈[1，]，∴S△PMN=（t+1+）θ=,當t=,∴S△PMN的最大值為AUTONUM\*Arabic．（蘇北三市（徐州、淮安、宿遷）2013屆高三第二次調研考試數學試卷）如圖,兩座建筑物的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直,它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角。(1） 求的長度；(2) 在線段上取一點點與點不重合)，從點看這兩座建筑物的視角分別為問點在何處時,最小?第17題圖第17題圖【答案】⑴作，垂足為，則，,設，則,化簡得,解之得，或（舍)答:的長度為⑵設,則，設,，令,因為,得，當時，，是減函數；當時，,是增函數,所以,當時,取得最小值,即取得最小值,因為恒成立，所以，所以，，因為在上是增函數，所以當時,取得最小值.答：當為時，取得最小值AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（江蘇省無錫市2013屆高三上學期期末考試數學試卷）要制作一個如圖的框架（單位：米),要求所圍成的總面積為19。5（米2)，其中ABCD是一個矩形,EFCD是一個等腰梯形,梯形高h=AB,tan∠FED=,設AB=x米,BC=y米.(Ⅰ）求y關于x的表達式；（Ⅱ）如何設計x，y的長度,才能使所用材料最少?【答案】AUTONUM\＊Arabic．（南京市、淮安市2013屆高三第二次模擬考試數學試卷）如圖,某廣場中間有一塊扇形綠地OAB，其中O為扇形所在圓的圓心，,廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路:在上選一點C,過C修建與OB平行的小路CD,與OA平行的小路CE，問C應選在何處，才能使得修建的道路CD與CE的總長最大，并說明理由.【答案】AUTONUM\*Arabic．(江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2013屆高三教學情況調研（一）數學試題）某部門要設計一種如圖所示的燈架,用來安裝球心為,半徑為（米）的球形燈泡.該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成，其中圓弧形燈托，,，所在圓的圓心都是、半徑都是（米)、圓弧的圓心角都是(弧度)；燈桿垂直于地面，桿頂到地面的距離為(米），且;燈腳,，,是正四棱錐的四條側棱,正方形的外接圓半徑為（米),四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為（弧度）。已知燈桿、燈腳的造價都是每米(元),燈托造價是每米(元),其中,，都為常數.設該燈架的總造價為(元）.（1)求關于的函數關系式;(2）當取何值時,取得最小值?【答案】AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（江蘇省泰州、南通、揚州、宿遷、淮安五市2013屆高三第三次調研測試數學試卷）某單位設計的兩種密封玻璃窗如圖所示:圖1是單層玻璃,厚度為8mm;圖2是雙層中空玻璃，厚度均為4mm,中間留有厚度為的空氣隔層.根據熱傳導知識，對于厚度為的均勻介質，兩側的溫度差為，單位時間內,在單位面積上通過的熱量,其中為熱傳導系數.假定單位時間內，在單位面積上通過每一層玻璃及空氣隔層的熱量相等.（注:玻璃的熱傳導系數為，空氣的熱傳導系數為.）（1）設室內,室外溫度均分別為,,內層玻璃外側溫度為,外層玻璃內側溫度為，且.試分別求出單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內，在單位面積上通過的熱量（結果用,及表示）;（2）為使雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量只有單層玻璃的4%，應如何設計的大小？圖1圖2墻圖1圖2墻墻T1T2室內室外墻墻x4T1T2室內室外4（第17題）【答案】解：(1)設單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內，在單位面積上通過的熱量分別為，,則,(2）由(1）知,當4％時，解得(mm)。答:當mm時,雙層中空玻璃通過的熱量只有單層玻璃的4％AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（江蘇省鹽城市2013屆高三年級第二次模擬考試數學試卷）如圖,在海岸線一側C處有一個美麗的小島,某旅游公司為方便游客，在上設立了A、B兩個報名點，滿足A、B、C中任意兩點間的距離為10千米。公司擬按以下思路運作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉點D處（點D異于A、B兩點)，然后乘同一艘游輪前往C島.據統(tǒng)計，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費2元,游輪每千米耗費12元。設∠,每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本S元.⑴寫出S關于的函數表達式，并指出的取值范圍;⑵問中轉點D距離A處多遠時,S最小？【答案】解:（1）由題在中，。由正弦定理知,得(2），令,得當時,;當時,，當時取得最小值此時，中轉站距處千米時,運輸成本最小AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2012—2013學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（二）數學試題)如圖所示,有兩條道路與,，現(xiàn)要鋪設三條下水管道,，(其中,分別在,上）,若下水管道的總長度為,設,.（1）求關于的函數表達式,并指出的取值范圍；(2)已知點處有一個污水總管的接口,點到的距離為,到點的距離為,問下水管道能否經過污水總管的接口點？若能,求出的值，若不能,請說明理由。【答案】AUTONUM\*Arabic．（揚州、南通、泰州、宿遷四市2013屆高三第二次調研測試數學試卷)為穩(wěn)定房價，某地政府決定建造一批保障房供給社會.計劃用1

600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數相同，且每層建筑面積均為1

000平方米,每平方米的建筑費用與樓層有關,第x層樓房每平方米的建筑費用為(kx+800)元(其中k為常數).經測算，若每幢樓為5層,則該小區(qū)每平方米的平均綜合費用為1

270元.(每平方米平均綜合費用=eq\f（購地費用+所有建筑費用,所有建筑面積）).(1)求k的值;(2）問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費用最低,應將這10幢樓房建成多少層?此時每平方米的平均綜合費用為多少元？【答案】【解】（1)如果每幢樓為5層,那么所有建筑面積為10×1

000×5平方米，所有建筑費用為［（k+800)+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800)+（5k+800）］×1

000×10，所以,1270=eq\f（16

000

000+[（k+800）+（2k+800）+(3k+800)+（4k+800)+（5k+800）］×1

000×10,10×1

000×5）,解之得:k=50\f(32000000+[（k+800）+(2k+800）+（3k+800)）+(4k+800)+(5k+800）］×1000×10，10×1000×5)（2）設小區(qū)每幢為n(n∈N＊）層時,每平方米平均綜合費用為f(n)，由題設可知f(n）=eq\f(16000000+［（50+800）+(100+800）+…+(50n+800)］×1000×10，10×1000×n）=eq\f（1600,n)+25n+825≥2eq\r（1600×25）+825=1225(元）\f(32000000+［（k+800)+(2k+800）+(3k+800)）+（4k+800）+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)當且僅當eq\f（1600,n）=25n,即n=8時等號成立\f（32000000+［(k+800）+（2k+800）+（3k+800))+(4k+800）+(5k+800）］×1000×10，10×1000×5)答：該小區(qū)每幢建8層時，每平方米平均綜合費用最低，此時每平方米平均綜合費用為1225元AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（連云港市2012-2013學年度第一學期高三期末考試數學試卷）某單位決定對本單位職工實行年醫(yī)療費用報銷制度,擬制定年醫(yī)療總費用在2萬元至10萬元（包括2萬元和10萬元）的報銷方案,該方案要求同時具備下列三個條件:①報銷的醫(yī)療費用y(萬元）隨醫(yī)療總費用x（萬元)增加而增加;②報銷的醫(yī)療費用不得低于醫(yī)療總費用的50%;③報銷的醫(yī)療費用不得超過8萬元。(1)請你分析該單位能否采用函數模型y=0.05（x2+4x+8）作為報銷方案;(2）若該單位決定采用函數模型y=x2lnx+a(a為常數）作為報銷方案，請你確定整數的值。(參考數據：ln20.69,ln102。3）【答案】【解】（1)函數y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函數,滿足條件①,當x=10時，y有最大值7.4萬元,小于8萬元，滿足條件③但當x=3時,y=eq\f(29，20）<eq\f（3，2），即yeq\f(x，2)不恒成立,不滿足條件②，故該函數模型不符合該單位報銷方案（2)對于函數模型y=x2lnx+a，設f（x）=x2lnx+a，則f′(x）=1eq\f(2,x）=eq\f(x－2,x)0。所以f（x)在［2，10］上是增函數，滿足條件①,由條件②，得x2lnx+aeq\f（x,2），即a2lnxeq\f(x,2）在x［2，10]上恒成立,令g（x)=2lnxeq\f（x,2），則g′(x）=eq\f(2，x）－\f(1，2)=eq\f（4－x，2x)，由g′（x）〉0得x<4，g（x)在(0,4)上增函數,在(4,10)上是減函數。ag（4)=2ln42=4ln22由條件③，得f(10）=102ln10+a8,解得a2ln102另一方面,由x2lnx+ax,得a2lnx在x[2，10]上恒成立，a2ln2,綜上所述，a的取值范圍為[4ln22,2ln2］，所以滿足條件的整數a的值為1AUTONUM\*Arabic．（徐州、宿遷市2013屆高三年級第三次模擬考試數學試卷)已知一塊半徑為的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心，,殘缺部分位于過點的豎直線的右側.現(xiàn)要在這塊材料上截出一個直角三角形,有兩種設計方案:如圖甲,以為斜邊;如圖乙，直角頂點在線段上，且另一個頂點在上.要使截出的直角三角形的面積最大，應該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值。AABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E【答案】如圖甲,設，則,，所以，當且僅當時取等號，此時點到的距離為,可以保證點在半圓形材料內部,因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為ABABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E如圖乙，設，則，,所以，設,則,當時，,所以時，即點與點重合時，的面積最大值為因為，所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（常州市2013屆高三教學期末調研測試數學試題）第八屆中國花博會將于2013年9月在常州舉辦,展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD,，.a,b為常數且滿足。組委會決定從該矩形地塊中劃出一個直角三角形地塊建游客休息區(qū)(點E,F分別在線段AB，AD上),且該直角三角形AEF的周長為(）,如圖.設，△的面積為.(1）求關于的函數關系式;（2）試確定點E的位置,使得直角三角形地塊的面積最大，并求出的最大值。FFEbaBDCA【答案】解：（1）設,則，整理，得，(2）當時，，在遞增，故當時，；當時，在上，,遞增,在上，,遞減，故當時，.AUTONUM\*Arabic．（南京市、鹽城市2013屆高三第三次模擬考試數學試卷)將一張長8cm，寬6cm的長方形的紙片沿著一條直線折疊,折痕(線段）將紙片分成兩部分,面積分別為S1cm2,S2cm2，其中S1≤S2。記折痕長為lcm。（1）若l=4,求S1的最大值;（2）若S1∶S2=1∶2,求l的取值范圍。【答案】解如圖所示，不妨設紙片為長方形ABCD，AB=8cm,AD=6cm,其中點A在面積為S1的部分內.折痕有下列三種情形:①折痕的端點M，N分別在邊AB，AD上；②折痕的端點M，N分別在邊AB，CD上；③折痕的端點M，N分別在邊AD,BC上。AABCD（情形①）MNABCD（情形②）MNABCD（情形③）MN（1)在情形②?③中MN≥6,故當l=4時,折痕必定是情形①.設AM=xcm,AN=ycm，則x2+y2=16因為x2+y2≥2xy，當且僅當x=y時取等號，所以S1=eq\f（1,2)xy≤4,當且僅當x=y