山東省棗莊八中東校2024屆高考全國卷26省聯考（乙卷）數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點為的三條中線的交點，且，，則的值為()A． B． C． D．2．若函數在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．23．已知集合，，，則（）A． B． C． D．4．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．65．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．已知復數滿足，則（）A． B． C． D．7．關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A． B．C． D．8．函數圖像可能是（）A． B． C． D．9．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．240 B．264 C．274 D．28210．已知函數，若關于的方程恰好有3個不相等的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．11．設復數滿足（為虛數單位），則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．若復數（是虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．六位同學坐在一排，現讓六位同學重新坐，恰有兩位同學坐自己原來的位置，則不同的坐法有________種（用數字回答）.14．已知x，y＞0，且，則x+y的最小值為_____．15．在的展開式中，的系數為______用數字作答16．已知復數，且滿足（其中為虛數單位），則____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產品需要費用元，設表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．18．（12分）在考察疫情防控工作中，某區衛生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛生運動，從人居環境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規律狀況類.經過數據整理，得到下表：衛生習慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規律狀況類有效答卷份數380550330410400430習慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；（2）從該區任選一位居民，試估計他在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關系.19．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若存在實數，使得不等式成立，求實數的取值范圍.20．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為，試求點的坐標.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點，且，點的坐標為，求的面積.22．（10分）已知函數，其中.（Ⅰ）若，求函數的單調區間；（Ⅱ）設.若在上恒成立，求實數的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

可畫出圖形，根據條件可得，從而可解出，然后根據，進行數量積的運算即可求出．【題目詳解】如圖：點為的三條中線的交點，由可得：，又因，，.故選：B【題目點撥】本題考查三角形重心的定義及性質，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運算及向量的數量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.2、A【解題分析】

對函數求導,可得,即可求出,進而可求出答案.【題目詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【題目點撥】本題考查了函數的導數與極值,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.3、D【解題分析】

根據集合的基本運算即可求解.【題目詳解】解：，，，則故選：D.【題目點撥】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．4、C【解題分析】

根據列方程，由此求得的值，進而求得.【題目詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【題目點撥】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.5、D【解題分析】

可設的內切圓的圓心為，設，，可得，由切線的性質：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值．【題目詳解】可設的內切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設，，則，且有，解得，，設，，設圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【題目點撥】本題考查橢圓的定義和性質，注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質，切線的性質，考查化簡運算能力，屬于中檔題．6、A【解題分析】

由復數的運算法則計算．【題目詳解】因為，所以故選：A．【題目點撥】本題考查復數的運算．屬于簡單題．7、A【解題分析】

由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【題目詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.【題目點撥】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎題.8、D【解題分析】

先判斷函數的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數值為正，即可判斷選項.【題目詳解】,,即函數為偶函數，故排除選項A,C，當正數越來越小，趨近于0時，，所以函數，故排除選項B,故選：D【題目點撥】本題主要考查了函數的奇偶性，識別函數的圖象，屬于中檔題.9、B【解題分析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個面的面積，得到答案.【題目詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長交于點，其中，，，所以表面積.故選B項.【題目點撥】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題10、D【解題分析】

討論，，三種情況，求導得到單調區間，畫出函數圖像，根據圖像得到答案.【題目詳解】當時，，故，函數在上單調遞增，在上單調遞減，且；當時，；當時，，，函數單調遞減；如圖所示畫出函數圖像，則，故.故選：.【題目點撥】本題考查了利用導數求函數的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.11、D【解題分析】

先把變形為，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出，得到其坐標可得答案.【題目詳解】解：由，得，所以，其在復平面內對應的點為，在第四象限故選：D【題目點撥】此題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題.12、A【解題分析】

將整理成的形式，得到復數所對應的的點，從而可選出所在象限.【題目詳解】解：，所以所對應的點為在第一象限.故選:A.【題目點撥】本題考查了復數的乘法運算，考查了復數對應的坐標.易錯點是誤把當成進行計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、135【解題分析】

根據題意先確定2個人位置不變，共有種選擇，再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，計算得到答案.【題目詳解】根據題意先確定2個人位置不變，共有種選擇.再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，共有種選擇，故不同的坐法有.故答案為：.【題目點撥】本題考查了分步乘法原理，意在考查學生的計算能力和應用能力.14、1【解題分析】

處理變形x+y＝x（）+y結合均值不等式求解最值.【題目詳解】x，y＞0，且，則x+y＝x（）+y1，當且僅當時取等號，此時x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案為：1【題目點撥】此題考查利用均值不等式求解最值，關鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件，注意考慮等號成立的條件.15、1【解題分析】

利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令，求出展開式中的系數．【題目詳解】二項展開式的通項為令得的系數為故答案為1．【題目點撥】利用二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．16、【解題分析】

計算出，兩個復數相等，實部與實部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【題目詳解】，所以，所以.故答案為：-8【題目點撥】此題考查復數的基本運算和概念辨析，需要熟練掌握復數的運算法則.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機變量的分布列.【題目詳解】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、．則，，．故的分布列為【題目點撥】本題考查概率的計算，同時也考查了隨機變量分布列，考查計算能力，屬于基礎題.18、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者“的事件為，根據古典概型求出即可；（2）設該區“衛生習慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，設事件為“該居民在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣“，則（E），求出即可；（3）根據題意，寫出即可．【題目詳解】（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者“的事件為，有效問卷共有（份，其中受訪者中膳食合理習慣良好的人數是人，故（A）；（2）設該區“衛生習慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，根據題意，可知（A），（B），（C），設事件為“該居民在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣“則.所以該居民在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣至少具備2個良好習慣的概率為0.766.（3）．【題目點撥】本題考查了古典概型求概率，獨立性事件，互斥性事件求概率等，考查運算能力和事件應用能力，中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將函數的解析式表示為分段函數，然后分、、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數的最大值，由題意得出，解此不等式即可得出實數的取值范圍.【題目詳解】.（1）當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集；（2）當時，函數單調遞增，則；當時，函數單調遞減，則，即；當時，函數單調遞減，則.綜上所述，函數的最大值為，由題知，，解得.因此，實數的取值范圍是.【題目點撥】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了絕對值不等式中的參數問題，考查分類討論思想的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.20、（1）的普通方程為．的直角坐標方程為（2）（-1，0）或（2，3）【解題分析】

（1）對直線的參數方程消參數即可求得直線的普通方程，對整理并兩邊乘以，結合，即可求得曲線的直角坐標方程。（2）由（1）得：曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓，設點P的坐標為，由題可得：，利用兩點距離公式列方程即可求解。【題目詳解】解：（1）由消去參數，得．即直線的普通方程為．因為又，∴曲線的直角坐標方程為（2）由知，曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓設點P的坐標為，則點P到上的點的最短距離為|PQ|即，整理得，解得所以點P的坐標為（-1，0）或（2，3）【題目點撥】本題主要考查了參數方程化為普通方程及極坐標方程化為直角坐標方程，還考查了轉化思想及兩點距離公式，考查了方程思想及計算能力，屬于中檔題。21、（1）的極坐標方程為，的直角坐標方程為（2）【解題分析】

（1）先把曲線的參數方程消參后，轉化為普通方程，再利用求得極坐標方程.將，化為，再利用求得曲線的普通方程.（2）設直線的極角，代入，得，將代入，得，由，得，即，從而求得，，從而求得，再利用求解.【題目詳解】（1）依題意，曲線，即，故，即.因為