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數學建模的主要步驟自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑課標定位素養闡釋1.了解如何提出數學建模問題.2.掌握數學建模的一般步驟.3.通過掌握建模步驟,體會數學建模的思想.

自主預習·新知導學一、數學建模問題【問題思考】1.如何提出數學建模問題?提示:在實際生活中,我們會遇到各種問題,當我們對這些問題進行思考時,我們可以提出數學建模所需要的問題.數學建模問題的提出來源于生活中存在的實際問題.2.數學建模中提出的問題的依據有哪些?提示:具有實用性,具有數據采集可操作性,問題本身的需求性.二、建立數學模型【問題思考】1.建立數學模型應注意哪些問題?提示:首先為了排除眾多的不同和不確定性干擾因素,建模有一個重要環節——假設.其次,建模問題需要大量的數據,需要收集問題涉及的數據.最后考慮數學建模所涉及的數量有哪些.2.為什么要檢驗結果?提示:結合數學建模進行實地調查,對結論進行檢驗,若沒有明顯誤差,就可以使用這個模型,否則再修改假設,重新建模.3.數學建模核心素養是什么?提示:數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程.主要過程包括:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、構建模型,確立參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題.4.數學建模的一般步驟是什么?提示:(1)提出問題實際情境中的問題往往是模糊的和籠統的,原始的問題往往是一個希望得到優化的期待,或是某個不良現象的消失.這就需要透過現象,明確地提出問題.(2)建立模型在一定的知識積累的基礎上,預測建立的數學模型,抓住主要因素,摒棄次要因素,做出適當簡化和假設.(3)求解模型這個過程是求解數學問題.值得注意的是,如果目標是求值,一般不容易求得精確值,這就要根據需要求近似解.(4)檢驗結果用實際現象或數據檢驗求得的解是否符合實際.如果不符合實際情況,就要重新建模.

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究四探究五探究六探究一

傳送帶效率問題的數學模型問題情境:在機械化生產車間里,排列整齊的工作臺旁工人們緊張地生產同一種產品,工作臺上放一條傳送帶在運轉,帶上設置若干鉤子,工人將產品掛在經過他上方的鉤子上帶走.當生產進入穩定狀態后,每名工人生產一件產品所需時間是不變的,而他掛產品的時刻是隨機的.衡量這種傳送系統的效率可以看他能否及時把工人生產的產品帶走.很明顯,在工人人數不變的情況下傳送帶速度越快,帶上鉤子數越多,效率越高.探究二

問題重述構造衡量傳送系統效率的指標,并在簡化假設下建立模型描述這個指標與工人人數、鉤子數量等參數的關系.探究三

模型假設與符號說明1.有n名工人,其生產是獨立的,生產周期是常數,有n個工作臺均勻排列.2.生產已進入穩態,即每名工人生產出一件產品的時刻在一個周期內是等可能性的.3.在一周期內有m個鉤子通過每一工作臺上方,鉤子均勻排列,到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的.4.每名工人在任何時刻都能觸到一只鉤子,且只能觸到一只,在他生產出一件產品的瞬間,如果他能觸到的鉤子是空的,則可將產品掛上帶走;如果非空,則他只能將產品放下,放下的產品就永遠退出這個傳送系統.4.每名工人在任何時刻都能觸到一只鉤子,且只能觸到一只,在他生產出一件產品的瞬間,如果他能觸到的鉤子是空的,則可將產品掛上帶走;如果非空,則他只能將產品放下,放下的產品就永遠退出這個傳送系統.探究四

模型建立及求解將傳送系統效率定義為一周期內帶走的產品數與生產的全部產品數之比,記作D,設帶走的產品數為s,生產的全部產品數為n,則

,需求出s.如果從工人的角度考慮,分析每名工人能將自己的產品掛上鉤子的概率,這與工人所在的位置有關(如第1名工人一定可掛上),這樣使問題復雜化.我們從鉤子角度考慮,在穩定狀態下鉤子沒有次序,處于同等地位.若能對一周期內的m只鉤子求出每只鉤子非空的概率p,則s=mp.當n=10,m=40時,上式給出的結果為D=87.5%,而精確表達式①計算得D≈89.5%.提高傳送系統效率,即增大D減小E,在工人數n一定的情況下,E與鉤子數m成反比,即m增大一倍,E減少50%.探究五

模型優化及改進問題:如何改進模型使“效率E”(可理解為相反意義的效率)降低?解決方案:通過增加鉤子數來使效率降低的方法.在原有的每一個鉤子的位置,放置兩個鉤子構成雙鉤組,即有2m個鉤子,那么傳送系統的效率如何呢?與只是增加鉤子數目至2m相比,哪個效率更高呢?易知,在雙鉤組的情況下,每組鉤組在傳送系統結束后有三種情況:1.空鉤組2.滿鉤組3.不滿鉤組而如果只是增加鉤子數目至2m,那么D=93.75%,所以這種雙鉤組改進方案更加優越.探究六

模型評價及推廣這個模型是在