北京市西城區北京師大附屬實驗中學2024屆高三高考適應性練習（一）數學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知l，m是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．3．已知將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若和的圖象都關于對稱，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．4．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發彩色光的小燈泡且在背面用導線相連(弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米5．若復數滿足（是虛數單位），則的虛部為（）A． B． C． D．6．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．7．以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數（上一年同月）變化圖表，則以下說法錯誤的是（）（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是北京、天津、上海、重慶）A．3月份四個城市之間的居民消費價格指數與其它月份相比增長幅度較為平均B．4月份僅有三個城市居民消費價格指數超過102C．四個月的數據顯示北京市的居民消費價格指數增長幅度波動較小D．僅有天津市從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢8．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．9．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．若為虛數單位，則復數，則在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．設集合，，則（）．A． B．C． D．12．已知函數，不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則__________．14．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______15．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____16．若的展開式中各項系數之和為32，則展開式中x的系數為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數列中，已知，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.18．（12分）已知函數.（1）若對任意x0，f（x）0恒成立，求實數a的取值范圍；（2）若函數f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1x2），證明：.19．（12分）已知函數．（1）若曲線在處的切線為，試求實數，的值；（2）當時，若有兩個極值點，，且，，若不等式恒成立，試求實數m的取值范圍．20．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設二面角的大小為，求的值.21．（12分）已知函數（1）若，試討論的單調性；（2）若，實數為方程的兩不等實根，求證：.22．（10分）已知，，，，證明：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.【題目詳解】當m⊥平面α時，若l∥α”則“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l∥α”是“l⊥m”充分不必要條件，故選：A.【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題2、A【解題分析】

設圓的標準方程，利用待定系數法一一求出，從而求出圓的方程.【題目詳解】設圓的標準方程為，由題意得圓心為，的中點，根據中點坐標公式可得，，又，所以圓的標準方程為：，化簡整理得，所以本題答案為A.【題目點撥】本題考查待定系數法求圓的方程，解題的關鍵是假設圓的標準方程，建立方程組，屬于基礎題.3、B【解題分析】

因為將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，可得，結合已知，即可求得答案.【題目詳解】將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，又和的圖象都關于對稱，由，得，，即，又，.故選：B.【題目點撥】本題主要考查了三角函數圖象平移和根據圖象對稱求參數，解題關鍵是掌握三角函數圖象平移的解法和正弦函數圖象的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.4、B【解題分析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【題目詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導線長度約為63(厘米).故選：B.【題目點撥】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.5、A【解題分析】

由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數可得復數,從而可得的虛部.【題目詳解】因為,所以,所以復數的虛部為.故選A.【題目點撥】本題考查了復數的除法運算和復數的概念,屬于基礎題.復數除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數,轉化為乘法運算.6、A【解題分析】

利用正弦定理邊角互化思想結合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【題目詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【題目點撥】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.7、D【解題分析】

采用逐一驗證法，根據圖表，可得結果.【題目詳解】A正確，從圖表二可知，3月份四個城市的居民消費價格指數相差不大B正確，從圖表二可知，4月份只有北京市居民消費價格指數低于102C正確，從圖表一中可知，只有北京市4個月的居民消費價格指數相差不大D錯誤，從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢故選：D【題目點撥】本題考查圖表的認識，審清題意，細心觀察，屬基礎題.8、A【解題分析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【題目詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關鍵是建立三者間的關系，本題是一道中檔題.9、D【解題分析】

根據面面平行的判定及性質求解即可．【題目詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【題目點撥】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質，屬于基礎題．10、B【解題分析】

首先根據特殊角的三角函數值將復數化為，求出，再利用復數的幾何意義即可求解.【題目詳解】，，則在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B【題目點撥】本題考查了復數的幾何意義、共軛復數的概念、特殊角的三角函數值，屬于基礎題.11、D【解題分析】

根據題意，求出集合A，進而求出集合和，分析選項即可得到答案.【題目詳解】根據題意，則故選：D【題目點撥】此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目,12、C【解題分析】

確定函數為奇函數，且單調遞減，不等式轉化為，利用雙勾函數單調性求最值得到答案.【題目詳解】是奇函數，，易知均為減函數，故且在上單調遞減，不等式，即，結合函數的單調性可得，即，設，，故單調遞減，故，當，即時取最大值，所以.故選：.【題目點撥】本題考查了根據函數單調性和奇偶性解不等式，參數分離求最值是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

解一元二次不等式化簡集合，再進行集合的交運算，即可得到答案.【題目詳解】，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

第一空：將圓與聯立，利用計算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關系，再將與聯立，得到，與結合可得為等差數列，進而可得.【題目詳解】當r1=1時，圓，與聯立消去得，則，解得；由圖可知當時，①，將與聯立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【題目點撥】本題是拋物線與圓的關系背景下的數列題，關鍵是找到圓心和半徑的關系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合性較強，是一道難度較大的題目.15、80211【解題分析】

由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【題目詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.16、2025【解題分析】

利用賦值法，結合展開式中各項系數之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數.【題目詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數為.故答案為：2025【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式各項系數之和，考查二項式展開式指定項系數的求法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）由已知變形得到，從而是等差數列，然后利用等差數列的通項公式計算即可；（2）先求出數列的通項，再利用裂項相消法求出即可.【題目詳解】（1）由已知，，即，又，則數列是以1為首項3為公差的等差數列，所以，即.（2）因為，則，所以，又是遞增數列，所以，綜上，.【題目點撥】本題考查由遞推公式求數列通項公式、裂項相消法求數列的和，考查學生的計算能力，是一道基礎題.18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）求出，判斷函數的單調性，求出函數的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知，.對分和兩種情況討論，構造函數，利用放縮法和基本不等式證明結論．【題目詳解】（1）由，得.令.當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，.對任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，.若，則，令在上單調遞增，，.又，在上單調遞減，.若，則顯然成立.綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【題目點撥】本題考查利用導數解決不等式恒成立問題，利用導數證明不等式，屬于難題.19、（1）；（2）．【解題分析】

（1）根據題意，求得的值，根據切點在切線上以及斜率等于，構造方程組求得的值；（2）函數有兩個極值點，等價于方程的兩個正根，，不等式恒成立，等價于恒成立，，令，求出導數，判斷單調性，即可得到的范圍，即的范圍.【題目詳解】（1）由題可知，，，聯立可得．（2）當時，，，有兩個極值點，，且，，是方程的兩個正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數，，故．【題目點撥】該題考查的是有關導數的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，函數的極值點的個數，構造新函數，應用導數研究函數的值域得到參數的取值范圍，屬于較難題目.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點D，連接BD，以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計算即可.【題目詳解】（1）在中，，所以，即.因為，，，所以.所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點D，連接BD，則.以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，且，.由得取.由四邊形為菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.【題目點撥】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時，關鍵是點的坐標要寫準確，本題是一道中檔題.21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解題分析】

（1）根據題意得，分與討論即可得到函數的單調性；（2）根據題意構造函數，得，參變分離得，分析不等式，即轉化為，設，再構造函數，利用導數得單調性，進而得證.【題目詳解】（1）依題意，當時，，①當時，恒成立，此時在定義域上單調遞增；②當時，若，；若，；故此時的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設），即證，令，設，則，在單