專題02數的整除解答題壓軸訓練1.（2020浦東四署10月27）有4個學生，年齡恰好是連續的4個正整數，且這四個數的乘積是5040，求這四個學生的年齡分別是多少歲？【答案】7歲、8歲、9歲和10歲；【解析】解：因為5040=2×2×2×2×3×3×5×7，其中2×2×2=8，3×3=9，2×5=10；所以四個學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.2.已知甲數比乙數大6，比丙數小72，三數之和是120，求三數的最小公倍數及最大公因數．【答案】6，540；【解析】已知甲數比乙數大6，比丙數小72，三數之和是120，則甲、乙、丙分別為18，12，90，則由短除法可知：最大公因數為6，最小公倍數為540．此題考查求最小公倍數和最大公因數的求法．3.一個兩位數，用它去除391和40，所得余數相同，用它去除283和23，所得余數也相同，求這個兩位數．【答案】13；【解析】一個兩位數，用它去除391和40，所得余數相同，則這個兩位數能夠整除391和此余數，也能整除40和此余數，則這個兩位數一定能夠整除（391+此余數）-（40+此余數）=351，同理可得：這個兩位數一定能被283-23=260整除．因為391-40=351=13×27，283-23=260=13×20，所以這個數是13．此題需要對整除定義非常熟練．4.（2019上南中學10月考30）從甲地到乙地原來每隔45米豎1根電線桿，加上兩端的2根電線桿共有53根.現在改為每隔60米豎一根電線桿，那么除了兩端的兩根電線桿不動外，中間還有幾根電線桿可以不必移動？【答案】12；【解析】解：從甲地到乙地相距：45×(53-1)=2340米，如下圖，可知45與60的最小公倍數為3×5×3×4=180，又2340÷180-1=13-1=12，所以除了兩端的兩根電線桿不動外，中間還有12根電線桿可以不必移動.5.（2019徐教院附中10月考25）閱讀理解：在上面的橫線上填上適當的數，使等式成立，并利用上述規律回答下列問題：2到14的偶數和是多少？2到100的偶數和是多少？【答案】5,5;6,6;①56；②2550；【解析】解：，；①=56；②=2550.6.（2019建平西校10月考29）在同一間屋子里有100盞電燈排成一橫行，依次從左到右的順序編上號碼1、2、3、....100，每盞燈有一根拉線開關，最初所有的電燈全是關著的，現在有100個學生在門外排著隊，第一個學生走進屋，把凡是編號是1的倍數的電燈的開關拉了一下;接著第二個學生走進屋，把凡是編號是2的倍數的電燈開關拉了一下;第三個學生走進屋，把凡是編號是3的倍數的電燈開關拉了一下....最后第100個學生走進屋，把編號是100的倍數的電燈開關拉了一下,這樣做過以后，問哪些編號的電燈是亮著的?為什么?【答案】編號為1、4、9、16、25、36、49、64、81、100;【解析】解：根據題意可知：只有拉了奇數次開關的電燈是亮的，而每一盞燈的接線開關被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數字有多少個不同的正約數，最后亮燈的編號只有為完全平方7.（浦東南片2019期中28）兩百年前，德國數學家哥德巴赫發現：任何一個不小于6的偶數都可以寫成兩個奇素數（既是奇數又是素數）之和，簡稱："l＋1"。如，等等。眾多數學家用很多偶數進行檢驗，都說明是正確的，但至今仍無法從理論上加以證明，也沒找到一個反例.這就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能檢驗一下這個偉大的猜想嗎？請把偶數42寫成兩個奇素數之和.，或者.你是否有更大的發現：把42寫成4個奇素數之和？.【答案與解析】解：，或者.；.（答案不唯一）8.（2019崇明期中30）一種木質板材長60厘米，寬45厘米.（1）如果將一塊這種木質板材鋸成若干塊相同大小的正方形木板（邊長為正整數厘米），要求正方形的面積最大且木質板材沒有剩余，那么鋸成的正方形木板邊長是多少厘米？可以鋸成幾塊？（2）如果用這種木質板材拼成一個大正方形（邊長為正整數厘米），那么拼成的正方形的邊長至少是多少厘米？需要木質板材多少塊？【答案】（1）15厘米，12塊；（2）180厘米，12塊；【解析】解：（1）如下圖，可知最大公因數是3×5=15，4×3=12；答：鋸成的正方形木板邊長是15厘米，可以鋸成12塊；（2）如圖所示，最小公倍數是5×3×4×3=180；180÷60=3，180÷45=4，4×3=12；答：拼成的正方形木板邊長是180厘米，需要木質板材共12塊；9.(2019松江九亭9月28)有一塊長方形的綠地，長60米，寬24米，打算在它的周圍種樹，四角各植一棵，并且使相鄰兩棵樹苗之間的距離相等，問相鄰兩棵樹苗之間的最大距離是多少米？一共需要樹苗多少棵？【答案】12米；14棵；【解析】解：因為60與24的最大公因數為2×2×3=12，故相鄰兩棵樹之間的最大距離是12米，一共需要樹苗棵數為：（60×2+24×2）÷12=14（棵）.答：相鄰兩棵樹苗之間的最大距離是12米；一共需要樹苗14棵.2=10.小明有12張卡片，其中3張卡片上面寫著1，3張卡片上面寫著3，3張卡片上面寫著5，3張卡片上面寫著7，小明從中選出5張卡片，它們上面的數字之和可能等于22嗎？如果能，請說明如何選擇卡片；如果不能，請說明理由．【答案】不能；【解析】因為12張卡片上的數字都是奇數，5個奇數之和一定為奇數，不可能為偶數，22是偶數，所以不能．本題主要考查數字的奇偶性，偶數個奇數相加結果為偶數；奇數個奇數相加結果為奇數．11.甲、乙、丙三個數，甲與乙的最大公因數是12，甲與丙的最大公因數是15，而三個數的最小公倍數是120，求甲、乙、丙三個數．【答案】60、24、15；【解析】因為12=2×2×3，15=3×5，而最小公倍數為120=2×2×2×3×5，所以丙是3×5=15，則甲為3×5×2×2=60，乙為2×2×2×3=24，所以甲為60，乙為24，丙為15．此題利用短除法求最大公因數和最小公倍數的規律，分析題目中數字的規律，進而求解結果．12.一次會餐提供三種飲料，餐后統計，三種飲料共用78瓶，平均每2人飲用1瓶A飲料，每3人飲用1瓶B飲料，每4人飲用1瓶C飲料，問參加會餐的人數是多少人？【答案】72人；【解析】2、3、4的最小公倍數為12，可安排12人一桌，那么一桌共需要飲料：12÷2+12÷3+12÷4=13瓶，一共有78÷13=6桌，一共有6×12=72人．此題將此問題轉化為公倍數來解決．13.（2019晉元附校測試題）一次活動中，我方偵查員截獲了敵方的密碼，從左邊開始，第一個數字是10以內的最大素數；第二個數字既有因數2，又是6的倍數；第三個數字既不是素數也不是合數；第四個數字既是素數又是偶數；第五個數字是最小的奇數與最小的合數的積；第六個數字是所有能被3整除的數的最大公因數。誰能破譯密碼，并說明你是怎么破譯的?【答案】761243;【解析】解：從左邊開始，第一個數字為10以內最大的素數，故第一個數字為7；第二個數字既有因數2，又是6的倍數，故第二個數字為6；既不是素數也不是合數的數為1，故第三個數字為1；既是素數又是偶數的數為2，故第四個數字為2；最小的奇數為1，最小的合數為4，最小的奇數與最小的合數的積為4，故第五個數字為4；所有能被3整除的數的最大公因數為3；所以這個數是761243.因此這個密碼為：761243.14.（2019浦東四署10月27）閱讀理解題我們知道，每個自然數都有因數，對于一個自然數a，我們把小于a的正的因數叫做a的真因數.如10的正因數為1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數.把一個自然數a的所有真因數的和除以a，所得的商叫做a的“完美指標”.如10的“完美指標”是（1+2+5）÷10=.一個自然數的“完美指標”越接近1，我們就說這個數越“完美”.如8的“完美指標”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指標”是，因為比更接近1，所以我們說8比10更完美.（1）閱讀上述材料，分別求12和17的“完美指標”；（2）比10大，比20小的自然數中，最“完美”的數是.（只要求寫出答案）【答案】（1）；；（2）16；【解析】解：（1）12的真因數是：1，2，3，4，6，故12的完美指標為：（1+2+3+4+6）÷12=；17的真因數為1，故17的完美指標為1÷17=；（2）比10大，比20小的自然數中，11的完美指標為，12的完美指標為，13的完美指標為，14的完美指標為，15的完美指標為，16的完美指標為，17的完美指標為，18的完美指標為，19的完美指標為，故以上完美指標中與1更接近，故最？完美“的數是16.15.（2019晉元附校測試25）如果正整數能使也是正整數，那么這樣的正整數有多少個？分別是幾？進一步研究，能否存在正整數使同時是正整數？為什么？【答案】8個，分別是1、2、3、4、6、8