場(chǎng)論《場(chǎng)論》教材及主要參考書(shū)教材：

《矢量分析與場(chǎng)論》

謝樹(shù)藝

高等教育出版社主要參考書(shū):

《矢量分析與場(chǎng)論--學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》

謝樹(shù)藝

高等教育出版社第一節(jié)場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)的場(chǎng)稱(chēng)為穩(wěn)定場(chǎng)，否則為不穩(wěn)定場(chǎng).1.場(chǎng):如果在空間或其部分空間的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，該物理量的一個(gè)場(chǎng).如果該物理量是數(shù)量，稱(chēng)它為數(shù)量場(chǎng)；如果該物理量是矢量，稱(chēng)它為矢量場(chǎng)或向量場(chǎng).分別用表示.及則稱(chēng)在該空間定義了關(guān)于溫度場(chǎng)和密度場(chǎng)：數(shù)量場(chǎng),重力場(chǎng)和速度場(chǎng)：矢量場(chǎng).

數(shù)量場(chǎng)的等值面在數(shù)量場(chǎng)

中，稱(chēng)曲面為該數(shù)量場(chǎng)的等值面.在平面場(chǎng)中，稱(chēng)曲線為它的等值線,如等溫線、等高線等.一個(gè)等值面通過(guò)；等值面族充滿了數(shù)量場(chǎng)所在的空間，而且互不相交.由于數(shù)量場(chǎng)是單值的，所以場(chǎng)中的每一點(diǎn)有且僅有等值面等值線3.矢量場(chǎng)的矢量線設(shè)C為矢量場(chǎng)中的曲線，如果C矢量線:上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量都與C相切,則稱(chēng)之為矢量線.設(shè)為曲線上一點(diǎn)，因?yàn)?所以矢量線滿足解：矢量線所滿足的微分方程為由得又由合比定理例1.求矢量場(chǎng)的矢量線方程.過(guò)點(diǎn)可得有將點(diǎn)代入得所以所求矢量線方程為：第二節(jié)數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度定義1：1.方向?qū)?shù)設(shè)是數(shù)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，存在，則稱(chēng)此極限為在點(diǎn)處沿l方向的方向?qū)?shù)，記作若沿方向l定理1:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:且有得若函數(shù)在點(diǎn)處可微，故在點(diǎn)可微,由函數(shù)定義2：設(shè)是數(shù)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，存在，則稱(chēng)此極限為在點(diǎn)處沿曲線C(正向)的記作若沿曲線C之正向方向?qū)?shù)，定理2:曲線C光滑，若在點(diǎn)處函數(shù)可微、l為C在處的切線方向（正向），則例1.在點(diǎn)是曲面設(shè)處指向下側(cè)的法向量，求函數(shù)在點(diǎn)M處沿的方向?qū)?shù).解:

方向余弦為而法向量為所以所以例2.

朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用矢量形式表示為它在點(diǎn)P

的切向量為在點(diǎn)P(2,3)沿曲線求函數(shù)梯度記作gradu,即定義：稱(chēng)向量為數(shù)量場(chǎng)u(M)在設(shè)有數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處,點(diǎn)M處的梯度,引入哈密頓算子：有性質(zhì)：方向：u變化率最大的方向模:

u的最大變化率之值1)2)3)為等值面在點(diǎn)M處的法向量，u(M)增大的一方.指向數(shù)量場(chǎng)注：稱(chēng)為由數(shù)量場(chǎng)u產(chǎn)生的梯度場(chǎng).矢量場(chǎng)運(yùn)算公式例3.證:試證處矢徑r的模,例4.作出數(shù)量場(chǎng)所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)的矢量線.解:數(shù)量場(chǎng)所產(chǎn)生其矢量線滿足微分方程所以矢量線方程為：的梯度場(chǎng)為第三節(jié)矢量場(chǎng)的通量與散度定義：1.通量簡(jiǎn)單曲線:沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線；簡(jiǎn)單曲面:沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲面；設(shè)有矢量場(chǎng)，中有向曲面S某一側(cè)的曲面積分向積分所沿一側(cè)叫做矢量場(chǎng)穿過(guò)曲面S的通量.沿其設(shè)又所以通量為當(dāng)

>0時(shí),當(dāng)

<0時(shí),當(dāng)

=0時(shí),不能判定S內(nèi)有無(wú)源.表明S

內(nèi)有正源;表明S

內(nèi)有負(fù)源

;通量的物理意義通量的表示例1.解:設(shè)由矢徑構(gòu)成的矢量場(chǎng)中，有一由圓錐面及平面所圍成的封閉曲面S,試求從S內(nèi)穿出S的通量.由奧-高公式（奧氏公式、高斯公式）2.散度定義：存在，則稱(chēng)此極限為在點(diǎn)處的散度，記作若設(shè)有矢量場(chǎng)，表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無(wú)源,散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場(chǎng)A

處處有,則稱(chēng)A

為無(wú)源場(chǎng).說(shuō)明:散度是通量對(duì)體積的變化率,且定理:在任一點(diǎn)M(x,y,z)的散度為在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)證明：由奧-高公式又由中值定理得所以其中為中的某一點(diǎn),推論1：奧-高公式的矢量形式推論2：若在封閉曲面S內(nèi)處處有，則推論3：或這些點(diǎn)的任一封閉曲面的通量都相等.若在矢量場(chǎng)內(nèi)某些點(diǎn)上有，不存在，而在其他點(diǎn)上，則穿出包圍例2.解:

求矢量場(chǎng)所產(chǎn)生的散度場(chǎng),并求此散度場(chǎng)通過(guò)點(diǎn)M(2,-1,1)的梯度。令散度的運(yùn)算公式例3.解:

已知求由基本公式得由于故第四節(jié)矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度定義：1.環(huán)量設(shè)有矢量場(chǎng)，封閉有向曲線l按積分所取方向沿曲線

l的環(huán)量.叫做矢量場(chǎng)沿其中環(huán)量表示的曲線積分例1.解:設(shè)有平面矢量場(chǎng)l為場(chǎng)中的星形線求沿l正向的環(huán)量2.環(huán)量面密度定義：存在，中的設(shè)M為矢量場(chǎng)記作,一點(diǎn)，若沿方向則稱(chēng)此極限為在點(diǎn)處沿方向的環(huán)量面密度，即定理:在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)證明：由斯托克斯公式在任一點(diǎn)M(x,y,z)的處沿方向的環(huán)量面密度為其中為的方向角.又由中值定理得所以其中為中的某一點(diǎn),例2.解:

求矢量場(chǎng)在點(diǎn)M(2,-1,1)沿方向環(huán)量面密度.的方向余弦為所以在點(diǎn)M沿環(huán)量面密度為3.旋度定義：稱(chēng)向量設(shè)矢量場(chǎng)在點(diǎn)處,為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的旋度,記作，即性質(zhì)：方向：模:1)2)的最大環(huán)量面密度的方向的最大環(huán)量面密度之值斯托克斯公式的矢量形式設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為

,點(diǎn)M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來(lái)源)旋度的力學(xué)意義:旋度的運(yùn)算公式A的雅可比矩陣?yán)?.解:

已知求由于又及所以故第五節(jié)幾種重要的矢量場(chǎng)線單連域:如果空間區(qū)域G內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線l，都存在一個(gè)以l為邊界且全部位于G的曲面S，否則稱(chēng)G為線復(fù)連域.則稱(chēng)區(qū)域G為線單連域，面單連域:如果空間區(qū)域G內(nèi)的任何一個(gè)簡(jiǎn)單閉曲面S所包圍的點(diǎn)皆在G內(nèi)(即S沒(méi)有洞),否則稱(chēng)G為面復(fù)連域.則稱(chēng)區(qū)域G為面單連域，1.有勢(shì)場(chǎng)定義:若存在單值函數(shù)使得則稱(chēng)為有勢(shì)場(chǎng).稱(chēng)為該矢量場(chǎng)的勢(shì)函數(shù),即設(shè)矢量場(chǎng)勢(shì)函數(shù)的全體可表示為定理:在線單連域內(nèi)，為有勢(shì)場(chǎng)證明：設(shè)為有勢(shì)場(chǎng),則存在單值函數(shù)使得那么由于場(chǎng)所在區(qū)域?yàn)榫€單連域，所以l為區(qū)域內(nèi)任一閉曲線；與路徑無(wú)關(guān)()；“”“”場(chǎng)保守存在函數(shù)u即為有勢(shì)場(chǎng).注：1)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)保守場(chǎng)無(wú)旋2)勢(shì)函數(shù)例1.解:則存在函數(shù)u(M),使因是保守場(chǎng)，則曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，于是其中為場(chǎng)中任一點(diǎn).若是保守場(chǎng)，令則注：稱(chēng)為的原函數(shù).例2.解:證明矢量場(chǎng)為保守場(chǎng)，并計(jì)算曲線積分其中l(wèi)是從A(1,4,1)到B(2,3,1)為保守場(chǎng).故取于是的任一路徑.例3.解:是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù)v.證明矢量場(chǎng)由的雅可比矩陣得為有勢(shì)場(chǎng),故那么存在函數(shù)使得取于是得勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)的全體為那么有第一個(gè)方程對(duì)x積分，得上式對(duì)y求導(dǎo)，得所以有于是也就有不定積分法求勢(shì)函數(shù)存在函數(shù)使得即有于是所以有從而勢(shì)函數(shù)上式對(duì)z求導(dǎo)，得若2.管形場(chǎng)定義：設(shè)矢量場(chǎng)，稱(chēng)為管形場(chǎng)(無(wú)源場(chǎng)).定理2:是矢量管上的任意兩個(gè)橫斷面，法矢都指向所指方向一側(cè)，定理3:在面單連域內(nèi)，為管形場(chǎng)充要條件是存在一個(gè)矢量場(chǎng),使得.此時(shí)稱(chēng)為的勢(shì)矢量.為面單連域，任取一矢量管.其則設(shè)管形場(chǎng)所在空間區(qū)域若3.調(diào)和場(chǎng)定義：設(shè)矢量場(chǎng)，則稱(chēng)為調(diào)和場(chǎng).(1)調(diào)和函數(shù)定義：如果函數(shù)u滿足拉普拉斯方程則稱(chēng)函數(shù)u為調(diào)和函數(shù).其中