第第頁專題5.2三角函數的概念（重點題型解題技巧）【題型1由終邊上的點求三角函數值】【題型2由三角函數值求終邊上的點或參數】【題型3同角三角函數已知條件求值問題】【題型4正余弦和差積問題】【題型5正余弦齊次式的計算】題型1由終邊上的點求三角函數值此類題型操作步驟如下：第一步：畫出符合要求的直角坐標系及射線定點第二步：利用勾股定理求出三邊的數值第三步：利用三角函數的定義分別求解，正負判斷標準①看上下，上為正、下為負②看左右，右為正、左為負③看對角線，一三為正、二四為負1．已知角α的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由任意角的三角函數的定義求解.【詳解】由題意可知點到原點的距離，由任意角的三角函數的定義，，所以.故選：D2．已知角的終邊經過點，則（

）A． B．7 C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，利用正切函數的定義列式計算作答.【詳解】由角的終邊經過點，得，解得，所以．故選：A3．已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角函數的定義求得正確答案.【詳解】依題意，，所以．故選：D4．已知角的終邊上有一點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據三角函數的定義即可求解.【詳解】由題知，因為，所以點在第三象限，所以，，故選：BD.5．已知角θ的終邊經過點，且θ與α的終邊關于x軸對稱，則【答案】－【分析】根據三角函數的定義計算即可.【詳解】角θ的終邊經過點；θ與α的終邊關于x軸對稱，由題意得α的終邊經過點，.故答案為：6．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉后經過點，則．【答案】1【分析】利用三角函數的定義計算即可.【詳解】易知角的終邊按逆時針方向旋轉后得到，由題意可知的終邊位于第二象限，且，故，所以，即.故答案為：17．若角的終邊經過點，則的值是．【答案】【分析】分、兩種情況討論，結合三角函數的定義可求得的值.【詳解】因為角的終邊經過點，當時，由三角函數的定義可得，，此時，；當時，由三角函數的定義可得，，此時，.綜上所述，.故答案為：.8．已知角的終邊過點，則【答案】/0.75【分析】根據特殊角三角函數值可得，進而由三角函數的定義即可求解.【詳解】由于，利用三角函數定義知，,故答案為：9．如圖已知角的終邊經過點，求的正弦、余弦和正切值．

【答案】，，．【分析】根據三角函數的定義即可求解.【詳解】由題意可得，，則，所以，，．10．已知角的終邊落在直線上，且，求，，的值．【答案】，，.【分析】根據給定條件，求出角α的終邊上一個點的坐標，再利用三角函數定義求解即得.【詳解】角的終邊落在直線上，且，取角的終邊上的點，則，所以，；.11．已知角的終邊在直線上，求的值．【答案】或.【分析】根據三角函數的定義計算即可.【詳解】由題意可設角的終邊上任意一點，則由三角函數的定義有，當時，，當時，.故或.12．已知角的終邊經過點，且，求和的值．【答案】或【分析】利用三角函數的定義可得出關于的等式，求出的值，再結合三角函數的定義可求得的值.【詳解】解：因為角的終邊經過點，且，解得.當時，；當時，.綜上所述，或.13．已知角的終邊過點，且，求及的值．【答案】，【分析】根據三角函數定義求解.【詳解】由角的終邊過點，可知，又，得．所以，.14．已知角β的終邊經過點，則，．【答案】/【分析】根據三角函數的定義，計算即可得出答案.【詳解】由已知可得，，根據三角函數的定義可得，，.故答案為：；.15．已知角α的終邊經過點，則，．【答案】/【分析】根據三角函數的定義，計算即可得出答案.【詳解】由已知可得，，根據三角函數的定義可得，，.故答案為：；.16．已知角的終邊經過點，則，．【答案】【分析】根據三角函數定義即可得到答案.【詳解】由已知得，所以.故答案為：；.題型2由三角函數值求終邊上的點或參數此類題型操作步驟如下：第一步：利用三角函數的定義及正負判斷標準①看上下，上為正、下為負②看左右，右為正、左為負③看對角線，一三為正、二四為負確定大體位置第二步：畫出符合要求的直角坐標系及射線定點第三步：代入參數利用勾股定理求值1．已知是角的終邊上一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義求出的值，再根據三角函數的定義進行求值即可.【詳解】由三角函數的定義知:，所以.故選：A.2．若角的終邊上有一點，且，則（

）A．4 B． C．-1 D．【答案】C【分析】根據公式，即可得到本題答案.【詳解】由已知，得，解得.因為，所以，則.故選：C3．已知角終邊經過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據余弦函數的定義列式計算即可.【詳解】因為角終邊經過點，所以，所以，解得.故選：C4．角的終邊上一點的坐標為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助三角函數定義求出，然后利用定義可求答案.【詳解】，解得：，所以.故選：A.5．已知角的頂點為原點，起始邊為軸非負半軸，若點是角終邊上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數的定義可得出關于的等式，即可解出的值.【詳解】因為點是角終邊上一點，且，由三角函數的定義可得，則，解得.故選：B.6．已知角的終邊過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析出，利用三角函數的定義可得出關于的等式，解之即可.【詳解】因為角的終邊過點，且，則，且，解得.故選：C.7．若，且角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角函數的定義，列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，根據三角函數的定義可得，所以，，且，所以，.故選：D．8．給出下列四個選項中，其中正確的選項有（

）A．若角的終邊過點且，則B．若是第三象限角，則為第二象限或第四象限角C．若在單調遞減，則D．設角為銳角（單位為弧度），則【答案】BD【分析】根據三角函數的定義、象限角、函數的單調性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若角的終邊過點，則，所以，所以A選項錯誤.B選項，若是第三象限角，即，則，所以為第二象限或第四象限角，B選項正確.C選項，依題意，，則且，函數的開口向上，對稱軸為，則函數在上單調遞減，要使在單調遞減，根據復合函數單調性同增異減可知，且，解得，所以C選項錯誤.D選項，如下圖所示，銳角的終邊為射線，在單位圓上，，過作軸，垂足為，則的弧長為，由圖可知，所以D選項正確.

故選：BD【點睛】由角的終邊上的點求三角函數值，要注意三角函數的符號.象限角和軸線角不一樣，解題過程中要特別注意.求解對數型復合函數的單調性問題，除了同增異減的利用外，還需要注意對數函數的定義域.9．已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據任意角的三角函數的定義列方程可求出的值，從而可求出角的其它三角函數值.【詳解】因為角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，所以，所以，由，可知，所以角為第二象限的角，所以，所以，所以A錯誤，B正確，所以，，所以CD正確，故選：BCD10．已知角的終邊上一點，且，則.【答案】【分析】利用正弦函數的定義列出關于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】由角的終邊上一點，且，可得，解之得或（舍）故答案為：11．若角的終邊經過點，且，則．【答案】【分析】根據三角函數的定義求解即可.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，解得（舍去），所以.故答案為：.12．角的頂點在直角坐標系的原點，始邊與x軸的正半軸重合，點是角終邊上一點，若，則．【答案】【分析】根據角的終邊上的點的坐標，結合三角函數的定義，列式計算，即得答案.【詳解】由題意得點到原點O的距離為，故由得，解得，故答案為：13．設點是角終邊上一點，且，求v的值．【答案】【分析】根據題意，利用三角函數的定義，列出方程，即可求解.【詳解】解：由點是角終邊上一點，且，根據三角函數的定義，可得，且解得.14．已知角的終邊上一點且，求，．【答案】，【分析】先根據三角函數的定義求出，再根據三角函數的定義即可得解.【詳解】由角的終邊上一點且，得，解得，則，當時，，當時，，所以，．15．已知點角的終邊上，且，求m，，．【答案】，，．【分析】根據三角函數定義求得，進而得出，．【詳解】根據三角函數定義，解得，所以，．題型3同角三角函數已知條件求值問題同角三角函數的基本關系(1)平方關系：．(2)商數關系：；注意：正負判斷標準①看上下，上為正、下為負②看左右，右為正、左為負③看對角線，一三為正、二四為負1．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據同角三角函數的平方關系和商數關系即可得到答案.【詳解】由題意得，則，故選：A.2．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用平方關系求余弦值，注意角的范圍確定值的符號.【詳解】由題設.故選：A3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形為，結合同角的三角函數關系化簡為，即可求得答案.【詳解】由題意知，則，故選：D4．已知，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用弦化切求解即可.【詳解】由，得，所以.故選：B5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據同角三角函數的關系求解可得，即可.【詳解】因為，故，即，即，因為，故，.故.故選：C6．已知第二象限角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據三角函數的定義求出，再根據同角三角函數的基本關系將弦化切，代入計算可得.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以.故選：A7．已知，則.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【詳解】由，得，所以.故答案為：8．已知，則.【答案】/【分析】由，再將弦化切，最后代入計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：9．若，那么．【答案】1【分析】弦化切即可.【詳解】故答案為：110．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）0或．【分析】（1）利用同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得；（2）由平方關系求出，從而求出，即可得到【詳解】（1）由，所以；（2）由，，可得，即，則或，當時，，則；當時，，則；所以或．11．已知，求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據，分式同除可得.（2）根據先將轉化為，再將分式同除可得.【詳解】（1）（2）12．已知，計算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分子分母同時除以弦化切，然后代入可得；（2）利用平方關系式將目標式化為齊次式，然后弦化切可得.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，所以13．已知，求和的值．【答案】答案見解析【分析】利用平方關系和商數關系即可得到答案.【詳解】的終邊在四個象限或軸上.（1）當的終邊在第一或第二象限時，得.得.（2）當的終邊在第三或第四象限時，得.得.（3）當的終邊在軸上時，.14．解下列各題：(1)已知，且為第一象限角，求和的值．(2)已知，且為第三象限角，求和的值．(3)已知，且為第二象限角，求和的值．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】（1）（2）利用同角三角函數的平方關系與商數關系可求得所求值；（3）利用同角三角函數的平方關系與商數關系可得出關于、的方程組，結合角的終邊位置可求得結果.【詳解】（1）解：因為，且為第一象限角，則，且，.（2）解：因為，且為第三象限角，則，且，.（3）解：因為，且為第二象限角，則，，由同角三角函數的基本關系可得，解得，.15．已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【分析】利用齊次化將弦化為切求值.【詳解】（1）因為，所以，所以.故.（2）.故.題型4正余弦和差積問題三角函數三劍客技巧總結三角函數稱為《三劍客》，《三劍客》中《知一求二》理由如下：如果已知求必須會判斷的正負判斷如下： ①關于的符號判斷當角的終邊在區域2、3、4、5則有當角的終邊在區域1、6、7、8則有當角的終邊在直線上時，則有②關于的符號判斷當角的終邊在區域8、1、2、3則有當角的終邊在區域4、5、6、7則有當角的終邊在直線上時，則有③關于的符號判斷當角的終邊在區域1、2、5、6則有當角的終邊在區域3、4、7、8則有當角的終邊在軸上時，則有結論：④若則 Ⅰ當角在終邊在區域1、2內時， Ⅱ當角在終邊在區域3、8內時，Ⅲ當角在終邊在區域4、7內時， Ⅳ當角在終邊在區域5、6內時，⑤若則Ⅰ當角在終邊在區域3、4內時， Ⅱ當角在終邊在區域2、5內時，Ⅲ當角在終邊在區域1、6內時， Ⅳ當角在終邊在區域7、8內時，1．已知是三角形的內角，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數的平方關系及商數關系計算即可.【詳解】因為是三角形的內角，所以，即，又，所以.故選：B2．已知，且則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩邊平方得到，進而得到，聯立求出，得到答案.【詳解】由，兩邊平方得，因為，所以，又，又因為，所以，，得，聯立與，求得，故故選：C3．若，，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根據給定條件，利用同角公式求出即可求解作答.【詳解】由，，得，而，即，解得，因此，所以.故選：B4．已知是三角形的一個內角，用，那么這個三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】兩邊平方后得到，由得到，進而得到三角形的形狀為鈍角三角形.【詳解】兩邊平方得，即，因為是三角形的一個內角，所以，，故，所以，故這個三角形的形狀為鈍角三角形.故選：B5．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用同角三角函數之間的關系式可得，根據即可求得結果.【詳解】將兩邊同時平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故選：C6．已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】AB選項，兩邊平方得到，再結合得到，，得到AB正確；先求出的平方，結合角的范圍求出的值.【詳解】AB選項，兩邊平方得，，即，所以，B正確，因為，所以，故，所以，A正確；CD選項，，因為，，所以，故，C錯誤，D正確.故選：ABD7．若，，則．【答案】/【分析】對等式兩邊同時平方可得，可求得，進而求出，即可求出.【詳解】由題意知，，等式兩邊同時平方，得，即，所以，又，所以，所以，由，解得，所以.故答案為：.8．已知是第四象限角，且滿足，則．【答案】【分析】根據得到，利用三角函數的基本關系式，求得，進而求得，聯立方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由是第四象限角，可得，則，因為，可得，可得，又由，因為，可得，聯立方程組，可得，所以.故答案為：.9．若，則.【答案】【分析】由求出，再由立方差公式求解的值.【詳解】，兩邊平方得，∴，則．故答案為：．10．已知，求．【答案】【分析】根據同角平方關系將式子平方可得，即可由完全平方公式求解.【詳解】由平方可得，則又11．已知，求．【答案】【分析】根據同角關系平方即可求解.【詳解】由平方可得，所以，12．已知，求的值．【答案】【分析】對已知等式兩邊平方化簡，再結合可求得結果【詳解】因為，兩邊平方，得，即．將代入上式，得．13．已知，是關于的一元二次方程的兩根．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用韋達定理以及同角三角函數的平方關系求解即可；（2）根據已知條件判斷出，所以利用即可求解.【詳解】（1）由已知得①，②，將①兩邊同時平方得，則，所以；（2）∵，，，∴，，∴，.14．已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角關系式可得，然后結合條件即得；（2）根據同角關系式可得，進而即得.【詳解】（1）∵，∴，又∵，∴，又，∴，，∵，∴；（2）∵，∴．15．已知，.(1)求的值(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）由可直接求得結果；（2）結合角的范圍可確定的正負，結合（1）的結果可構造方程組求得，根據同角三角函數商數關系可求得結果.【詳解】（1），.（2），，又，；由得：（舍）或，.題型5正余弦齊次式的計算與齊次式互換技巧總結形式如下：①形如的分式，可將分子分母同時除以得：②形如的分式，可將分子分母同時除以得：③形如的式子，可將其看成分母為1的分式即：可將分子分母同時除以即： ④形如求即可⑤形如轉化為形式③形如1、已知已知，求（1）；（2）的值.解：（1）原式=；（2）原式形如2、已知計算的值.解：原式形如3、已知，求的值．解：由題意可得：.1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形為，結合同角的三角函數關系化簡為，即可求得答案.【詳解】由題意知，則，故選：D2．已知，則（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根據條件，利用齊次式即可求出結果.【詳解】因為，所以，故選：C.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】進行弦化切，代入求解.【詳解】因為，所以.所以.故選：C.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弦化切可求得所求代數式的值.【詳解】因為，則.故選：B.5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分母為，利用平方關系式把代換，分子分母同時除以，并進行計算即可.【詳解】由，又故正確.故選：.6．已知，則.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【詳解】由，得，所以.故答案為：7．已知，則的值等于；【答案】4【分析