【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數學上冊尖子生培優必刷題（人教版）專題13.3等腰三角形的性質（限時滿分培優訓練）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023?慈溪市校級開學）等腰三角形的兩條邊長分別為15和7，則它的周長等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或37【答案】C【分析】分兩種情況討論：當7是腰時或當15是腰時．根據三角形的三邊關系，知7，7，15不能組成三角形，應舍去．【解答】解：當7是腰時，則7+7＜15，不能組成三角形，應舍去；當15是腰時，則三角形的周長是7+15×2＝37．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．此類題不要漏掉一種情況，同時注意看是否符合三角形的三邊關系．2．（2022秋?婺城區期末）等腰三角形的底角為50°，則它的頂角度數是（）A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°【答案】B【分析】等腰三角形一內角為50°，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況．【解答】解：50°為底角時，頂角＝180°﹣2×50°＝80°．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．3．（2023?余杭區校級模擬）如圖，點D是△ABC的BC邊上一點，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，則∠C＝（）?A．50° B．40° C．20° D．25°【答案】D【分析】先根據AB＝AD，利用三角形內角和定理求出∠B和∠ADB的度數，再根據三角形外角的性質即可求出∠C的大小．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C=12∠ADB＝故選：D．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質和三角形內角和定理，三角形的外角性質的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．4．（2020秋?永嘉縣校級期中）如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點，并連接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，則∠BDE的度數為（）A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°．【答案】A【分析】根據AB＝AC，利用三角形內角和定理求出∠ABC、∠ACB的度數，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠DBC＝30°，然后即可求出∠BDE的度數．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣30°）＝∵以B為圓心，BC長為半徑畫弧，∴BE＝BD＝BC，∴∠BDC＝∠ACB＝75°，∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，∴∠BED＝∠BDE=12（180°﹣45°）＝故選：A．【點評】本題考查了學生對等腰三角形的性質和三角形內角和定理等知識點的理解和掌握，此題的突破點是利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠DBC＝30°，然后即可求得答案．5．（2022秋?平湖市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，現將三角形的一個角沿AD折疊，使得點C落在邊AB上的點C′處，若△BC′D是等腰三角形，則∠C的度數為（）A．36° B．38° C．48° D．84°【答案】C【分析】根據在△ABC中，∠BAC＝108°，可得∠B，∠C是銳角，根據折疊的性質可得∠AC′D＝∠C，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得∠B＝∠BDC′，再根據三角形外角的性質即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∠B，∠C是銳角，由折疊可知∠AC′D＝∠C，∵△BC′D是等腰三角形，∴∠B＝∠BDC′，∴∠AC′D＝∠B+∠C＝2∠B，∴∠C＝48°．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，關鍵是熟悉相關的性質和定理．6．（2022秋?金東區期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AD是底邊BC上的中線，DE是△ABD高線．圖中與∠BAD一定相等的角有（不含本身）（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由三線合一得∠DAC＝∠BAD，再由直角三角形兩個銳角互余得∠BAD＝∠BDE．【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，AD是底邊BC上的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD，∵∠BAD+∠ADE＝∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BAD＝∠BDE，∴∠BAD＝∠BDE＝∠DAC，所以有2個角和它相等，故選：B．【點評】本題考查等腰三角形的三線合一，直角三角形兩銳角互余，掌握這些性質是解本題的關鍵．7．（2023?西湖區校級三模）有一道題目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分別以B、C為圓心，以BC長為半徑的兩條弧相交于D點，求∠ABD的度數”．嘉嘉的求解結果是∠ABD＝10°．淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠ABD還應有另一個不同的值．”下列判斷正確的是（）A．淇淇說得對，且∠ABD的另一個值是130° B．淇淇說的不對，∠ABD就得10° C．嘉嘉求的結果不對，∠ABD應得20° D．兩人都不對，∠ABD應有3個不同值【答案】A【分析】由題意可知嘉嘉考慮不周全，如圖，當點D在△ABC外時，∠ABD的另一個值是130°．【解答】解：如圖，當點D在△ABC外時，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°．∵BC＝BD＝CD，∴∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝70°+60°＝130°．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，等邊三角形的判定與性質，正確畫出圖形是解題的關鍵．8．（2023?海曙區校級開學）△ABC中，AB＝AC，CD為AB上的高，且△ADC為等腰三角形，則∠BCD等于（）A．67.5°或45° B．22.5°或45° C．36°或72° D．67.5°或22.5°【答案】D【分析】根據題意，應該考慮兩種情況，①CD在△ABC內部；②CD在△ABC外部．分別結合已知條件進行計算即可．【解答】解：①如圖所示，CD在△ABC內部，∵AB＝AC，CD為AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣45°）＝∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；②如圖所示，CD在△ABC外部，∵AB＝AC，CD為AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12×45∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；所以∠BCD等于22.5°或67.5°．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質、三角形外角的性質、角的計算．注意分類討論．此類題一般是利用等腰三角形的性質得出有關角的度數，進而求出所求角的度數．9．（2020秋?西湖區校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝α，點D在BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA，則∠DAE的大小為（）A．α B．34α C．23α 【答案】D【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，設∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，則x+z=αx=z+2y，解得y+z=1【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，設∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，則x+z=αx=z+2y解得y+z=12∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE=1故選：D．【點評】此題考查等腰三角形的性質，內角和定理，外角性質等知識．多次利用外角的性質得到角之間的關系式正確解答本題的關鍵．10．（2023?威海模擬）如圖，在第1個△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一點C，延長AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一點D，延長A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…按此作法進行下去，第n個三角形的以An為頂點的內角的度數為（）A．30°2n+1 B．75°2n-1 C．75°【答案】B【分析】先根據等腰三角形的性質求出∠BA1A的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數，找出規律即可得出第n個三角形的以An為頂點的內角的度數．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，∴∠BA1A=180°-∠B2∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=∠BA同理可得∠DA3A2＝18.75°，∠EA4A3＝9.375°，∴第n個三角形的以An為頂點的內角的度數為75°2故選：B．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數，找出規律是解答此題的關鍵．二．填空題（共6小題）11．（2016秋?諸暨市期中）等腰三角形一個角等于100°，則它的一個底角是40°．【答案】見試題解答內容【分析】由條件可知該角只能為頂角，再利用等腰三角形的性質和三角形的內角和可求得底角．【解答】解：∵該角為100°，∴這個角只能是等腰三角形的頂角，∴該等腰三角形的頂角為100°，∴底角為180°-100°2=故答案為：40．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關鍵．12．（2015秋?西湖區校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝36度．【答案】見試題解答內容【分析】設∠A＝x，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求解．【解答】解：設∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°．故答案為：36．【點評】本題考查等腰三角形的性質；利用了三角形的內角和定理得到相等關系，通過列方程求解是正確解答本題的關鍵．13．（2023?金華開學）在△ABC中，AB＝AC，且過△ABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，則∠BAC的度數為108°或90°【答案】108°或【分析】因為題中沒有指明是過頂角的頂點還是過底角的頂點，故應該分四情況進行分析，利用等腰三角形的性質求解即可．【解答】解：①如圖①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．②如圖②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．③如圖③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．④如圖④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝（1807）°，∠C＝（5407）°，∠ABC＝（故答案為：108°或【點評】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用，解決問題的關鍵是分類思想的運用．14．（2023?慈溪市校級開學）如圖，點O是△ABC內的一點，OA＝OB＝OC，∠BAC＝45°，則∠BOC＝90°．【答案】90°．【分析】根據等腰三角形的判定與性質可知∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，再根據三角形內角和定理解答即可．【解答】解：∵OA＝OB＝OC，∴△AOB、△BOC、△AOC是等腰三角形，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，∴2∠OAB+2∠OAC+2∠OBC＝180°，∵∠BAC＝45°，∴∠OAB+∠OAC＝45°，∴2∠OAB+2∠OAC＝90°，∴2∠OBC＝180°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝90°，∴∠BOC＝180°﹣2∠OBC＝90°，故答案為：90°．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是BC邊上的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC邊上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，則BD＝8cm．【答案】見試題解答內容【分析】連接AP，由圖形表示出△ABC與△ABP、△APC的關系，根據等腰三角形的性質結合三角形的面積公式可得到PF+PE＝BD，即可得到BD．【解答】解：連接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB?PE+12AC?PF=∴PF+PE＝BD，∵PE＝5cm，PF＝3cm，∴BD＝8cm，故答案為：8cm．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形面積的綜合運用，此題的關鍵是利用面積公式將PE，PF，BD聯系在一起．16．（2023?濱江區校級開學）如圖，∠BOC＝9°，點A在OB上，且OA＝1，按以下要求畫圖：以點A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第一條線段AA1；再以A1為圓心、1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第二條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第三條線段A2A3……這樣一直畫下去，最多能畫9條線段．【答案】9．【分析】先根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度數．然后分析，依此得到規律，再根據三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度數，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°．∴n＜10．∵n為整數，∴n＝9．故答案為：9．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是找出規律．三．解答題（共7小題）17．（2022秋?金東區校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數；（2）若AE＝5，△CBD的周長為17，求△ABC的周長．【答案】見試題解答內容【分析】（1）首先利用三角形內角和求得∠ABC的度數，然后減去∠ABD的度數即可得到答案；（2）將△ABC的周長轉化為AB+AC+BC的長即可求得．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C=12×（180﹣40∵MN是AB的垂直平分線∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；（2）∵△ABD是等腰三角形∴AD＝BD，∵C△CBD＝BC+CD+BD＝17，∴BC+CD+AD＝BC+AC＝17，∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝10+17＝27．【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質，相對比較簡單，屬于基礎題．18．（2019?杭州）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．（2）以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質可知PA＝PB，根據等腰三角形的性質可得∠B＝∠BAP，根據三角形的外角性質即可證得APC＝2∠B；（2）根據題意可知BA＝BQ，根據等腰三角形的性質可得∠BAQ＝∠BQA，再根據三角形的內角和公式即可解答．【解答】解：（1）證明：∵線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根據題意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質、垂直平分線的性質以及三角形的外角性質，難度適中．19．（2023春?武功縣期末）【問題背景】如圖，在△ABC中，點D、E分別在AC、BC上，連接BD，DE．已知∠ABC＝2∠C，BD＝CD．?【問題探究】（1）若∠A＝∠DEC，試說明AB＝EC；（2）若AB＝BD，求∠A的度數．【答案】（1）見解答過程；（2）72°．【分析】（1）根據等腰三角形的性質及角的和差求出∠ABD＝∠C，利用AAS證明△ABD≌△ECD，根據全等三角形的性質即可得解；（2）根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求解即可．【解答】解：（1）∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，在△ABD和△ECD中，∠A=∠DEC∠ABD=∠C∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC；（2）∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDA，由（1）知，∠ABD＝∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠A＝∠ADB＝2∠ABD，∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠A+∠A+12∠A＝∴∠A＝72°．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，利用AAS證明△ABD≌△ECD是解題的關鍵．20．（2022秋?永城市校級期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度數．【答案】見試題解答內容【分析】（1）連接AE，根據垂直平分線的性質，可知BE＝AE＝AC，根據等腰三角形三線合一即可知AD⊥BC（2）設∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根據三角形ABC的內角和為180°列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）連接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中點∴AD⊥BC（2）設∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性質，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°【點評】本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是正確理解等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，本題屬于中等題型．21．（2021秋?東臺市期中）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）若BD⊥AC于D，求∠ABD的度數；（2）若CE平分∠ACB，求證：AE＝BC．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據等腰三角形的性質和三角形內角和解答即可．（2）根據等腰三角形的性質和三角形內角和解答．【解答】解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD⊥AC于D，∴∠DBC＝90°﹣72°＝18°，∴∠ABD＝72°﹣18°＝54°；（2）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ACE，∴AE＝EC，∵∠ABC＝72°，∴∠BEC＝72°，∴BC＝CE，∴AE＝BC．【點評】此題考查等腰三角形的性質，關鍵是根據等腰三角形的性質和三角形內角和解答．22．（2022秋?和平區校級期末）如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數；（2）若點F是AC的中點，求證：∠CFD=12∠【答案】見試題解答內容【分析】（1）求得∠A的度數后利用四邊形的內角和定理求得結論即可；（2）連接FB，根據AB＝BC，且點F是AC的中點，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠ABC，證得∠CFD＝∠C