2023人教版新教材高中數學必修第一冊

4.2.2指數函數的圖象和性質

基礎過關練

題組一指數函數的圖象特征

1.函數y=-2x與y=2、的圖象（）

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D,關于直線y=x對稱

2.（2021河北衡水武邑中學期中）當a>l時,函數y=a*和y=（a-L）x2的圖象只可能

是（）

V愕IT9

JiJLJL￡

rr7IVW

ABCD

3.（2020北京豐臺期中聯考）函數的圖象是（

AB

fy4V

-2-io|I2X-2-iO\~

CD

4.（2022北京H■?一學校期中）已知函數丫=或、y=b\y=c\y=d*的大致圖象如下圖

所示,則下列不等式一定成立的是（）

A.b+d>a+cB.b+d<a+c

C.a+d>b+cD.a+d<b+c

5.(2022山西太原期中)函數f(x)=ai-l(a〉O,aWl)的圖象必經過的點是()

A.(1,0)B.(1,-1)

C.(0,0)D.(0,-1)

6.已知函數f(x)=ax(a>0且aWl),g(x)=-(x>0),函數f(x)的圖象經過點(2,16).

X

⑴寫出函數f(x)的解析式；

(2)在同一個坐標下用描點法作出函數f(x),g(x)的圖象,并求出當f(x)<g(16)時,

自變量x的取值范圍；

⑶當x>0時，用N(x)表示f(x),g(x)中的最小者,記N(x)=min{f(x),g(x)}(例

如,min{3,9}=3),求函數N(x)的值域.

題組二指數函數的單調性及其應用

313

7.若a=O,b=O,c=(J,則a,b,c的大小關系是()

A.a>b>cB.>ba>c

C.b>c>aD.>cb>a

8.(2020廣東珠海期末)已知f(x+l)的定義域是[0,31),則f(2x)的定義域是

()

A.[1,32)B.[-1,30)

C.[0,5)D.(-8,30]

9.(2021山東濟寧期中)不等式({J>(0的解集為.

8—2-X2

10.函數y=(1)的單調遞增區間為.

11.(2022廣東實驗中學期中)已知函數f(x)=[g-a)j。“<L在R上單調遞增,

則a的取值范圍是.

12.(2022北京清華大學附屬中學期中)已知函數f(x)=a-2x+b的圖象過原點,且

f⑴=1.

(1)求實數a,b的值；

(2)判斷并用定義證明函數g(x)=^在區間(0,+8)上的單調性.

題組三指數函數性質的綜合應用

13.(2022湖南長沙第一中學期中)函數f(x)=2書在定義域R上是()

A.增函數B.減函數C.奇函數D.偶函數

14.(多選)下列函數中，最小值為2的是()

A.f(X)=X2+2X+3B.晨x)=2*+2一*

C.h(x)=3x+2D.m(x)=2x+1

15.(2020浙江杭州高級中學期末)函數y=(J的單調遞增區間為;

此函數是(填“奇函數”“偶函數”或“非奇非偶函數”).

16.已知函數flxha-/是奇函數.

(1)求實數a的值；

⑵求函數f(x)的值域.

17.(2020山東臨沂期末素養水平監測)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0

時，f(x)=l-2x.

(1)求當x<0時一，f(x)的解析式；

⑵求不等式f(x)〈l的解集.

能力提升練

題組一指數函數的圖象及其應用

1.(2021湖北武漢部分重點高中期中)函數f(x)=2'+S的圖象大致是()

2.(多選)(2021山東威海期中)設函數f(x)的定義域為R,對于給定的正數k,定義

函數fk(x)=?嗎乂若函數f(x)=2RJ()

Ik,f(x)<k.

A.f2(-2)=-4B.f2(x)在(-8,—i)上單調遞減

C.fz(x)為偶函數D.f2(x)的最大值為2

題組二指數函數的單調性及其應用

3.若函數y=a(a>0,且a#l)在［1,2］上的最大值與最小值的差為a則a的值

為.

4.若實數x,y滿足2020-2020y<2021-202「，則xy(填“>”“<”

或).

5.(2020黑龍江大慶實驗中學月考)已知函數f(x)=ba，(其中a,b為常數,a>0,且

aWl)的圖象經過A(l,6),B(2,18)兩點.若不等式仁?

+Q)X-m^0在x￡(-8,1］上恒成立,則實數m的最大值為.

題組三指數函數性質的綜合應用

6.(2022河北辛集一中月考)函數f(x)=|^的值域為()

A.(0,1)B.(0,1］C.(0,2)D.(1,2)

7.(多選)(2022廣東廣州一中期中)已知函數f(x)=a0"+b(a,b￡R),則下列結

論正確的有()

A.存在實數a,b使得函數f(x)為奇函數

B.若函數f(x)的圖象經過原點,且無限接近于直線y=2,則b=2

C若函數f(x)在區間[0,句上單調遞減，則a>0

D.當ae[-1,1]時,若Vx￡[-1,1],函數f(x)W1恒成立,則b的取值范圍為b<l

8.(2021浙江杭州學軍中學期中)已知函數f(x)=x；g(x)=Q)、m,若

Vx,e[-1,3],3x2e[0,2],使得f(X1)Vg(x?)成立,則實數m的取值范圍

是.

9.已知函數f(x)=4x-2vl-3,g(x)=x2-4mx-2m(m1),若對于任意XiG[0,1],總存在

x2e[0,1],使得f(x)=g(x2)成立，則實數m的取值范圍為.

10.(2022浙江嘉興期中)已知函數f(x)=匕獸二(a〉0且aWl)是奇函數.

(1)求實數k的值；

⑵若g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),當a=2時,g(x)在[0,1]上的最小值為1,求實數m的

值.

答案全解全析

基礎過關練

1.C令f(x)=2;則-f(-x)=-2二

?「y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于原點對稱，

/.y=-2x與y=2'的圖象關于原點對稱.

故選C.

2.A當a>l時,函數y=a'是增函數,y=(a-1”?的圖象開口向上，所以兩個函數的

圖象只可能是A中圖象.故選A.

仗『

?XT<2X,x<0.

因此，當x20時一，y=Q)%的圖象與y=Q”的圖象相同；當x<。時一,y=Q)%的圖象

與y=2'的圖象相同，故選D.

4.B如圖，作出直線x=l,其與各函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為

故c>d>a>b,所以b+d〈a+c.故選B.

5.A由于指數函數y=a'的圖象過定點(0,1),

因此在f(x)=ae-l(a>0,aWl)中，

令x-l=0,則x=l,故f(l)=a°-l=0,

故此函數的圖象必經過點(1,0),故選A.

6.解析(l)：f(x)的圖象經過點(2,16),

f(2)=a?=16,解得a=±4,又a>0,.，.a=4,f(x)=4，,x￡R.

(2)列表:

11

X01

22

1

f(X)124

2

11

X—12

32

1

g(x)321

2

描點作圖:

令f(x)〈g(16),得4,弓,即4%4二又y=4*在區間(-8,+8)上單調遞增，「.xy,

16

故X的取值范圍是{x|x<-2}.

(3)由⑵及題意可得N(x)的圖象如下：

由圖可知,N(x)的值域為(0,2].

7.C在R上是減函數,

13

???(?(丁>0=若

???y=G)”在R上是減函數,

133

MA(丁嗎)3

即b>c>a,故選C.

8.C???f(x+l)的定義域是［0,31),即0W即31,，lWx+l<32,，f(x)的定義域是

［1,32),

???若f(2')有意義,貝!J1W2<32,

解得0Wx〈5.

9.答案(-|,1)

解析:G)"2'G)4",y=C)”在R上是減函數，

.,.2x2-K4-3x,解得-"x〈L

故不等式的解集為(-1,1)

10.答案［-1,+8)

解析設t=8-2x-x；則y=Q)：易知y=({f在R上單調遞減，

又t=8-2Xf2在(-8,—1］上單調遞增，在［-1,+8)上單調遞減，

所以由y=Q)與t=8-2x-x2復合而成的函數y=C)的單調遞增區間為

［-1,+°°).

11.答案［2,3)

解析因為函數f&)=17刃：。L%<L在R上單調遞增，

(ax,x>1

,3-a>0,

所以卜>1,解得2Wa<3,

3-a+1<a,

即a的取值范圍是［2,3).

12.解析(1)?.?函數f(x)=a?2x+b的圖象過原點，(0)=0,即a+b=0,

XVf(l)=l,.,.2a+b=l,.#.a=l,b=-l.

(2)由⑴可得f(x)=2'T,，g(x)忌谷,

f(X)2X~1

函數8&)=六在區間(0,+8)上是減函數.

J\X)

證明：任取Xi,X2G(0,+8),且Xi<x2,

mil/\11_(2X2-1)-(2X1-1)_2%2-2XI

5

人」g(Xi)-g(X2)-2X1_1~2x2_1(2xi-i)(2X2-i)(2^1-1)(2^2-1)

X2X2X1

V0<x1<x2,2>1,2-2>0,

.*.g(xi)-g(x2)>0,

.*.g(xi)>g(x2),

/.g(x)=泵在區間(0,+8)上是減函數.

f(x)

13.D易知函數f(x)的定義域為R,關于原點對稱,又f(-x)=2、*=++2、=f(x),

所以函數f(x)為偶函數.

f(x)=2，+2可看作由函數y=u+2(u>0)與函數u=2x復合所得，

2Xu

其中u=2"是R上的增函數,y=u+2(u〉0)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞

U

增，

所以f(X)在(―,o)上單調遞減,在(0,+8)上單調遞增.故選D.

14.ABD對于A:f(X)=X2+2X+3=(X+1)2+2^2,當x=T時,等號成立，故A正確;

對于B:g(x)=2x+2^2x+^^2,當且僅當x=0時,等號成立,故B正確；

2人

對于C:h(x)=3*+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C錯誤；

對于D:m(x)=2叫1220+1=2,當且僅當x=0時，等號成立，故D正確.故選ABD.

15.答案［0,+8);偶函數

解析設u=-1x|+1,則y=Q).

易知u=-|x|+l的單調遞減區間為［0,+8),y=C)是R上的減函數，

/八一%+1

...y=Q)的單調遞增區間為［0,+8).

易知f(x)的定義域為R,又f(-x)=(，l?=(T1=f(x),

.?.f(x)是偶函數.

16.解析(1)由題意矢口fQx)+f(x)=a—六+a—京=2a+咨一2=2a+2=0,解得

33"-13X-13X-1

a=-l.經檢驗,a=-l時,滿足題意.

(2)由(1)知f(x)=-1一京=一1+,,

3人一11一3人

易知3x>0且3VI,

當0<3x<l時，0〈1-3<1,<〉2,所以f(x)>l;

X

當3>1時，1-3<0,74H0,所以f(x)<-1.

綜上，f(x)的值域是(-8,T)U(I,+8).

17.解析⑴當x>0時,f(x)=l-2x,

當x<0時，-x>0,(-x)=l-2r.

又f(x)是定義在R上的奇函數,

:.f(-X)=-f(x).

Af(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2'-l,即x<0時，f(x)=2-*-l.

⑵當x>0時,不等式f(x)G即1-2X1,

.?.2*>0,顯然成立;

當x=0時，由當x)是奇函數,得f(0)=0<1,成立;

當x<0時,不等式f(x)<l即2-K1,.-.2X<2,

.,.-l<x<0.

綜上可知,不等式f(x)<l的解集為(T,+8).

能力提升練

。f(x)=2，+膏2'+1高，

易知函數的定義域為{x|xWT},當x<-l時,f(x)>l,排除A和B;

當X無限增大時，f(X)無限趨近于2X+1,呈指數增長,排除C,故選D.

-2

2.BC對于選項A:f(-2)=2=4>2,

fz(-2)=4,故選項A錯誤;

對于選項B:f(x)=2x的圖象如圖所示,

所以f2(x)的大致圖象如圖所示.

由圖象可知，f2(x)在(―,-1)上單調遞減,故選項B正確;

對于選項C:由f2(x)的圖象可知，圖象關于y軸對稱,所以函數f2(x)是偶函數,故

選項C正確；

對于選項D:由fz(x)的圖象可知，fz(x)的最小值為2,無最大值,故選項D錯誤.

故選BC.

13

答案

3或

--

22

解析當a>l時，函數y=a*在［1,2］上單調遞增,y的最大值為a,最小值為a,

故有a2-a=p解得a=|或a=0(舍去);

當0<a<l時,函數y=a'在［1,2］上單調遞減,y的最大值為a,最小值為a2,

故有a-a2=p解得或a=0(舍去).

綜上,a=|或a=|.

4.答案<

解析不等式2020-2020y2解析-202「可化為2020-2解析<

2020-2021

Vf(x)=2020-2021”是R上的增函數，.?.x〈y.

5.答案；

6

解析由已知可得tX6；解得｛"2

VuCL—lo,I。一乙，

則不等式(I)+6)-meo在x￡(-8,1］上恒成立，設g(x)=(|)+?)-m,xWl,

顯然函數8&)=《)久+0”-111在(-8,1］上單調遞減，

g(x)g(1)=|+1-m=1-m,

326

故Z-m20,即mW］

66

實數m的最大值為：.

6

6.Cf(x)=掌上空"=2-1一，

2X+12X+12X+1

V2x>0,.,.2X+1>1.\0<—<1,

)2X+1

.,.-l<--￡1-<0,2.,.0<2--￡2-<2,

2X+12X+12X+1

...函數f(x)="的值域為(0,2).故選C.

2人+1

7.ABC在選項A中，當a=b=0時,f(x)=0(x￡R),此時f(x)為奇函數,故選項A

正確.

在選項B中，易知y=g)%為偶函數,在區間[0,+<-)上為減函數，圖象過點(0,1),

IX|

?+b的圖象經過原點，且無限接近于直線y=2,

則a=-2,b=2,故選項B正確.

\x\

?為偶函數,在區間[0,+8)上為減函數,故若函數

f(x)=a(|)'+b在區間[0,耳]上單調遞減,則a>0,故選項C正確.

在選項D中，當a￡(0,1]時,Vx￡[T,1],有]+bWf(x)Wa+b,若f(x)Wl在[-1,1]

上恒成立，則a+bWl,即bW-a,而0^1-a<l,故bWO;

當a=0時,f(x)=b，若Vx￡[T,1],f(x)W1恒成立，則bWl;

當a￡[-1,0)時,VxG[-1,1],有a+bWf(x)帶+b,若f(x)W1在[-1,1]上恒成立,

則]+bWl,即而1<1一衿|,故b<L

綜上,b的取值范圍為bWO.故選項D不正確.故選ABC.

8.答案：,+8)

解析若VX1￡[-1,3],3x2G[0,2],使得f(Xl)》g(x2)成立,則f(x)min2g(x)min.

,.,f(x)=x；-lWxW3,.WO,

???g(x)=(1)X-m在[0,2]上單調遞減，

g(x)min=g(2)=0—

因此,解得m2；,

44

故m的取值范圍是E，+8).

9.答案[1.|]

解析設f(x)=4'-2"|-3,xe[0,1]的值域為A.

令t=2x,te[1,2],則f(x)=4x-2x+1-3可化為y=t2-2t-3=(t-l)2-4,易知其在

2=_2_

tG[1,2]上單調遞增,所以ymax=(2-l)-4=-3,yrain(ll)4=-4,即A=[-4,-3].

設g(x)=x2-4mx-2m(m^l),