高數級數理論部分練習10．5．28一．填空1．級數的和為。2．把函數展開成的冪級數到：。3．級數的和為。4．設是以為周期的周期函數，在上的表達式為，則在處的傅里葉級數收斂于。5．冪級數的收斂區間為。6．若冪級數在時收斂，則冪級數在時是否絕對收斂？7．若，則級數收斂，對么？（）8．若在上是以為周期的按段光滑函數，則=9．，當=時收斂。10．級數的部分和數列有界，則級數收斂。（）11．若級數與都發散，則也發散。（）12．若級數發散，則。（）13．若級數收斂，那么它的更序級數一定收斂。（）14．若在上收斂于且每個都在上連續，則也在上連續。（）二．選擇題1．下列級數中收斂的是（）（A）（B）（C）（D）。2．若級數收斂，則下列級數中（）收斂。（A）（B）（C）（D）。3．設，則下列級數中和不是1的為（）（A）（B）（C）（D）4．將函數展開成的冪級數得到（）（A）（B）（C）（D）5．下列級數條件收斂的是（）（A）（B）（C）（D）6．（）A、絕對收斂B、條件收斂C、發散D、可收斂也可能發散7．的收斂域為（）A、B、C、D、8．下列級數中條件收斂的是（）A、B、C、D、9．若級數和都發散，則（）A、必發散；B、發散；C、必發散D以上說法都不對10．是級數收斂的。必要條件；B、充分條件；C、充要條件；D、既非充分又非必要。11．下列命題正確的是．若與都發散，則也發散．若收斂，而發散，則必發散．若…且絕對收斂，則必收斂．級數收斂的充分必要條件是它的部分和數列有界．12．下列命題正確的是．(A)絕對收斂級數的更序級數一定收斂．(B)若為條件收斂級數，則一定發散．(C)若發散，則．(D)若收斂，則也收斂．三．計算與證明1．求冪級數的收斂區間及和函數。2．討論在時的斂散性。3．設的傅里葉級數為，求系數。4．求冪級數的收斂區間與收斂半徑。5．求冪級數的收斂區間和收斂半徑。6判別級數斂散性。7．求冪級數的收斂區間與和函數。8．求冪級數的收斂區間及和函數。9．求級數的收斂域，并求出它的和函數，由此求出的和。10．將，在上展開成余弦級數，并求出它的和函數。11．確定級數的收斂域，并求和函數。12．求級數在其收斂域中的和函數。13．求級數的收斂半徑及和函數14.求的和函數。15．將函數在上展開為正弦級數、余弦級數。16．求冪級數的和函數。參考答案填空1．2.3、04、35、6、絕對收斂7．×8．9、；10．×；11×12×13√14×二．選擇1、C2、B3、C4、B5、A6.B；7．B；8.B；9、C；10、A；11．B12．A三．計算與證明1.當時，級數成為發散，所以收斂區間為。。2.當時，,所以級數發散。當時，，所以級數發散。當時，，而在時收斂，所以時收斂。3.。4.，當和時級數收斂，所以收斂區間為。收斂半徑為。5.，當時，收斂，當時，發散，所以收斂區間為，收斂半徑為。6.因為，且當時，，而收斂，所以收斂。7.，收斂區間為。。8.，而當時，級數都收斂，所以收斂區間為。令=，,則，于是，當x=0時，和函數為0；當x=1時，和函數為1。9．∴收斂域為令10．~11、收斂域為：12.===令， ，則= =13.公比，一般項；……10分14.從而收斂域為設 當時，有15．將函數在上展開為余弦級數。解：要把在上展開為余弦級數，先將延拓成上的偶函數，再延