課題：雙曲線知識點11．雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（＜|F1F2|）的點的軌跡．（（為常數）．這兩個定點叫雙曲線的焦點．【（1）距離之差的絕對值．（2）2a＜|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質的不同】2．雙曲線的標準方程：（焦點在x軸上）和（焦點在y軸上）（a＞0，b＞0）．這里，其中||=2c．要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同．標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）圖形3．雙曲線的內外部：（1）點在雙曲線的內部．（2）點在雙曲線的外部．（3）（，其中||=2c，焦點位置看誰的系數為正數）焦點在x軸上：（a＞0，b＞0）；焦點在y軸上：（a＞0，b＞0）；；）PPPPHHF2xF1oy雙曲線第二定義：當動點M（x，y）到一定點F（c，0）的距離和它到一定直線的距離之比是常數時，這個動點M（x，y）的軌跡是雙曲線．其中定點F（c，0）是雙曲線的一個焦點，定直線叫雙曲線的一條準線，常數e是雙曲線的離心率．雙曲線上任一點到焦點的線段稱為焦半徑．知識點31．雙曲線的簡單幾何性質：－=1（a＞0，b＞0）（1）范圍：|x|≥a，y∈R；（2）對稱性：關于x、y軸均對稱，關于原點中心對稱；（3）頂點：軸端點A1（－a，0），A2（a，0）（4）漸近線：①若雙曲線方程為漸近線方程；②若漸近線方程為雙曲線可設為；③若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）；=4\*GB3④與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是；=5\*GB3⑤與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是雙曲線的標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1（－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2（0，a）漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈（1，＋∞），其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長．a、b、c的關系c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）2．弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝．【注1】1．（1）當|MF1|－|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；（2）當|MF1|－|MF2|=－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；（3）當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；（4）當2a＞|F1F2|時，動點軌跡不存在．2．雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上．3．求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：（1）正確判斷焦點的位置；（2）設出標準方程后，運用待定系數法求解．【注2】1．雙曲線的軌跡類型是；2．雙曲線標準方程的求解方法是”待定系數法”，“先定型，后計算”．【注3】1．與雙曲線共漸進線（）的雙曲線系方程是2．等軸雙曲線：（實虛軸相等，即a=b）（1）形式：（）（2）離心率（3）兩漸近線互相垂直，為y=；3．等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項．4．共軛雙曲線：（以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線）【注4】1．雙曲線的標準方程中對a、b的要求只是a＞0，b＞0易誤認為與橢圓標準方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈（1，eq\r(2)）；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e＞eq\r(2)．2．注意區分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓a、b、c關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2．3．等軸雙曲線的離心率與漸近線關系：雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直（位置關系）．4．雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長b5．漸近線與離心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一條漸近線的斜率為eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)．可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小．典型例題例1在一個平面上，設、是兩個定點，P是一個動點，且滿足P到的距離與P到的距離差為，即，則動點P的軌跡是（

）A．一條線段 B．一條射線 C．一個橢圓 D．雙曲線的一支【答案】B【解析】依題意，、是兩個定點，P是一個動點，且滿足，所以動點P的軌跡是一條射線．如圖所示，在線段的延長線上．故選：B例2設，分別是雙曲線的左、右焦點，若點在雙曲線上，且，則（

）A．5 B．1 C．3 D．1或5【答案】A【解析】依題意得，，，因此，由于，故知點只可以在雙曲線的左支上，因此，即，所以，故選:A．例3已知為雙曲線的左焦點，，為雙曲線右支上的點，若的長等于虛軸長的2倍，點在線段上，則的周長為（

）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【解析】如圖所示：∵雙曲線的左焦點為，∴點是雙曲線的右焦點，又，∴虛軸長為2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周長．故選：C例4設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．30【答案】A【解析】由，可得又是是雙曲線上的一點，則，則，，又則，則則的面積等于故選：A例5設P是雙曲線上一點，M?N分別是兩圓和上的點，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因為雙曲線方程為，故，則其焦點為，根據題意，作圖如下：則，當且僅當三點共線，且在之間時取得等號；，當且僅當三點共線，且在之間時取得等號；則，故可得，故的最大值為：．故選：B．例6雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2【答案】C【解析】由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點到的距離為18，故選：C．例7設，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，則的面積為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題意，雙曲線，可得，則，因為點在雙曲線上，不妨設點在第一象限，由雙曲線的定義可得，又因為，可得，即，又由，可得，解得，所以的面積為．故選：C．例8是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】則故雙曲線的兩個焦點為,,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,則的最大值為故選：D例9已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線同一支上的兩點．若，點在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，所以，解得，所以雙曲線的左焦點，所以點是雙曲線的右焦點．作出雙曲線，如圖所示．由雙曲線的定義，知①，②，由①②，得，又，所以的周長為．故選：C．例10已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】設雙曲線C的實半軸長為，右焦點為，所以，當且僅當M為的延長線與雙曲線交點時取等號．故選：C．例11已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標準方程是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】漸近線方程為的雙曲線為，即，故，故，故答案為：C．例12已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，且雙曲線上的一點到雙曲線的兩個焦點的距離之差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的焦點為，故雙曲線的焦點在軸上，故設雙曲線方程為，則；由雙曲線定義知：，解得；故可得；則雙曲線方程為：．故答案為：C．例13過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】當斜率不存在時，過的直線與雙曲線沒有公共點；當斜率存在時，設直線為，聯立，得①．當，即時，①式只有一個解；當時，則，解得；綜上可知過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有4條．故選：D．例14若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得直線斜率存在，設直線的方程為，設交點，聯立可得，由題意可得解得：，故選：D．例15雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線，得，，∴，，∴，故選:C．例16雙曲線C：的左焦點為F，過原點作一條直線分別交C的左右兩支于A，B兩點，若，，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】設雙曲線的右焦點為，連接，根據橢圓的對稱性可得，由雙曲線的定義可得所以在中，，結合，可得，所以即，在中，即，所以，則，故選：C例17已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為雙曲線上的一點，且；則C的離心率為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】。故答案為：B例18設，分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，設，則，因為，所以可得，因為，所以，則，所以，故答案為：D例19已知雙曲線的左?右焦點分別為，曲線上一點到軸的距離為，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作軸于，如圖，依題意，，則，令，由得：，由雙曲線定義知，而，在中，由余弦定理得：，解得：，即，又因為離心率，于是有，所以雙曲線的離心率為。故答案為：B例20（多選）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，是雙曲線上一點，若，則該雙曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．2【答案】A,B【解析】是雙曲線右支上一點，則有，又，則有，即，則雙曲線的離心率取值范圍為AB符合題意；CD不符合題意．故答案為：AB例21已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，，則，兩式作差，并化簡得，，所以，因為為線段的中點，即所以，即，由，得．故選：B．例22直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2．故選：C例23已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設，，，，，，，．故選：D．例24已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點，且點A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，根據對稱性，知，所以．因為點A，P在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D．例25若是雙曲線上一點，則到兩個焦點的距離之差為______．【答案】【解析】由題意得：雙曲線標準方程為，則，由雙曲線定義知：，則．故答案為：．例26分別求滿足下列條件的曲線方程（1）以橢圓的短軸頂點為焦點，且離心率為的橢圓方程；（2）過點，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程．（3）焦點在軸上，虛軸長為，離心率為；（4）頂點間的距離為，漸近線方程為．（5），，焦點在x軸上；（6）焦點為?，經過點．【答案】（1）（2）（3）（4）或（5）（6）【解析】（1）的短軸頂點為（0，－3），（0，3），∴所求橢圓的焦點在y軸上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求橢圓方程為．（2）根據雙曲線漸近線方程為，可設雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為．（3）解：由題意，雙曲線的焦點在軸上，設所求雙曲線的方程為1，因為虛軸長為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（4）當雙曲線的焦點在軸上時，設雙曲線的方程為1，因為頂點間的距離為，漸近線方程為，可得，解得，所以雙曲線的方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，設雙曲線的方程為1，因為頂點間的距離為，漸近線方程為，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（5）由題設知，，，由，得．因為雙曲線的焦點在x軸上，所以所求雙曲線的標準方程為；（6）由已知得，且焦點在y軸上．因為點在雙曲線上，所以點A與兩焦點的距離的差的絕對值是常數2a，即，則，．因此，所求雙曲線的標準方程是．例27過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線．（1）求證：與雙曲線有兩個不同的交點；（2）求線段的中點的坐標和．【答案】（1）證明見解析（2），【解析】（1）由雙曲線方程知：，則，由得：，則，與雙曲線有兩個不同的交點．（2）設，，由（1）得：，，；；．舉一反三1．若點P是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故答案為：A．2．設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線，∴，又點P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為．故答案為：B．3．已知雙曲線的右焦點為，為雙曲線左支上一點，點，則周長的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】曲線右焦點為，周長要使周長最小，只需最小，如圖：當三點共線時取到，故l=2|AF|+2a=故答案為：B4．已知方程表示雙曲線，則實數的取值范圍為（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因為方程表示雙曲線，所以當，即時，，可得；當，即時，，可得．綜上所述，實數的取值范圍為或。故答案為：C5．已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】設雙曲線的標準方程為，半焦距為c，則由題意可知，，即，故，所以雙曲線的標準方程為．故選：C．6．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，所以雙曲線的焦點在軸上，所以所以雙曲線的漸近線方程為．故選：A7．點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，解得，故故選：A8．已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M?N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設，直線l的斜率必存在，設過的直線MN為，聯立雙曲線：設，則，所以，解得，則，．弦長|MN|．故選：D．9．已知雙曲線的左?右焦點分別為過左焦點作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，若直線OP的斜率為，則b的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】設、，則，，兩式相減可得，為線段的中點，，，，又，，，即，，故選：D．10．（多選）若三個數1，，9成等比數列，則圓錐曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為三個數1，，9成等比數列，所以，解得，當時，曲線的離心率為：，當時，曲線的離心率為：．故選：AD．11．設雙曲線的半焦距為，直線過，兩點．已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】因為直線過，兩點．所以直線的方程為，即，所以原點到的距離①．又②，所以，即，故，解得或．當時，，與矛盾，所以．故選：A12．若雙曲線的離心率，則（）A．3 B．12 C．18 D．27【答案】D【解析】由已知雙曲線得，所以，解得，故選：D．13．已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若是銳角三角形，則只需．在中，，，則，又，∴，∴，∴．又，∴．故選：B．14．已知，，是雙曲線上不同的三點，且點A，連線經過坐標原點，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，因為點A，連線經過坐標原點，根據雙曲線的對稱性，則，所以．因為點A，在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D.15．在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因為一條漸近線的斜率為，即，所以．故選：A16．已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線的右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，根據三角形的性質可知，為直角三角形，且，．由雙曲線的定義可得，，又，可得．所以可化為，即，而，，解得，又，．故選：A．17．已知分別為雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的一點且滿足，則此雙曲線離心率的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，，即，，可得，即，即，又即，又，即，所以，即，即，可得，，即，故選：．18．已知點分別是雙曲線的左右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率是（）A． B．或 C．2 D．3【答案】A【解析】根據題意可設，將代入，解得，則，所以，因為為等邊三角形，則，即，又，所以，即，則，解得或，又因為雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率.故選：A.19．設雙曲線上有兩點，，中點，則直線的方程為________________．【答案】【解析】設，，則，，則，兩式相減得，，所以直線的方程為即，代入滿足，所以直線的方程為.故答案為：.20．已知雙曲線上存在兩點關于直線對稱，且的中點在拋物線上，則實數的值為________．【答案】0或【解析】設，，，，的中點為，，則，由點差法可得，即①，顯然，又因為②，代②入①可得；由兩點關于直線對稱，可得，所以，又因為，所以，代入拋物線方程得，解得或．故答案為：0或．21．過雙曲線的左焦點的直線與雙曲線交兩點，且線段的中點坐標為，則雙曲線方程是_______________.【答案】【解析】設，，則，，兩式相減可得：，所以，因為點是線段的中點，所以，，所以，因為，所以，即，因為，所以，，所以雙曲線方程是，故答案為：.22．過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.【答案】【解析】過點的直線與該雙曲線交于，兩點，設，，，，，兩式相減可得：，因為為的中點，，，，則，所以直線的方程為，即為．故答案為：．23．已知是雙曲線右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為．設分別為雙曲線的左、右焦點．若，則．【答案】5【解析】因為雙曲線的漸近線方程為3xy=0，即y=3x=，所以，解得a=1，根據雙曲線定義P是雙曲線右支上的一點，滿足|PF1||PF2|=2a=2，所以|PF1|=|PF2|+2=5．故答案為：524．已知雙曲線，F1，F2是雙曲線的左右兩個焦點，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內切圓．則M的橫坐標為，若F1到圓M上點的最大距離為，則△F1PF2的面積為．【答案】1；【解析】雙曲線的方程為，則．設圓分別與相切于，根據雙曲線的定義可知，根據內切圓的性質可知①，而②．由①②得：，所以，所以直線的方程為，即的橫坐標為．設的坐標為，則到圓M上點的最大距離為，即，解得．設直線的方程為，即．到直線的距離為，解得．所以線的方程為．由且在第一象限，解得．所以，．所以△F1PF2的面積為．故答案為：1；25．已知雙曲線x2y2=1，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則∣PF1∣+∣PF2∣的值為．【答案】【解析】∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵雙曲線方程為x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P為雙曲線x2﹣y2=1上一點，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值為故答案為26．與雙曲線具有相同漸近線，且兩頂點間的距離為2的雙曲線方程為______．【答案】或【解析】設與具有相同漸近線的雙曲線方程為，當時，雙曲線的方程為，又因為兩頂點間的距離為2，所以，即，所以雙曲線的方程為；當時，雙曲線的方程為，又因為兩頂點間的距離為2，所以，即，所以雙曲線的方程為；綜上所述，雙曲線的方程為或．故答案為：或．27．（1）若雙曲線過點，離心率，則其標準方程為_____．（2）若雙曲線過點，漸近線方程是，則其標準方程為_____．（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經過點，則其標準方程為_____．【答案】

【解析】（1）由，設，則，．設所求雙曲線的方程為①或②，把代入①，得，與矛盾，舍去；把代入②，得．∴所求雙曲線的標準方程為．（2）由漸近線方程，可設所求雙曲線的方程為①，將點的坐標代入①式，得，∴所求雙曲線的標準方程為．（3）設所求雙曲線的方程為，點在雙曲線上，∴，即，∴雙曲線的標準方程為．故答案為：；；．28．已知雙曲線（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的方程為__________．【答案】x2－＝1【解析】由題意得解得則該雙曲線的方程為x2－＝1．故答案為：x2－＝129．焦點在x軸上，經過點P（4，－2）和點Q（2，2）的雙曲線的標準方程為________．【答案】【解析】設雙曲線方程為，將點（4，－2）和代入方程得解得a2＝8，b2＝4，所以雙曲線的標準方程為．故答案為：30．實軸在x軸上，實軸長為12，一條漸近線的方程為的雙曲線方程為______．【答案】【解析】將變型為：，所以，實軸長為12，即，，得，所以雙曲線方程為：．故答案為：31．已知，則圓錐曲線的離心率等于______．【答案】或【解析】由得．當時，曲線為焦點在y軸上的橢圓，此時，，離心率．當時，曲線為焦點在x軸上的雙曲線，此時，，離心率．故答案為：或32．已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線的離心率是______．【答案】或【解析】設雙曲線為．則當時，;當時，;故答案為：或．課后練習1．“k<2”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵方程為雙曲線，∴，∴或，∴“”是“方程為雙曲線”的充分不必要條件，故答案為：A．2．已知雙曲線的左右焦點，，是雙曲線上一點，，則（）A．1或13 B．1 C．13 D．9【答案】C【解析】根據雙曲線定義可得，又，所以或，又，解得，即，又，所以．故答案為：C3．已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【解析】設右焦點為F'，則F'（4，0），依題意，有PF|=|PF'|+4，|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9（當P在線段AF'上時，取等號）故|PF|+|PA|的最小值為9．故答案為：A4．已知，分別是雙曲線的左?右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且．則的面積為（）A．8 B． C．16 D．【答案】C【解析】因為P是雙曲線左支上的點，所以，兩邊平方得，所以．在中，由余弦定理得，所以，所以。故答案為：C5．已知，分別是雙曲線的左右焦點，點P在該雙曲線上，若，則（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【解析】由雙曲線定義知：，而，又且，∴3或7，故答案為：D．6．雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為11，則點到的距離為（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨設，分別為雙曲線的左右焦點，當P在雙曲線的左支時，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，當P在雙曲線的右支時，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，又，所以右支上不存在滿足條件的點P．故答案為：B．7．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線可知：的周長為．當軸時，的周長最小值為故答案為：C8．雙曲線的右焦點坐標為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線，即的右焦點坐標為，所以，解得，所以雙曲線方程為，則雙曲線的漸近線為；故選：C9．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，所以雙曲線的焦點在軸上，所以所以雙曲線的漸近線方程為．故選：A10．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示焦點在y軸上的雙曲線，且a2=3，b2=1，則則漸近線為，即．故答案為為：A11．在中，，．若以A，B為焦點的雙曲線經過點C，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設雙曲線的實半軸長，半焦距分別為a，c，因為，所以AC>BC，因為以A，B為焦點的雙曲線經過點C所以ACBC=2a，AB=BC=2c，在三角形ABC中由余弦定理得，即，解得AC2=12c2，所以，所以，所以．故選：C12．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點在軸上，為等邊三角形，且線段的中點恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設，，設線段的中點為，則在雙曲線C的右支上，又為等邊三角形，所以，所以，所以連接，則在等邊三角形中，且，所以，所以，即雙曲線的離心率為．故答案為：C．13．直線與雙曲線沒有公共點，則斜率k的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】聯立直線和雙曲線：，消去得，當，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；當，此時，解得或，所以時直線與雙曲線無交點；故選：A14．若雙曲線的一個頂點為A，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】斜率為，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該直線與雙曲線的漸近線平行，且過雙曲線右頂點（a，0），故=，且a3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距為2c=．故選：D．15．過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】妨設過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D16．已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．∵雙曲線一個焦點為（2，0），∴c=2．設雙曲線C的方程為，則．設，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．17．直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2．故選：C18．雙曲線的右焦點分別為F，圓M的方程為.若直線l與圓M相切于點，與雙曲線C交于A，B兩點，點P恰好為AB的中點，則雙曲線C的方程為________.【答案】【解析】設直線l的斜率為k，則，所以，因為點在圓上，，即，設點，，則，.兩式相減，得則，即，所以雙曲線C的方程為.故答案為：19．過點作直線與雙曲線交于，兩點，若點恰為線段的中點，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】因為雙曲線方程為則設,因為點恰為線段的中點則則,兩式相減并化簡可得即直線的斜率為2所以直線的方程為,化簡可得因為直線與雙曲線有兩個不同的交點所以解得且所以的取值范圍為故答案為:20．以橢圓長軸的端點為焦點，且經過點（3，）的雙曲線的標準方程為________．【答案】－＝1【解析】由題意得，雙曲線的焦點在x軸上，且c＝2．設雙曲線的標準方程為－＝1（a>0，b>0），則有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解