2023-2024學年八年級數學上冊同步配套教學講義與重難點突破（人教版）14.3因式分解1.理解因式分解的概念，理解和掌握提公因式法的有關概念和分解因式的方法；2.理解和掌握利用平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。一、提公因式法1.因式分解(1)定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫作把這個多項式因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。(2)因式分解與整式乘法的關系：因式分解與整式乘法是相反方向的變形。即多項式乘以多項式或單項式乘以多項式(整式乘法)是“積化和”，而因式分解則是“和化積”，故可以用整式乘法來檢驗因式分解的正確性。【理解和拓展】①因式分解專指多項式的恒等變形，等式的左邊必須是多項式；右邊每個因式必須是整式。②因式分解的結果必須要以積的形式表示，否則不是因式分解。③因式分解中每個括號內如有同類項要合并，因式分解的結果要求必須將每個因式分解徹底。2.公因式(1)定義：多項式的各項中都含有的公共的因式叫作這個多項式各項的公因式。(2)確定多項式的公因式的方法：確定一個多項式的公因式時，要對數字系數和字母分別進行考慮。確定公因式時，一看系數，取各項系數的最大公約數作為公因式的系數；二看字母，取各項相同的字母；三看指數，取相同字母的最低次冪。最后，還要根據情況確定符號。3.提公因式法(1)定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法。(2)提公因式的步驟①確定應提取的公因式。②用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式。③把多項式寫成這兩個因式的積的形式。【理解和拓展】①所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個因式中不能再有公因式。②如果多項式的首項系數是負數，應先提出“-”號。③如果多項式的某一項恰好與公因式相同，那么提公因式后此項為“1”，而不是“0”。分解因式口訣：各項有“公”先提“公”，首項有“負”先提“負”，某項提出莫漏“1”，括號里面分到“底”。題型一判斷是否是因式分解下列變形中，是因式分解的是（）A． B．C． D．1．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．B．C．D．2．下列從左到右的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．題型二提公因式法分解因式分解因式：．1．已知，，則的值是．2．若，，則的值是．二、公式法1.用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即a2-b2=(a+b)(a-b)。這個公式就是把整式乘法的平方差公式等號左右兩邊顛倒過來。(2)平方差公式的特點左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；右邊是兩個數(或整式)的和與這兩個數(或整式)的差的積。凡是符合平方差公式左邊特點的多項式都可以用這個公式分解因式。2.用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式：兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方，即(a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2。這個公式就是把整式乘法的完全平方公式等號左右兩邊顛倒過來。(2)完全平方公式的特點：左邊是一個三項式，其中兩項同號且均為一個整式的平方(平方項)，另一項是平方項冪的底數乘積的2倍(乘積項)，符號可正也可負；右邊是兩個整式的和(或差)的平方，中間的符號與左邊的乘積項的符號相同。3.因式分解的一般步驟可歸納為“一提、二套、三試、四分、五查”。(1)一提是指如果多項式有公因式，那么應先提取公因式；(2)二套是指如果各項沒有公因式，那么可嘗試套用公式來分解因式；(3)三試是指如果以上兩種方法不能分解，可嘗試用其他方法(如十字相乘法等)來分解；(4)四分是指遇到多項式為四項及以上的情況時，可考慮分組分解的方法；(5)五查是指檢查因式分解是否徹底，即要求分解后每個因式都不能再進行因式分解了。題型三平方差公式分解因式分解因式：．1．分解因式：．2．已知，，則的值是．題型四運用完全平方公式分解因式用完全平方公式填空：．1．因式分解：．2．已知，則．題型五綜合運用公式法分解因式分解因式：．1．分解因式：．2．在實數范圍內因式分解：．題型六十字相乘法分解因式分解因式：．1．分解因式．2．分解因式：．題型七分組分解法因式分解：．1．分解因式：．2．分解因式：．一、單選題1．下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A． B．C． D．2．將下列多項式因式分解，結果中不含有因式的是（

）A． B．C． D．3．若，則的值為（）A． B． C．10 D．4．下列多項式能用平方差公式因式分解的是（

）A． B． C． D．5．下列分解因式正確的是（

）A． B．C． D．6．下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．7．當互為相反數時，代數式的值為（

）A．2 B．0 C． D．18．定義；如果代數式（，，，是常數）與（，，，是常數）滿足，，，則稱兩個代數式為“相反式”，有下列四個結論：（1）代數式：的“相反式”是；（2）若與互為“相反式”，則的值為；（3）當時，代數式（，，，是常數的值為10，則它的“相反式”的值為；（4）無論取何值，代數式的值總大于其“相反式”的值，則的取值范圍為．其中正確的結論個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．在實數范圍內因式分解：10．若，則．11．已知：，，，則．12．甲乙兩人完成因式分解時，甲看錯了的值，分解的結果是，乙看錯了的值，分解的結果為，那么分解因式正確的結果為．三、解答題13．因式分解．(1)；(2)．14．已知．(1)求和的值；(2)已知，求的值．15．有些多項式不能直接運用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些項可以通過適當地結合（或把某項適當地拆分）成為一組，利用分組來分解多項式的因式，從而達到因式分解的目的．例如：．根據上面的方法因式分解：(1)；(2)．16．觀察下列式子：；；；(1)上面整式乘法計算結果比較簡潔，類比學習過的平方差公式，完全平方式的推導過程，請你寫出一個新的乘法公式（用含、的字母表示）不用證明；(2)直接用你發現的公式寫出計算結果：______；(3)分解因式：．17．閱讀以下材料：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，，則原式，再將“A”還原，得原式，上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：；(2)求證：無論n為何值，式子的值一定是一個不小于0的數．18．閱讀下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多項式僅用上述方法無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發現，前三項符合完全平方公式．解題過程如下：．這種因式分解的方法叫分組分解法．利用這種分組分解的思想方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)若a，b為非零實數，，且，求的值．19．數形結合是解決數學問題的重要思想方法，借助圖形可以對很多數學問題進行直觀推導和解釋如圖，有足夠多的A，B，C三種紙片：A種是邊長為的正方形，B種是邊長為的正方形，C種是寬為，長為的長方形．用A種紙片張，B種紙片張，C種紙片張可以拼出（不重不漏）如圖所示的正方形．根據正方形的面積，可以用來解釋整式乘法，反過來也可以解釋多項式，因式分解的結果為，依據上述積累的數與形對應關系的經驗，解答下列問題：(1)若多項式表示分別由，，張A，B，C三種紙片拼出如圖所示的大長方形的面積，請根據圖形求出這個長方形的長和寬，并對多項式進行因式分解；(2)我們可以借助圖再拼出一個更長方形，使該長方形剛好由張A種紙片，張