北京三帆中學2020-2021學年度第一學期期中考試

初三數學試卷

一、選擇題

1.二次函數y=（x—-3的最小值是（）

A.IB.-1C.-2D.-3

2.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分類.下列垃圾分類標志分別是可回收物、

廚余垃圾、有害垃圾和其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.ZX

3.將拋物線y=2x?平移，得到拋物線y=2（x—4尸+1,下列平移方法正確的是（）

A.先向左平移4個單位，在向上平移1個單位

B.先向左平移4個單位，在向下平移1個單位

C.先向右平移4個單位，在向上平移1個單位

D.先向右平移4個單位，在向下平移1個單位

k

4.反比例函數y=—（&>0）的圖象經過點（一2,〃），（一1加）,（3,c）,則b,c的大小

x

關系為（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.

b>a>c

5.如圖，A3是。O的直徑，點。在圓上，若NC43=32。，則NC84的度數為（）

A.32°B.64°C.68°D.58°

6.如圖，已知點C,。是以AB為直徑的半圓上的兩個點，且AC=B。，下列結論中不

一定成立的是（）

A.AC=BDB.ZABC=ZCBD

C.ZABD+ZACD=180°D.CD//AB

7.如圖為二次函數y=av2+/n+c的圖象，此圖象與x軸的交點坐標分別為（一1,0）、（3,

0）.下列說法：abc>0；方程℃2+bx+c=o的根為玉=-1,x2=3-當x>l時，>隨著

x的增大而增大；4a+2〃+c<0.正確的個數是（）

8.弧三角形，又叫萊洛三角形，是機械字家萊洛首先進行研究的.弧三角形是這樣畫的：先

畫正三角形，然后分別以三個頂點為圓心，【曉觀數學】其邊長為半徑畫弧得到的三角形.

在大片的麥田或農田中，由農作物倒狀形成的幾何圖案被稱為“麥田怪圈'’.圖1中的麥田怪

圈主要由圓和弧三角形構成，某研究小組根據照片嘗試在操場上繪制類似的圖形.如圖2,成

員甲先借繩子繞行一周畫出O。，再將。。三等分，得到A，8，C三點.接著，成員乙分

別以A，B,C為圓心畫出圖中的弧三角形.研究小組在A,B,C,。四點中的某一點

放置了檢測儀器，記成員甲所在的位置為尸，成員乙所在的位置為Q,若將射線QB繞著

點。逆時針旋轉到經過甲或乙的旋轉角記為自變量x（單位：°,0<x<360）,甲、乙兩

人到檢測儀器的距離分別記為必和乂（單位：加），繪制出兩個函數的圖象（如圖3）.

結合以上信息判斷，下列說法中錯誤的是（）

A.QO半徑為6m

C.當尤=60時，取得最大值12D.檢測儀器放置在點A處

二、填空題

9.將二次函數y=d-2x+5化為y=a(x-h)2+k的形式為V=

10.寫出一個二次函數，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點(0,2),這個二次

函數的解析式可以是.

11.在半徑為2的圓中，圓心角為120。的扇形面積為______.

12.如圖，拋物線^=火2(“工0)與直線尸法+出工。)的兩個交點坐標分別為4T1),

8(2,4),則使得關于x的不等式a?〈法+c成立的x的取值范圍是.

13.如圖,AB為。。的直徑，弦于點E,已知CD=8,EB=2,則。。的半徑為

14.如圖，PA，依是。。的切線，A，B為切點,AC是。。的直徑，ZBAC^35°,

則NP的度數為.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0,-2）,半徑為I的動圓OA沿y軸正方

向運動，若運動后0A與X軸相切，則點A的運動距離為.

16.如圖，等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4.平面內的直線1經過點A,作

CEL1于點E,連接BE.則當直線/繞著點A轉動時，線段BE長度的最大值是.

三、解答題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：f+4x+3=0.

18.關于刀的一元二次方程/一2%+加一1=0有實數根.

（1）求加的取值范圍；

（2）請選擇一個符合條件的機的值，并求此時方程的根.

19.下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規作圖過程.

己知：如圖，。。及。。上一點P.

求作：過點P的。。的切線.

①作射線0P-,

②在直線。P外任取一點A,以點A為圓心，4P為半徑作。4與射線0P交于另一點B；

③連接并延長BA與交于點C；

④作直線PC；

則直線PC即為所求.

根據小元設計尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：BC是。A的直徑，

ZBPC=90°（）（填推理的依據）.

OPJ.PC.

又；0P是。。的半徑，

PC是O。的切線（）（填推理的依據）.

20.如圖，00的半徑為2,四邊形ABC。內接于00,圓心。到AC的距離等于6.

（1）求AC的長；

（2）求/ADC的度數.

B

O.

D

21.在平面直角坐標系xOy中，直線/：y=x-l與雙曲線），="相交于點A（2,/〃）.

x

（1）求點A坐標及反比例函數的表達式;

（2）若直線/與x軸交于點8,點P在反比例函數的圖象上，當△OPB的面積為1時，求

點尸的坐標.

22.若二次函數y=a?+/JX+。的x與y的部份對應值如下表:

X-4-3-2-101

y-503430

（1）求此二次函數的解析式；

（2）畫出此函數圖象（不用列表）；

（3）結合函數圖象，當時，直接寫出y的取值范圍.

23.為了在體育中考中取得更好地成績，小明積極訓練.在某次試投中，實心球經過的路線是

如圖所示的拋物線的一部份.已知實心球出手處A距離地面的高度是1米，當實心球運行的

25

水平距離為3米時，達到最大高度/米的3處，實心球的落地點為C.

(1)如圖，已知AOL8于。，以。為原點，CO所在直線為x軸建立平面直角坐標系,

在圖中畫出坐標系，點B的坐標為；

(2)小明此次投擲的成績是多少米？

24.如圖，在AABC中，BC^AC,以為直徑的0。與邊AB相交于點。，與邊

相交于點/，DE1AC,垂足為點E，連接0Q.

(1)求證：OE與。。相切；

(2)若AE=2,O。的半徑H=4，求。E的長.

25.已函數y=/+J■，請結合學習函數的經驗，探究它的相關性質:

X

(1)自變量X的取值范圍是；

(2)x與y的兒組對應值如下表，請補全表格:

%...0.20.511.5225

2.521.510.50.2

y...5.853.51.5805.04mn2.924.56.65

1.754.96

其中m=,n=.

(3)下圖中畫出了函數一部份圖象，請根據上表數據，用描點法補全函數圖象；

(4)請寫出這個函數一條性質：；

(5)結合圖象，直接寫出方程/一2%+-=0的所有實根：.

X

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=+/〃的頂點為A

(1)求拋物線的頂點坐標(用用表示)；

(2)若點A在第一象限，且QA=0，求拋物線的解析式；

(3)已知點3(“一1,機—2),C(2,2),若拋物線與線段8C有公共點，結合函數圖象，直

接寫出的取值范圍

27.已知：過。。上一點A作兩條弦AB、AC,且NA=45°,(AB>AC都不經過。)

過A作AC的垂線Ab，交。。于。，直線80,AC交于點E，直線BC,AO交于點F.

(1)請在圖1中，按要求補全圖形；

(2)在圖2中探索線段BE和的數量關系，并證明你的結論；

(3)探索線段A3、AE，AR的數量關系，并直接寫出你的結論.

E

B

D

O.

圖1

圖2

28.平面直角坐標系x0y中，任意兩點8(4,%)之間的距離可以利用公式

AB

我們定義點A與8的軸距為：一匐，4，=|9一力|

當A3=2么或A3=2dv時，稱點8是點A的倍軸點.

(1)已知點A(l,o),則在點4(2,6)，B2(3,l),(1,2)中，點A的倍軸點

(2)若點”(加,〃)是原點。的倍軸點，當初，〃均為非負數的時候，所有滿足要求的點〃

組成了圖形“，請你在圖1中畫出圖形”，并描述圖形”的特點;

(3)A(f,0),。。的半徑為1點A的倍軸點在。。上，求，的取值范圍；。。上正好存在

四個點A的倍軸點，直接寫出，的取值范圍.

5廣

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

備用圖

北京三帆中學2020-2021學年度第一學期期中考試

初三數學試卷

一、選擇題

1.二次函數y=（x—-3的最小值是（)

A.IB.-1C.—2D.—3

【答案】D

【解析】

【分析】

題中所給的解析式為頂點式，可直接得到頂點坐標，從而得出解答.

【詳解】解：二次函數y=（x—l>—3的開口向上，頂點坐標為（I,-3）,

所以最小值為-3.

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數的基本性質，解題的關鍵是正確掌握二次函數的頂點式，若題目

給出是-一般式則需進行配方化為頂點式或者直接運用頂點公式.

2.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分類.下列垃圾分類標志分別是可回收物、

廚余垃圾、有害垃圾和其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據軸對稱圖形和中心對稱的概念求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

c、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，掌握知識點是解題關鍵.

3.將拋物線y=2/平移，得到拋物線y=2（x-4）2+l,下列平移方法正確的是（）

A.先向左平移4個單位，在向上平移1個單位

B.先向左平移4個單位，在向下平移1個單位

C.先向右平移4個單位，在向上平移1個單位

D.先向右平移4個單位，在向下平移1個單位

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用頂點式得到兩拋物線的頂點式，然后通過點平移的規律得到拋物線平移的情況.

【詳解】解：拋物線y=2x2的頂點坐標為（0,0）,拋物線y=2（x-4）2+1的頂點坐標為（4,

1）,而點（0,0）先向右平移4個單位，再向上平移1個單位可得到點（4,1）,

所以拋物線y=2x2先向右平移4個單位，再向上平移1個單位得到拋物線y=2（x+4）2+l.

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以

求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐

標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

4.反比例函數y=>優>0）的圖象經過點（一2,。），（一1力）,（3,c）,則a,b,。的大小

x

關系為（）

A.c>a>hB.c>b>aC.a>b>cD.

b>a>c

【答案】A

【解析】

【分析】

此題根據反比例函數k值與0的關系結合圖像即可判斷大小.

【詳解】Vk>0,

.??在反比例函數過一三象限，在各象限內y隨x的增大而減小，

V3>0>-l>-2,

.*.c>a>b；

故選A.

【點睛】此題考查反比例函數k值與函數圖像關系，數形結合即可.

5.如圖，AB是。。的直徑，點。在圓上，若NC4B=32°,則NCBA的度數為（）

A.32°B.64°C.68°D.58°

【答案】D

【解析】

【分析】

據直徑所對的圓周角是直角，得NA與NB互余，問題可解.

【詳解】如圖

是。。的直徑，點C在圓上

ZC=90°

ZCAB+ZCBA=90°

二ZCBA=90°-ZCAB=90°-32°=58°

故選：D.

【點睛】此題考查直徑上的圓周角.直徑所對圓周角為直角是經常用到的一個性質.

6.如圖，已知點C,。是以A3為直徑的半圓上的兩個點，且AC=5￡>，下列結論中不

一定成立的是（

H

A.AC=BDB.ZABC=NCBD

C.NAB。+NACO=180。D.CD//AB

【答案】B

【解析】

【分析】

根據圓的性質，內接四邊形和平行線的性質對選項逐一判定即可.

【詳解】A、AC=BD,

，AC=BD,故本選項成立；

B、要使NABC=NCBD,則AC=8,即AC=CD,根據題意無法得出這個條件，故本

選項不成立；

C、???四邊形ABCD是圓的內接四邊形，

AZABD+ZACD=180°,故本選項成立；

D、?.”=80，

/CBA=NDCB,

CD//AB；

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的性質，內接四邊形和平行線的性質，掌握這些知識點是解題關鍵.

7.如圖為二次函數'=0?+樂+。的圖象，此圖象與x軸的交點坐標分別為(-1,0),(3,

0).下列說法：abc>0；方程以2+/zx+c=0的根為玉=-1,々=3；當x>”寸，>隨著

x的增大而增大；4a+2b+c<0.正確的個數是()

【答案】C

【解析】

【分析】

①由拋物線的開口方向、與y軸的交點判定a、c的符號，根據對稱軸確定b的符號；

②根據二次函數圖象與x軸的交點解答；

③利用對稱軸和二次函數的圖象的性質作出判斷；

④將x=2代入函數關系式，結合圖象判定y的符號.

【詳解】解：①拋物線的開口向上，對稱軸在y軸的右邊，與y軸的交點在y的負半軸上,

b

；.a>0,-->0,c<0,

2a

即b<0,

abc>0,正確；

②二次函數y=ax?+bx+c的圖象與x軸的交點是(-1,0)、(3,0),

方程ax2+bx+c=O的根為x1=-1,X2=3

故本選項正確；

③函數對稱軸是直線x=l,

根據圖象當x>l時，y隨x的增大而增大；

④根據圖象可知拋物線與x軸的交點坐標是(-1,0),(3,0),

，當x=2時，y<0

...當x=l時4a+2b+c<0,正確.

共有四個正確的，

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數與系數的關系的應用，主要考查學生對二次函數的圖象與系數

的關系的理解和運用，同時也考查了學生觀察圖象的能力，本題是一道比較典型的題目，具

有一定的代表性，還是一道比較容易出錯的題目.

8.弧三角形，又叫萊洛三角形，是機械字家萊洛首先進行研究的.弧三角形是這樣畫的：先

畫正三角形，然后分別以三個頂點為圓心，【曉觀數學】其邊長為半徑畫弧得到的三角形.

在大片的麥田或農田中，由農作物倒狀形成的幾何圖案被稱為‘‘麥田怪圈''.圖1中的麥田怪

圈主要由圓和弧三角形構成，某研究小組根據照片嘗試在操場上繪制類似的圖形.如圖2,成

員甲先借繩子繞行一周畫出。。，再將。。三等分，得到A，B,。三點.接著，成員乙分

別以A，B,C為圓心畫出圖中的弧三角形.研究小組在A，B,C,。四點中的某一點

放置了檢測儀器，記成員甲所在的位置為P,成員乙所在的位置為。，若將射線OB繞著

點。逆時針旋轉到經過甲或乙的旋轉角記為自變量X（單位：°,0<x<360）,甲、乙兩

人到檢測儀器的距離分別記為,和%（單位：加），繪制出兩個函數的圖象（如圖3）.

結合以上信息判斷，下列說法中錯誤的是（

圖3

A.Q0的半徑為6mB.圖3中。的值為270

C.當x=60時，月取得最大值12D.檢測儀器放置在點A處

【答案】B

【解析】

【分析】

如圖，根據題意，找到甲、乙對應的圖像，然后求得a=240。，以及AB=6JJ，

4403=1x360。=120。，進而求出圓半徑，再對選項逐一分析即可.

3

【詳解】解：???將射線08繞著點。逆時針旋轉到經過甲或乙的旋轉角記為自變量x,且成

員乙所在的位置為Q,

.?.根據如圖3所示，實線部分圖像距離先保持不變，再下降至0,然后上升可判斷則實線部

分為應為乙的圖象，（點Q在以A點為圓心畫的上，則AQ距離不變），

...當Q點從B點逆時針運動時，圖像如圖中實線所示，檢測儀器應該A點,

2

???Q從B點到A點時，運動的角度為§個圓周，

a=-x360°=240°,

3

結合圖可得A8=6G，ZAOB=1X360°=120°,

如圖，連接AB、OA、OB,過。作ODLAB于點D,

VOA=OB,OD±AB,

AD=BD=-AB=373,ZAOD=4BOD=-ZAOB=60°

22

/.NQBO=30°

小巫

,,cos30°

2

QO的半徑為6m

如圖，當射線OB轉至6c中點位置時，即P在0A所在直線上，yi取最大值，長度為。。

的直徑12m,此時轉過的圓心角為60。，即尤=60.

:.A、C、D正確，

故選B.

【點睛】此題考查正多邊形和圓、等腰三角形三線合一及弧三角形的相關問題，根據題意找

到正確的函數的圖象是解本題的關鍵.

二、填空題

9.將二次函數y=x1-2x+5化為y=a[x-h)2+k的形式為J=.

【答案】y=(x-l)2+4；

【解析】

【分析】

利用配方法整理即可得解；

【詳解】解：(1)y=x2-2x+5=x2-2x+1+4

=(x-1)2+4,

故答案為:(x-1)2+4.

【點睛】本題考查了二次函數的三種形式的轉化，二次函數的性質，熟練掌握配方法是解題

的關鍵.

10.寫出一個二次函數，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點（0,2）,這個二次

函數的解析式可以是.

【答案】y=_f+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根據拋物線開口方向得出a的符號，進而得出c的值，即可得出二次函數表達式.

【詳解】解：?.■圖象為開口向下，并且與y軸交于點（0,2）,

.*.a<0,c=2,

???二次函數表達式為：y=-x2+2（答案不唯一）.

故答案為y=-x2+2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像特征及性質，掌握二次函數的圖像特征及性質是解題的

關鍵.

11.在半徑為2的圓中，圓心角為120。的扇形面積為.

4

【答案】一萬

3

【解析】

【分析】

根據扇形的面積計算公式計算即可；

【詳解】???半徑為2,圓心角為120。，

.RwgHirr120XX224

.?扇形的面積=-------------——7Tt

3603

_4

故答案是：一兀.

3

【點睛】本題主要考查了扇形的面積計算，準確計算是解題的關鍵.

12.如圖，拋物線^=如2（。力0）與直線y=+的兩個交點坐標分別為

3（2,4）,則使得關于x的不等式辦2<bx+c成立的x的取值范圍是.

【答案】-l<x<2

【解析】

【分析】

由OX?〈法+。可得：二次函數值小于一次函數值，可得二次函數的圖像在一次函數圖像的

下方，結合函數的圖像與交點坐標，從而可得答案.

【詳解】解：由3c2<bx+c可得：

二次函數值小于一次函數值，

二次函數的圖像在一次函數圖像的下方，

又交點坐標分別為47,1),8(2,4),

所以：結合圖像可得：-l<x<2,

故答案為：—l<x<2.

【點睛】本題考查的是利用二次函數與一次函數的圖像解一元二次不等式，掌握數形結合的

思想是解題的關鍵.

13.如圖,AB為。。的直徑,弦CDLAB于點E,已知CD=8,￡B=2,則。。的半徑為.

【答案】5

【解析】

【分析】

連接0C,設。。的半徑為R,根據垂徑定理求出CE,根據勾股定理列式計算，得到答案.

【詳解】連接OC,

設。。的半徑為七則OE=R-2,

'JCDLAB,

：.CE=—CD=4,

2

由勾股定理得，OC=O玲+CE1,即審=(R-2)2+42,

解得，R=5,

則。。的半徑為5,

故答案為5.

【點睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對

的兩條弧.

14.如圖，PA,是。。的切線，A，B為切點、,AC是。。的直徑，Nfi4c=35°,

則NP的度數為_______.

【答案】70。

【解析】

【分析】

根據題意可以求得/OAP和/OBP的度數，然后根據/BAC=35。，即可求得NP的度數.

【詳解】解：連接OB：

；PA、PB是。O的兩條切線，A、B是切點，AC是。。的直徑，

，/OAP=NOBP=90。，

VZBAC=35°,OA=OB,

.?.ZBAC=ZOBA=35°,

/PAB=NPBA=55°,

，/P=180°-/PAB-/PBA=70°,

即NP的度數是70。，

故答案為：70。.

【點睛】本題考查切線的性質，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件,

利用切線的性質解答問題.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，-2）,半徑為1的動圓0A沿＞軸正方

向運動，若運動后OA與x軸相切，則點4的運動距離為.

【答案】1或3

【解析】

【分析】

利用切線的性質得到點A到x軸的距離，再進行計算即可;

【詳解】若運動后。A與x軸相切，

則點A到x軸的距離為1,此時點A的坐標為（0,-1）或（0』），

所以運動距離是一1一（一2）=1或1-（-2）=3,

點A運動的距離是1或3.

故答案是1或3.

【點睛】本題主要考查了切線的有關性質，準確分析計算是解題的關鍵.

16.如圖，等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4.平面內的直線1經過點A,作

CEL1于點E,連接BE.則當直線/繞著點A轉動時，線段BE長度的最大值是.

【答案】2+275

【解析】

【分析】

以AC為直徑作圓O,連接BO,并延長交圓O于點E',可得BO+O￡>BE，從而可得

BO+OE>Br,即BE為最大值，再由勾股定理求出BO的長即可解決問題.

【詳解】解：由題意知，CEJJ于點E,

...以AC為直徑作圓O,

VCE1AE,

.?.點E在圓O上運動，

連接BO,并延長交圓O于點如圖，

Z.BO+OE'>BE'，

VOE=O

.,.BO+OE>BE,

，BE的長為最大值，

VAO=OC=OE,且AB=AC=4,

2

又?.，NBAC=90°

BO2=AO2+AB2=4?+2?=20

BO=275

.*.BE=5O+QE=26+2

故答案為：2+2非

【點睛】此題主要考查了求線段的最大值，構造出4ACE的外接賀是解答本題的關鍵.

三、解答題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：X2+4%+3=0.

【答案】％=-1,x2=一3

【解析】

【分析】

直接因式分解即可求解.

【詳解】x2+4x+3=0

(x+3)(x+l)=0

%——1,%2—3.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關鍵.

18.關于x的一元二次方程犬―2%+加一1=。有實數根.

(1)求用的取值范圍；

(2)請選擇一個符合條件的〃?的值，并求此時方程的根.

【答案】(1)m<2；(2)答案不唯一.

【解析】

【分析】

(1)根據△"),解不等式即可求解；

(2)選擇一個符合條件的m的值，解方程即可求解.

【詳解】解：⑴根據題意,得△=b2-4a*0,

即(-2)2-4(m-1)>0,

解得mW2.

(2)當m=l時，方程為x2-2x=0,

解得xi=0,X2=2.

注：m值不唯一.

【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a和)的根的判別式△=b?-4ac：當△>(),

方程有兩個不相等的實數根：當△=()，方程有兩個相等的實數根；當△<(),方程沒有實數

根.

19.下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規作圖過程.

己知：如圖，。。及。。上一點P.

求作：過點P的。。的切線.

①作射線OP;

②在直線。P外任取一點4以點A為圓心，AP為半徑作GM,與射線OP交于另一點8；

③連接并延長BA與。A交于點C；

④作直線PC-.

則直線PC即為所求.

根據小元設計的尺規作圖過程，

(1)使用直尺和圓規，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明：

證明：BC是。A的直徑，

ZSPC=90°（）（填推理的依據）.

OP±PC.

又：OP是。。的半徑，

??.PC是O。的切線（）（填推理的依據）.

【答案】（1）補全的圖形見解析；（2）直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端并且垂直

于這條半徑的直線是圓的切線.

【解析】

【分析】

（1）根據題意作出圖形即可；

（2）根據圓周角定理得到NBPC=90。，根據切線的判定定理即可得到結論.

【詳解】（1）補全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；

（2）證明：：BC是OA的直徑，

.?.NBPC=90。（圓周角定理），

.,.OP±PC.

又OP是。。的半徑，

...PC是G）0的切線（切線的判定）.

故答案為圓周角定理，切線的判定.

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關鍵.

20.如圖，OO的半徑為2,四邊形ABC。內接于。。，圓心。到AC的距離等于6.

（1）求AC的長；

（2）求/ADC的度數.

B

O-

D

【答案】⑴2；（2）150°

【解析】

【分析】

（1）過點。作OEJ_AC于點E，根據勾股定理求出CE,即可得出答案；

（2）連接。4,先求出ZAOC=60°，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出/B=30。,

即可得出答案.

【詳解】（1）過點。作OE_LAC于點E，如圖，

B

則在中，OE=0OC=2,

???CE=y/0C2-0E2=,22一(可=1

AC=2CE=2；

(2)連接04,如圖：

B

D

?.?由(1)知，在△AOC中，AC=OA^OC,

：.ZAOC=60°,

?.?弧4。=弧AC,

Z8」NAOC=30°,

2

/.ZADC=180°-ZB=180°-30°=150°.

【點睛】本題考查了垂徑定理，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，掌握這些知識點是解題

關鍵.

21.在平面直角坐標系中，直線/：丁=%-1與雙曲線丁=幺相交于點42,，〃).

(1)求點A坐標及反比例函數的表達式；

(2)若直線/與x軸交于點8,點P在反比例函數的圖象上，當aOPB的面積為1時，求

點P的坐標.

2

【答案】⑴點42,1),反比例函數y=『⑵點P(l,2)或(一1,-2)

【解析】

【分析】

(1)代入坐標點先求坐標，再求反比例函數表達式；

(2)作圖，根據圖像求出P點縱坐標，再代入反比例函數即可求出坐標.

【詳解】(1)TA在y=x?l上,

當x=2時,y=l,即m=l,

點42,1）,

2

再把A的坐標代入反比例函數解得：丁=一；

x

（2）

由函數表達式可求得點3（1,0）,

??q-1

,0AOPB-1，

即:OBlyp1=1,

，Iy"=i,

點P（l,2）或（-1,-2）；

【點睛】此題考查反比例函數與一次函數相關知識，結合圖像是關鍵.

22.若二次函數y=a?+Z?x+c的x與N的部份對應值如下表：

X-4-3-2-101

y-503430

（1）求此二次函數的解析式；

（2）畫出此函數圖象（不用列表）；

（3）結合函數圖象，當時，直接寫出y的取值范圍.

【答案】⑴y=-x2-2x+3；(2)見詳解；(3)-5<y<4.

【解析】

【分析】

(1)利用表中數據和拋物線的對稱性可得到拋物線的頂點坐標為(T,4),則可設頂點式

y=a(x+1)2+4,然后把(0,3)代入求出a的值即；

(2)利用描點法畫二次函數圖象；

(3)觀察函數函數圖象，當時，函數的最大值為4,于是可得到y的取值范圍為

-5<y<4.

【詳解】解：(1)由表知，拋物線的頂點坐標為(T,4),設y=a(x+1)2+4,

把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3,

解得a=T,

二拋物線的解析式為y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3；

(2)如圖，

%

(3)如圖：當-4Wx<l時，-5Wy*.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式

時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.一般地，當

已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物

線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，

可選擇設其解析式為交點式來求解.也考查了二次函數的性質.

23.為了在體育中考中取得更好地成績，小明積極訓練.在某次試投中，實心球經過的路線是

如圖所示的拋物線的一部份.己知實心球出手處A距離地面的高度是2米，當實心球運行的

25

水平距離為3米時，達到最大高度一米的B處，實心球的落地點為C.

9

(1)如圖，已知AOLC。于。，以。為原點，CO所在直線為x軸建立平面直角坐標系,

在圖中畫出坐標系，點8的坐標為；

(2)小明此次投擲的成績是多少米？

【答案】⑴氣3,互1；(2)8米

【解析】

【分析】

(1)根據題意直接寫出坐標即可；

(2)求出二次函數表達式，求C點橫坐標即可;

【詳解】(1)坐標系

(2)設拋物線的表達式為y=a(x—3>+§(470)

由拋物線經過點

得與=a(-3)2+解得a~~~

y=」(X-3)2+—

-99

y=0時，X[=8,x2=-2(舍)

答：小明此次投擲的成績是8米

【點睛】此題考查利用二次函數解決實際問題，理解函數定義是關鍵

24.如圖，在AABC中，BC=AC,以為直徑的。。與邊A3相交于點。，與邊AB

相交于點/，DE1AC,垂足為點E，連接OO.

(1)求證：OE與。。相切；

(2)若A￡=2,的半徑H=4,求OE的長.

【答案】(1)見解析；(2)2G

【解析】

【分析】

(1)根據內錯角證明兩直線平行，再換算角度即可證明DE與OO相切;

(2)構造直角三角形根據勾股定理即可求出DE的長.

【詳解】(1)證明：連接C￡>

VBC為QO的直徑，...ZBDC=90°

：.CD±AB

又：BC=AC：.Z1=Z2

OD=ocN1=N3N2——N3

：.ODUAC

NODE=ZAED

?：DEIAC：.ZAED^90°

：.NODE=90°:.DE1OD

OE與0。相切

(2)過。作ON_LC/于N,

可得四邊形QDEN是矩形，

:.EN=OD=R=4,ON=DE

又：AE=2,AC=CB=4+4=8,

CN=AC-AE-EN=AC-AE—OD=2,

在RSONC中,ON=^/OC2-CN2

；?ON=20，

；?DE=

【點睛】此題考查圓的相關知識，涉及到切線，平行線的判定，勾股定理等.

,1

25.已函數y=r+-,請結合學習函數經驗，探究它的相關性質：

X

(1)自變量X的取值范圍是；

(2)工與y的幾組對應值如下表，請補全表格:

X0.20.511.522.5

2.521.510.50.2

》...5.853.51.5805.04mn2.924.56.65

1.754.96

其中加二,〃二.

(3)下圖中畫出了函數的一部份圖象，請根據上表數據，用描點法補全函數圖象；

(4)請寫出這個函數的一條性質：；

(5)結合圖象，直接寫出方程/-2》+工=0所有實根：.

【答案】(1)龍。0;(2)2.25,2；(3)見解析;(4)答案不唯一；(5)%=-0.6,x2=l,

=1.6.

【解析】

【分析】

(1)觀察解析式可直接得出結果；

(2)分別帶入相應自變量的值即可計算出；

(3)先描點，然后用平滑的曲線連接各點；

(4)可根寫增減性，也可寫相應取值范圍內的最值;

(5)看作兩個函數交點問題來解決即可.

【詳解】(1)XH0；

(2)分別將x=0.5和x=l帶入解析式，得加=2.25,〃=2；

(3)如圖；

（4）答案不唯一，

如：當％<0時，y隨工的增大而減小;

,?,1

（5）對于方程V—2x+-=0,可變形為f+±=2x,求該方程的實數根，即為求函數X

XX

,1

與力交點的橫坐標，其中x=f+—,%=2x,故在圖中做出％=2x的圖象，如圖，

x

直接可讀出三個交點得橫坐標為X1=-0.6,x2=l,x3=1.6.

【點睛】本題考查的是新函數探究問題，但本質上考查的是對函數的研究方法和邏輯；掌握

函數求自變量取值范圍，以及根據函數解析式求確定自變量時的函數值是基礎;畫函數圖象,

并且注意根據自變量的取值范圍來確定圖象形式是關鍵;利用作好的圖象解決問題是此類題

型考查的基本核心，注重數形結合的思想，將復雜的方程或不等式簡單化，是本題的目的.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線）=一/+2氏一機2+機的頂點為A

（1）求拋物線的頂點坐標（用用表示）；

（2）若點A在第一象限，且。4=0，求拋物線的解析式；

（3）已知點5（機一1,加一2）,C（2,2）,若拋物線與線段8。有公共點，結合函數圖象，直

接寫出用的取值范圍

【答案】(1)(北加)；(2)y=-f+2x或寫為：y=-(x-l)2+l；(3)m<2,或〃zN3.

【解析】

【分析】

(1)化拋物線為頂點式，即可寫出頂點坐標：

(2)求出點A0,列方程求解即可；

(3)考慮點C在拋物線上時m的值，再結合圖形，分情況進行討論.

【詳解】(1)Vy=-x2+2mx-m2+m--(x-m)2+m,

...拋物線的頂點A坐標為(m,m).

(2)點A在第一象限,

OA=Om,

"-'0A=O

m=1

拋物線的表達式為y=—V+2x,或寫為：y=-U-l)2+l

(3)把C(2,2)代入了=-%2+2切%-根2+加，得

2=-22+4-m-nr+m>

解得加=2或3,

結合圖象可得：

當加W2時，拋物線與線段8c有公共點，

當2<根<3時，拋物線與線段8C無公共點，

當加23時，拋物線與線段8C有公共點；

綜上，當機W2或加23時，拋物線與線段有公共點.

【點睛】本題考查了二次函數的綜合，解決本題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質.

27.已知：過。。上一點A作兩條弦A3、AC,且NA=45°,（A3、AC都不經過0）

過A作AC的垂線A/，交。。于。，直線BD，AC交于點E，直線8C，交于點尸.

（1）請在圖1中，按要求補全圖形；

（2）在圖2中探索線段跖和8尸的數量關系，并證明你的結論；

（3）探索線段A3、AE，A尸的數量關系，并直接寫出你的結論.

【答案】（1）見解析；（2）BE=BF，理由見解析；（3）AE=AF+y[2AB

【解析】

【分析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）連接EF，CD,取EF中點G連接6G、AG,證明3、E、A、F四點共圓進而

可證出結論；

（3）由（2）知，點A、B、E、F四點共圓，連接CD,交AB于點P,則CD過圓心0,

由證得出△ACBs^APDsCPB,進而可證AC+AD=JI43，由等量代換可得出結論.

【詳解】解：（1）補全圖形

Bi

（///。.

C\~E

（2）BE=BF

證明：連接族，CD,CD過圓心O,CD為直徑，取Ef中點G連接BG、AG

AF1AE，ZDBF=90°,

ZEBF=ZFAE=90°

；EG^AG

：.EG=BG=AG=GF

:.B、E、A、F在圓G上，

，N1=N2,

：/DAE=90。，NBAD=45。，

Z2=ZBAD=45°,

XVZEBF=90°,

；.NBEF=45°=/1,

???BE=BF，

故答案為：BE=BF；

B

E

(3)由(2)知，點A、B、E、F四點共圓，連接CD,交AB于點P,則CD過圓心O,

NBEA=/BFA,BE=BF，NEBC=/DBF=NDAE=90。，

.".△EBC^AFBD,

；.BC=BD,CE=DF,

在ZkACB和AAPD中，

ZCAB=ZDAB=45°,ZABC=ZADC,ZBCD=45°,

.".△ACB^AAPD^CPB,

.ACABBCAB

??麗—而'版一葭'

AC-AD^AP-AB,BC2=BPAB,

CD為直徑，AC2+