漳州一中2021?2022學年下學期校質檢

九年級數學科試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分，請將答案涂在答題卡相應位置上）

1.四個數1,0,-3,—石中，最小的是（）

A.-75B.0C.-3D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根據正數>0>負數，以及負數的絕對值越大反而小，即可得出結論.

【詳解】解：V-3<-V5<0<l,

最小的是-3.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了實數的大小比較，解題的關鍵是掌握實數比較大小的方法.

2.截至2022年3月，中國已向120多個國家和國際組織提供超過21億劑新冠疫苗，將數據2100000000

用科學記數法表示為（）

A.0.21x10,°B.2.1X1O8

C.21xlO8D.2.1X1O9

【答案】D

【解析】

【分析】根據科學記數法進行改寫即可.

【詳解】2100000000=2.IxlO9.

故選：D.

【點睛】本題考查了科學記數法，即把大于0的數表示成ax10"的形式（其中"為正整數），

正確確定。的值是解題的關鍵.

3.我國古代數學家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法.“牟合方蓋”是由兩個圓柱

分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體，如圖乙所示的幾何體是可以形成

“牟合方蓋”的一種模型，它的左視圖是（）

I主視方向

圖甲圖乙

A.

【答案】B

【解析】

【分析】根據左視圖的定義，得出圓柱以及立方體的擺放即可得出左視圖為2個正方形以及一個圓的組合

體，進而得出答案即可.

【詳解】解：利用圓柱直徑等于立方體邊長，得出此時擺放，圓柱左視圖是正方形，得出圓柱以及正方體

的擺放的左視圖為1歹I」，上邊一個矩形，下邊是正方形與圓的組合體.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了幾何體的三視圖；掌握左視圖是從幾何體左面看得到的平面圖形是解決本題的關

鍵.

4.如圖，在8c中，ZABC=90°,EF、8G分別是△Z8C的中位線和中線，則下列說法不正確的是

()

A

B.BG=EFC.CG-BGD.AE^CF

【答案】D

【解析】

【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得E尸=L/C,再根據直角三角形斜

2

邊上的中線的性質得到BG=AG=CG=-AC,據此判斷即可.

2

【詳解】解：???斯是ZU8C的中位線，

：.EF=-AC,

2

是△/BC的中線，

BG=AG=CG=-AC=EF,

2

故選項“、B、C都正確，

而ZE與CF不一定相等，故選項。不正確，符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質，掌握三角形的中位線平行于第

三邊并且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

5.3月14日是國際數學節，為迎接數學節，某學校3月份舉辦“數學嘉年華之手抄報評比活動”，對甲、

乙、丙、丁四組候選作品進行量化評分，具體成績（百分制）如下表，如果按照創新性占60%,豐富性占

40%計算總成績，并根據總成績擇優推薦，那么應推薦的作品是（）

項目作品甲乙丙T

創新性90959090

豐富性90909585

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據加權平均數的含義和求法，分別求出四人的平均成績各是多少；然后比較大小，判斷出

誰的平均成績最高，即可判斷出應推薦誰.

【詳解】解：甲的平均成績=90><60%+90X40%=90（分），

乙的平均成績=95乂60%+90'40%=93（分），

丙的平均成績=90乂60%+95'40%=92（分），

丁的平均成績=90X60%+85X40%=88（分），

?.?93>92>90>88,

乙的平均成績最高，

應推薦乙.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了加權平均數的含義和求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：數據的權能

夠反映數據的相對“重要程度”，要突出某個數據，只需要給它較大的“權”，權的差異對結果會產生直

接的影響.

6.如圖，己知直線凹=X+加與％=履一1相交于點尸(-L1)，則關于X的不等式立一1的解集是

()

A.x<—1B.x>—1C.尤<—1D.x一1

【答案】A

【解析】

【分析】根據函數圖象寫出直線(在直線/2下方部分的X的取值范圍即可.

【詳解】解：因為直線%=%+，〃與％=區一1相交于點RT，i)，

所以，不等式彳+a<履一1的解集是xv-1.

故選A.

【點睛】本題考查了一次函數的交點問題及不等式，數形結合是解決此題的關鍵.

7.據省統計局公布的數據，合肥市2021年第一季度G0P總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度

GAP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GD尸增長的百分率為無，則y關于x的函數表達式是()

A.y=2.4(l+2x)B.y=2.4(1-x)2

C.y=2.4(1+x)2D.y=2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)2

【答案】C

【解析】

【分析】根據平均每個季度G。尸增長的百分率為x,第二季度季度GDP總值約為2.4(1+x)元，第三季

度GDP總、值為2.4(1+x)2元，則函數解析式即可求得.

【詳解】解：設平均每個季度G0P增長的百分率為x,

則y關于X的函數表達式是：尸2.4(1+x)2.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，正確理解增長率問題是解題關鍵.

8.我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與

圓合體，而無所失矣”，即通過圓內接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數成倍增加，依次可得圓

內接正十二邊形，內接正二十四邊形，….邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長.再根

據“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率.設圓的半徑為七圖1中圓內接正六邊形的周長

4=6/?,則兀x=3.再利用圖2圓的內接正十二邊形計算圓周率，首先要計算它的周長，下列結果

2R

正確的是()

C./12=24/?sin30°D./12=24/?cos30°

【答案】A

【解析】

【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長公式求解即可.

【詳解】解：?.?十二邊形44…是正十二邊形，

幺。4=30。，

?.?0/，44于河，又0A=。4,

=15°,

180。

?.?正〃邊形的周長=〃?2RsinS-,

n

圓內接正十二邊形的周長八=24Asinl5。,

故選：A.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質，求出正十二邊形的周長是解題的關鍵.

9.如圖，A,B,D,C是0。上四個點，連接AB，CO并延長，相交于點E，連接04,0B,

OC,OD.若NBOD=26°,ZAOC=106°,則NE的度數為()

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【解析】

【分析】連接8C,利用圓周角定理可得NABC=』NAOC=53°,NBCD=工NBOD=13°,利用三角

22

形的外角性質即可求解.

連接8C,

???ZBOD=26°,ZAOC=106°,

.-.ZABC=-ZAOC=-xl06°=53°,ZBCD=-ZBOD=-x26°=13°,

2222

\-ZABC=ZE+ZBCD,

.?./石=53。-13。=40。，

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形外角的性質和圓周角定理，即在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相

等，等于這條弧所對的圓心角的一半.

10.關于函數丁=("a+加一1)(%-1).下列說法正確的是()

A.無論機取何值，函數圖像總經過點(1,0)和(-1,-2)

B.當初W，時，函數圖像與x軸總有2個交點

2

C.若相＞g,則當尤＜1時，＞隨x的增大而減小

D.當加＞0時，函數有最小值-----m+1

4m

【答案】D

【解析】

【分析】根據函數的性質逐個求解即可.

【詳解】解：A.*/當x=1時，y=(mx+rn-1)(x-1)=0,

當x=-1時，y=(mx+ni-1)(x-1)=2,

圖像過(1,0)和(-1,2),

故選項錯誤，不符合題意；

B.\?當用=0時，y=(mx+m-1)(x-1)=1-%,

.,.該函數與x軸只有一個交點，

故選項錯誤，不符合題意；

C.V當例時，函數為開口向上的拋物線，則^=(mx+m-1)(x-1)=m(x+^—)(x-1),

2m

11—H7|

...該函數的對稱軸為直線X=J(1+——)=—＜1,

...當x＜1時，了隨x的增大而可能減小也可能增大，

故選項錯誤，不符合題意；

D.?.?若機＞0時，二次函數在頂點處取得最小值，

當x=—^―時，y=Cmx+m-1)(x-1)=-----m+\,

2m"Am

故選項正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，二次函數的最值，二次函數的增減性，熟悉二次函數與坐標

軸的交點坐標、對稱軸，頂點坐標等求法，是解題的關鍵.

二、填空題(每小題4分，共24分)

11.計算：(2022-〃)°+k2|=_____.

【答案】3

【解析】

【分析】利用零指數嘉性質，絕對值的性質即可求解.

【詳解】解：（2022-萬）°+卜2|=1+2=3,

故答案為：3

【點睛】本題考查了實數的運算，熟記零指數基性質和絕對值的性質是解題的關鍵.

12.一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質地完全

相同，那么該小球停留在黑色區域的概率是

【答案】-

3

【解析】

【分析】從圖中可知，黑色區域面積正好等于1塊方格地磚的面積，再利用幾何概率公式即可得.

【詳解】解：由圖可知，圖中共有3塊方格地磚，黑色區域的面積正好等于1塊方格地磚的面積，

則該小球停留在黑色區域的概率是尸=g,

故答案為：

3

【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握概率公式是解題關鍵.

13.如圖，平行四邊形ABCD的對角線ACDBD相交于點O,請你添加一個適當的條件使其成為

菱形（只填一個即可）.

【答案】ACZ1BC或C]AOB=90。或AB=BC（填一個即可）.

【解析】

【詳解】試題分析：根據菱形的判定定理，已知平行四邊形ABCD,添加一個適當的條件為：ACHBC或

□AOB=90。或AB=BC使其成為菱形.

考點：菱形的判定.

14.如圖，N8為半圓。的直徑，C為半圓。上一點，以04NC為邊作平行四邊形O4CD若8與半圓

。相切于點C,AC=2,則圖中陰影部分的面積為

B

JT

【答案】2—上

4

【解析】

【分析】連結。C,。。交半圓。于E,根據8是半圓。的切線，得出OCJ_CD,根據四邊形NOCC是

平行四邊形，得出△/0C是等腰直角三角形，oTWAO=ACCOS45°=2X^=42-乙4co=45。，然后利用三

2

角形OCQ-扇形OCE面積即可.

【詳解】解：連結OGOD交半圓。于En

???CO是半圓。的切線，

：.OC.LCD,

??,四邊形力是平行四邊形，

C.CD//AO,

：,OCVAO,

?：OA=OCf

.?.△AO。是等腰直角三角形，

：.AO=ACcos450=2x—=y/2,ZACO=45°,

2

,:AC〃OD,

：.NCOQ=45。,

??S陰影=S^oco-S扇形COE=J-x2x2-"又冗乂（母）_2——f

2360~4

IT

故答案為：2—-.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質、圓的切線、等腰直角三角形、銳角三角函數、三角形面積、扇形面

積，掌握以上相關知識點是解題關鍵.

15.在△/BC中，AB=AC,CD是N8邊上的高，ZACD=20Q,則N8的度數為.

【答案】35°或55°##55°或35°

【解析】

【分析】先根據題意分類討論畫出相應圖形，再利用三角形高的定義、直角三角形的性質、等腰三角形的

性質、三角形內角和定理以及三角形外角定理進行求解即可.

【詳解】解：①當A3邊上的高。。在A43c外部時，如圖：

D

、、、、力

CB

V8為AC邊上的高，

ZAZ）C=90°.

,ZZACD=20°,

ZC4D=90°-ZACD=70°,

ZACB+NB=ACAD=70°,

AB^AC,

：.NB=ZACB=g（NB+NAa）=35°,

②當AB邊上的高CO在AABC內部時，如圖:

CO為AB邊上的高，

ZADC=90°.

,：ZACD=20°,

ZA=90。—ZACD=70°,

Zfi+ZAC5=180o-ZA=110°.

AB=AC,

ZB=ZACB=g(ZB+NAC8)=55。.

故答案是：35。或55°.

【點睛】本題考查了三角形高的定義、直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理以及三

角形外角的性質，能根據高的位置進行分類討論是解決問題的關鍵.

16.如圖，點/在反比例函數y="（后＞0,x＞0）的圖象上，軸于點8,C為x軸正半軸上一

x

點，將△NBC繞點”旋轉180。得到點C的對應點。恰好落在函數圖象上.若△80C的面積為

6,則發的值為—

【答案】8

【解析】

【分析】由旋轉得到△/8。絲4/即，/C=Z。,即點力為CD的中點，設8（0,m）,則08=〃?，通過面積

表示C的坐標，進一步表示出4。的坐標，將。代入反比例函數，求出”即可.

【詳解】"8。軸，OCA軸，

J.AB//OC,

,:A4BC繞點A旋轉180°得到

△ABg/^AED,

.?.ZC=4。，即點/為CD的中點，

設8（0,加），則。8=機，

SABote/C。=—2OB*OC=6,

：.oc=12

m

；.C的坐標為

k

?.?點/在＞=一上，且軸,

x

的縱坐標為”,

K,〃],

：.A

mJ

??,點4為CQ的中點,

2k12cn1

：.D------,2m-0,即紅遍,

mm）mJ

,k,2^-12三,

?.?。在y=一上，-------?2m=k,

Xm

4k-24=k,

故答案為：8.

【點睛】本題考查了旋轉和反比例函數的圖象及性質，解題的關鍵是利用參數表示出圖象上的點帶入其表

達式.

三、解答題（共86分）

2（x+1）>x

17.解不等式組《-x-9>并在數軸上表示他的解集.

2

-3-2-10123,

【答案】-2<xW—l,見解析

【解析】

【分析】分別解不等式，進而得出不等式組的解集，進而得出答案.

2（X+1）>XD

【詳解】解：〈

3x-壬丑②'

2

解不等式①，得x>-2,

解不等式②，得XW-1,

不等式組的解集為一2<xW—1.

—i-----A----------1-------1--------1--------1-------->■>

-3-2-1012r

【點睛】此題主要考查了解一元一次不等式組以及在數軸上表示不等式的解集，正確解不等式是解題關

鍵.

x2-l

18.先化簡，再求值:其中》=夜+1.

卜X?+2,x+1

【答案】」一，—

x-12

【解析】

【分析】由題意先利用分式的運算法則進行計算化簡，進而代入計算即可.

2

Xx-1

【詳解】解:1-

x+1Jx2+2x+1

_(x+1x

(x+1X+1x+2x+1

_1(x+1)'

-x+T(x+l)(x-l)

1

當X=a+1時，

1_V2

原式=一一

V2+1-12-

【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則以及分母有理化的方法是解題的關鍵.

19.問題：如圖，ND=NE=RtN,若,求證：.

在①AD=A￡，②NA8C=NACB，③NZMB=NE4c這三個條件中選擇其中兩個，補充在上面問題

的條件中，剩余的一個條件補充在結論中，并完成問題的解答.（注：只需選擇一種情況進行作答）.

【答案】情況一：3AD=AE,nUABC=QACB,QDDAB=DEAC；解答見解析

情況二：L\AD=AE,JLiDAB=\JEAC;□ABC=UACB-解答見解析

情況三：□LL48C=[J4C8,DQDAB=UEAC；DAD=AE；解答見解析（任意寫出一種情況即可）

【解析】

【分析】根據題意選擇條件和結論，證明RtAADB名RtAAEC,進而可證結論.

【詳解】解：情況一：若①AD=AE,②山LBC=EL4C8作為條件，③口0/3=口區4c作為結論；

???NABC=NACB,

AB=AC>

AB=AC

■：在RtAJDfi和RtZUEC中〈,

AD=AE

RtAAZ)蛇RtAAEC(HL),

NDAB=NEAC.

故答案為：①AD=AE,②NABC=NACB；③ND4B=NE4C.

情況二：若①/。=力￡③作為條件，②//8C=N4CB作為結論；

ZD=Z￡=90°

在Rt/XADB和RtAJ￡C中<AO=AE,

NDAB=ZEAC

：.RtAADgRtAAEC(ASA),

：.AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

故答案為：?AD=AE,③ND4B=NEAC；?ZABC=ZACB.

情況三：②NABC=NACB,③/作為條件，①作為結論；

???NABC=NACB,

AB=AC>

ZDAB=ZEAC

,：在RtAADB和RtA^fC中,NO=NE=90°,

AB^AC

RtAAD蛇RtAAEC(AAS),

AAD=AE.

故答案為：②NABC=NACB,③NDAB=/EAC；?AD=AE.

(三種情況任選一種即可)

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判

定方法，是解題的關鍵.

20.如圖，比例規是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳和8C交叉構成.利用它可以把線段按一定的

比例伸長或縮短，如果把比例規的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度2的地方(即同時使。4=20。，

OB=2OC),然后張開兩腳，使48兩個尖端分別在線段/的兩個端點上，判斷這時8與18之間的

數量關系，并說明理由.

【答案】證明見解析

2

【解析】

【分析】首先根據題意利用兩組對邊的比相等且夾角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似

三角形的性質求解.

【詳解】CD'AB.

2

證明：'：OA=2OD,OB=2OC,

.OPPC_I

"~OA~~OB~2

又,:Z.COD=ABOA

:?hCOD?△BOA.

...-C-D----O-C-——\,

BAOB2

即co=

2

【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，學會利用相似三角

形的性質解決問題，屬于中考常考題型.

21.為進一步落實“雙減”工作，某中學準備從商場一次性購買一批足球和籃球用于開展課后服務訓練，

每個足球的價格都相同，每個籃球的價格也相同，已知籃球的單價比足球單價的2倍少30元，購買2個足

球和1個籃球共需花費210元.

(1)足球和籃球的單價各是多少元？

(2)根據學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共200個，且要求購買足球的總費用不超過購買籃球

的總費用，那么學校最少要準備多少資金？

【答案】(1)足球的單價是60元，則籃球的單價是90元；

(2)14400元

【解析】

【分析】（1）設足球的單價是X元，則籃球的單價是（2X-30）元，根據''購買2個足球和1個籃球共需花

費210元”列出方程，即可求解；

（2）設購買足球a個，學校準備資金w元，則購買籃球（200-。）個，根據題意.列出函數關系式，再由

購買足球的總費用不超過購買籃球的總費用，可得a412（）,再根據一次函數的性質，即可求解.

【小問1詳解】

解：設足球的單價是x元，則籃球的單價是（2x-30）元，根據題意得：

2x+2x—30=210,

解得：x=60,

2%-30=90,

答：足球的單價是60元，則籃球的單價是90元；

【小問2詳解】

解：設購買足球。個，學校準備資金卬元，則購買籃球（200-。）個，根據題意得：

w—60a+90（200-a）=-30a+18000,

?.?購買足球總費用不超過購買籃球的總費用，

/.60a<90（200-a）,

解得：a<120,

V-30<0,

隨a的增大而減小，

.?.當a=120時，w最小,最小值為14400,

答：學校最少要準備14400元資金.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，一次函數的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的

關鍵.

22.有四張反面完全相同的紙牌4B,C,D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻正

面朝下隨機放在桌面上.

(1)從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是.

(2)小明和小亮約定做一個游戲，其規則為：先由小明隨機摸出一張，不放回.再由小亮從剩下的紙牌

中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝，否則小明獲

勝.這個游戲公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖說明理由.

3

【答案】(1)-

4

(2)游戲不公平，理由見解析

【解析】

【分析】(1)直接根據概率公式計算即可.

(2)首先列表列出可能的情況，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結果有2種，

由概率公式得出小亮獲勝的概率和小明獲勝的概率，得出游戲不公平.

【小問1詳解】

解：共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有3種，

從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是三3；

4

3

故答案：一；

【小問2詳解】

游戲不公平，理由如下:

列表得：

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12種結果，每種結果出現的可能性相同，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的

結果有2種，

_2_1

??尸（兩張牌面圖形既是軸對稱圖形乂是中心對稱圖形）=—二—，

126

小亮獲勝的概率為小明獲勝的概率為2,

66

游戲不公平.

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適

合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放

回試驗.正確利用樹狀圖分析兩次摸牌所有可能結果是關鍵，區分中心對稱圖形是要點.用到的知識點

為：概率=所求情況數與總情況數之比.

23.如圖，AABC是直角三角形，NACB=90°.

B

（1）動手操作：利用尺規作NABC的平分線，交AC于點。，再以。為圓心，0C的長為半徑作O。

（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）綜合運用：請根據所作的圖，

①判斷A8與。。的位置關系，并證明你的結論：

②若AC=8,sinZOBC^l,求08的長.

3

【答案】（1）作圖見解析；

21

（2）①證明見解析；②。3=—.

2

【解析】

【分析】（1）根據角平分線的尺規作圖先作出NABC平分線，確定交點。，再以。為圓心，0C的長為半

徑作。。即可得；

（2）①作0DJ_AB,再根據角平分線的性質知QD=OC,據此可得；

②設0。的半徑為,，則0￡>=0C=r、AO=8—廠，由sinNOBC=（知BO=3r、BC=26r，根

據Rt^AOOsRtAACB得變=必，據此求得AO=2后，最后Rt/XAOO利用勾股定理求得『的值，

BCAC

繼而可得答案.

【詳解】解：（1）作圖如下：

B

(2)①AB與。。相切，

過0作O￡＞，A8于。，

\-ODLAB,

；.ZADO=ZACB=90。,

?.?3。為NA3C的平分線，ODLAB,NAC8=90°,

OD-OC,

OD1AB,OD=OC,

.?.AB與。。相切；

②設。。的半徑為，，則O0=OC=r,AO=8-r

在RtzXOBC中，sinZOBC=-

3

:.OB=3r,BC=1OB。-0c?=1⑶丫—產=20r

又QNADO=NACB=90。，NA=ZA

RtAADC^RtAACB，

ODAD

"~BC~~AC

rAD

272r-8，

得AO=2&，

在RtAADO中，根據勾股定理可得,+(2挺了=(8-廠了

7

解得，=一，

2

【點睛】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握角平分線的尺規作圖及其性質、切線的判定與性

質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識點.

24.如圖，在正方形ABCD中，E為A3邊上一點，以。E為邊向右側作正方形。及G,連接。口交

8c于點M,的延長線交GF于點EF與BC交于點、N.

G

(l)求證：EF平分NMEB;

1MN

(2)若tan/MEN=，求——的值；

3EM

(3)點E在ABIs運動過程中，是否存在的情況？請說明理由.

2

【答案】(1)見解析(2)-

3

(3)不存在，見解析

【解析】

【分析】(1)連接CG,由正方形的性質易證得到N4瓦”/CGD,NDAE=NDCG,再

由△OWE絲△■DMG,得到N￡)￡M=/OGA/,從而推出NDEF=NDE4+NNEB=NDEM+NMEN=90°,得

出答案；

(2)作兒件，防于點P,作于點。，由正方形性質易得△EFMgZXGFM,MQ=MP,由

tanZMEN=~,MQ//EF,得到△HMQs/\MEP,得到‘

,最后由四△GA/〃，得到

3EM3

MH=MN,從而得出答案;

(3)假設由(2)可知EA/=GW,再由CM<G",BM<EM,可知CM+8MVCB,從而得

2

出結論.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接GC.

???四邊形ABC。和DEFG是正方形,

AAD=CD,DE=DG,ZADC=ZEDG=90°,

ZADE=ZCDG,

：.^ADE^CDG,

:./DAE=/DCG=9QP,NDEA=NDGC,AE^CG,

：.ZDCG+ZDCM=90°+90°=180°,即點G、C、M在同一直線上;

■:DE=DG,/EDM=NGDM=45°,DM=DM，

:?ADEM"&DGM.

ADEM=ZDGM=ZDEA；

ZDEF=ZDEA+ZNEB=ADEM+AMEN=90°.

:.AMEN=/BEN,即EN平分NMEB.

如圖，作于點。，作于點。,

；四邊形DEFG是正方形，/DFE=ZDFG=45°,

/.MP=MQ.

MP1

VtanZMEN=——=一，得EP=3MP,

EP3

/.EP=3MQ；

■：MQ//EF,

：.XHM44MEP,

.MH_MQ_MQ

,?EM-EP_3MQ-3：

???ADEM=ZDGM,

：.ZMEN=/HGM；

又EM=GM,NEMN=NGMH,

：./^EMNmAGMH,

:.MN=MH,

不存在EM=工AO的情況.

2

理由：假設不妨設AO=a,則有EN=GM=」a.

22

在Rt△BEM中，EN是斜邊,

BM<EM，即<L；

2

,/CM<GM,即CM<-a,

2

/.BM+CM<-a+-a,即BM+CM<a；

22

而6M+CM=BC=AD=a,

‘假設錯誤'即加的情況不存在.

【點睛】本題為相似綜合題，主要考查全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，合理構造相

似，與反證法解題是本題的關鍵.

25.已知拋物線于尸加+云+3(。彳0)經過點4(一1,0),并與x軸交于另一點8,交y軸于點C,其對

稱軸為x=l.

備用圖

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖，點P是拋物線上位于直線8C上方的動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交y軸于點

D,交直線8c于點E,當BD+PE取最大值時，求點P的坐標；

（3）已知點M為拋物線對稱軸/上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使得點/與點N關于直線BC

對稱，若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）