小題考法3等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)(2023·深圳龍崗區(qū)校級一模)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2a1，若a1，a2，ak1，ak2，ak3依次成等比數(shù)列，則k3＝()A．81B．63C．41D．32(2)(多選題)(2023·佛山順德區(qū)一模)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1，{bn}的通項公式為bn＝3n－1.將數(shù)列{an}，{bn}的公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列{cn}，設(shè){cn}的前n項和為Sn，則下列說法正確的是()A．2023∈{cn}B．c2023＝b4046C．S2023∈{an}D．S2023∈{bn}解析：(1)因為Sn＝n2a1，所以S1＝a1，S2＝4a1，故a2＝3a1，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝2a1，所以an＝(2n－1)a1，因為a1，a2，ak2，ak3依次成等比數(shù)列，eq\f(a2,a1)＝3，所以ak3＝a1·34＝81a1，所以(2k3－1)a1＝81a1，所以k3＝41，故選C.(2)因為an＝2n－1，bn＝3n－1.將數(shù)列{an}，{bn}的公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列{cn}，則{cn}的項既是奇數(shù)，又滿足被3除余2，可得等差數(shù)列{cn}的項從小到大的順序是5，11，17，……，所以cn＝5＋6(n－1)＝6n－1.對于A，令2023＝6n－1，解得n＝367＋eq\f(1,3)，不是整數(shù)，因此2023?{cn}，因此A不正確；對于B，c2023＝6×2023－1＝12137，b4046＝3×4046－1＝12137，所以c2023＝b4046，因此B正確；對于C，S2023＝eq\f(2023×（5＋2023×6－1）,2)＝2023×6071＝12281633為奇數(shù)，所以S2023∈{an}，因此C正確；對于D，令12281633＝3n－1，解得n＝4093878，所以S2023∈{bn}，因此D正確．故選BCD.答案：(1)C(2)BCD數(shù)列是特殊的函數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別注意函數(shù)思想的滲透，同時注意數(shù)列作為特殊函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或其有限子集．1．(多選題)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn，a1＝10，公差d＝－2，則()A．a(chǎn)n＝－2n＋12B．S4＝S7C．當n＝5或6時，Sn取得最大值為30D．數(shù)列a1，a2，…，a2023與數(shù)列{3m＋10}(m∈N*)共有671項互為相反數(shù)解析：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，等差數(shù)列{an}中，a1＝10，公差d＝－2，則an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋12，A正確；對于B，由A的結(jié)論，an＝－2n＋12，則a6＝0，則有a5＋a6＋a7＝S7－S4＝0，即S7＝S4，B正確；對于C，an＝－2n＋12，當n<6時，an>0，a6＝0，當n>6時，an<0，則當n＝5或6時，Sn取得最大值，且其最大值為eq\f(（10＋0）×6,2)＝30，C正確；對于D，數(shù)列{3m＋10}是首項為13，公差為3的等差數(shù)列，若{an}與數(shù)列{3m＋10}(m∈N*)共有671項互為相反數(shù)，又由n≤2023，則an≥a2023＝－4034，則數(shù)列{an}中與數(shù)列{3m＋10}中的項互為相反數(shù)的項依次為：－16，－22，－28，…，－4030，可以組成以－16為首項，－6為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為{cn}，則cn＝－10－6n，若cn＝－10－6n＝－4030，解可得n＝670，即兩個數(shù)列共有670項互為相反數(shù)，D錯誤．故選ABC.答案：ABC2．(2023·菏澤二模)設(shè)數(shù)列{an}是以eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，在a1和a2之間插入1個數(shù)x11，使a1，x11，a2成等差數(shù)列；在a2和a3之間插入2個數(shù)x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差數(shù)列；…；在an和an＋1之間插入n個數(shù)xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，xn2，…，xnn，an＋1成等差數(shù)列．則x22＝________；令Sn＝x11＋x21＋x22＋…＋xn1＋xn2＋…＋xnn，則eq\f(4,3)Sn＝________．解析：依題意，an＝(eq\f(1,2))n，由等差數(shù)列性質(zhì)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x21＋x22＝a2＋a3，,x22－x21＝\f(a3－a2,4－1)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x21＋x22＝\f(3,8)，,x22－x21＝－\f(1,24)，))解得x22＝eq\f(1,6)，x11＝eq\f(a1＋a2,2)＝eq\f(3,8)，x21＋x22＝a2＋a3＝eq\f(3,8)，顯然數(shù)列{xni}(i∈N*，i≤n，n≥3)是等差數(shù)列，其前n項和記為Tn，則Tn＝xn1＋xn2＋…＋xnn＝eq\f(xn1＋xnn,2)·n＝eq\f(an＋an＋1,2)·n＝eq\f(n,2)[(eq\f(1,2))n＋(eq\f(1,2))n＋1]＝eq\f(3,4)·eq\f(n,2n)，令T1＝x11＝eq\f(3,4)·eq\f(1,2)，T2＝x21＋x22＝eq\f(3,4)·eq\f(2,22)均滿足上式，因此Tn＝eq\f(3,4)·eq\f(n,2n)，于是Sn＝x11＋x21＋x22＋…＋xn1＋xn2＋…＋xnn＝T1＋T2＋T3＋…＋Tn＝eq\f(3,4)(eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n))，則eq\f(4,3)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)，令A(yù)n＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)，則有eq\f(1,2)An＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋eq\f(3,24)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)，兩式相減得：eq\f(1,2)An＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(\f(