高中自主招生數學全真模擬試卷(六)

填空題

1.設、=犬+4/+8/+8%+7,其中x為任意實數，則y的取值范圍是

2.如圖，從直角△ABC的直角頂點C作斜邊AB的三等分點的連線CE、CF,已知CE=sina,CF=cosa

(a為銳角)，則AB=.

3.如圖，已知PA、PB分別切。0于點A、B,PC^S：ABPB-ACPC=ABPC-ACPB,

且APEJPC,ZPAB=2ZBPC,則NACB=

DC1

4.如圖，在梯形ABCD中，DC||AB,——=-,MN為中位線，EF||AB且過AC與BD的交點，點E、F

AB3

分別在AD、BC上，則梯形CDEF、梯形FEMN、梯形NMAB面積的邊比等于.

5.設為,々，??…/均為正整數，且它們之間滿足關系4=2288,

X"+3=X"+2(X"+l+2x“)(〃=1,2,3)，則%+%+七=

6.在直角坐標系中，以原點0為圓心作。0,設。。與x軸正半軸交于點P,D(6,8)在。。上，點E、F在

線段0P上(與點O和P不重合)，連接DE、DF并延長與。。分別交于B、C,直線BC與x軸交于點G,若

DE=DF,貝Usin/CG0=.

7.如圖，將1,2,3,…9這9個數字全部填入3X3的方格表內，每個方格填一個數.其中中心方格內填入

的數字為4,且使得每行中從左到右的數字，每列中自下而上的數字都按照從小到大的順序排列的不同填法

有種.

8.己知a是方程V+3x-l=0的一個解，則直線y=ax+l—a一定不經過第象限.

解答題

9.如圖，AB是00的直徑，C是半圓AB的中點，點D在00內，且DC=1,DA=4,DB=V14,求00

的面積.

4

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B、C在x軸上，AO=8,AB=AC,sinZABC=y,AD

在AB上，CD與)，軸交于點E,且滿足SAC°E=SAADE，求經過點B、C、E的拋物線的解析式.

11.如圖，OOi與外切于點P，OOi>OO2的半徑分別為2,1,OiA為002的切線，AB為002的直

徑，OiB分別為。0k002于點C、D,求CD+3PD的值.

B

12.不等式/+尸+。3-1?3abe,求滿足條件的非負整數解數組(a,6,c)

參考答案

1.解：原式可化為丁=［。+1）2+1『+324.

2.如圖所示，設AC=b,BC=a,分別過點E、F作EMLAC,FNJ_AC,垂足分別是點M、N,因此BE=EF=FA,

211,2,.…

則EM=-a,FN=—a,CM=—b,CN=-Z?,在RtZkCEM中,

3333

6產+（初=sin2a.在RtACFN中,

所以，-a2+-b2=l^a2+h2^-,故AB=^

9955

3.如圖，由ABPB-ACPC=ABPC-ACPB得(AB+AC)(AB-AC)=O,故PB=PC,又

PA=PB,則PA=PB=PC；從而點A、B、C在以P為圓心，PA為半徑的圓上，不

妨設/ACB=a,ZAPB=2a,ZBPC=90°-2a,又NPAB=2NPBA=180°-4a,

ZPAB=ZPBA=90°-a,貝U180°-4a=90°-a,于是a=3(T=/ACB

4.易證梯形CDEF~梯形NMAB,梯形CDMN~梯形FEAB,設DC=1,則AB=3,

MN=2,EF=1.5,設梯形CDEF的面積為1,則梯形NMAB的面積為4,再設梯

1+r47

形EFMN的面積為x,注意到MN:AB=2：3,由結論I得------=解得廣一，故所求的連比為5：7：

x+495

20

5.依次將〃=1,2,3代入關系式X“+3=X“+3（X“+I+2X“），得/=￡（々+2內），

X2又

x5=x4(x3+2X2)=3(X2+2xt)(x3+2X2),X6=x3(x2+2x,)(x3+2x2)(x2+2xt+2)

4=2288=24x11x13且龍3都是正整數，則七+2%2+2玉23,由于％+2玉+2比々+2西

大2,而且24x11x13中只有13與11差為2且自身是不小于3的因數，于是％+2%+2=13則々+2%=11；

因此，只能是/3（馬+2%）=24,所以工3=1或2,當七=1時，Z不是整數；當七=2時，%2=1,芭=5

符合條件，故用+/+工3=8

6.如圖，過點D作DMUEF于點M,延長DM與O交于點N,連接ON與BC交于

點Q,則DM平分NEDF,從而CN=BN,所以ON_LBC,易知G、M、Q、N共

圓，所以/CGO=NONM,又MN=DM=8,OM=6,則ON=10,故sin/CGO=sin/ONM=

3

5

7.a的最小值為l,h最大值為9,所以,b、d互換共有2種可能.{c,e,7,g}={5,6,7,8},

這組共3種可能，再互換位置共有2種可能，所以12種.

8.當》40/3+3》一1<0,又a是方程V+3x—1=0的一個解，則a>0,得

12='一3所以工一3＞0,&＜工,0＜。＜!，故直線y=ax+l—e一定不經過第四象限.

aa33

9.如圖，連接AC、BC,則NACB=90。，AOBC,將△BDC繞點C順時針旋轉90。得AD'C連接DDL

則AAD'C也△BDC,故D'C=DC=1,AD'=BD=J7,ZDCD'=90°,由勾股定理得DD'=近，在△AD

D中,因為D'A2+D'D?=16,,所以/AD'D=90。，易知NCD'D=45。,故NAD'C=NAD'D+NCD'D=135°,

過點A作AE_LCD'交CD'的延長線于點E,則/AD'E=18()o-NAD'C=45。，在RtAAED'中，ED'=AE=AD

'sinNAD'E=近，由勾股定理得AC=BC=加+2幣,AB=4(15+2)),所以，S=(￡+J7)%

10.由sin/ABC=,AO=8得AB=10,由勾股定理得BO=6,易知△ABO絲△ACO,因此CO=BO=6,于是A(0,-8)、

B(6,0)、C(-6,0),設點D(,”,〃),由SA.=S^DE^CBD=S^OB則；?BC|〃|=g?A。?6。得n=-4；故點D為

Q

AB的中點，即D(3,-4),從而CD、AO為4ABC的兩條中線，故E為4ABC的重心，即E(0,一一)，設過點B、

3

n7R

C、E的拋物線解析式為y=a(x—6)(x+6)則可得a=點,故拋物線的解析式為＞'=點/一］

11.如圖，連接01。2，則0|。2過點P，連接AP并延長交O|B于點E,因為O|P：02P=2：1,且02為AB

的中點，所以點P為AOiAB的重心，又AE過點P,則EP：AE=1：3,且

E為OiB的中點，由NOiAB=90°,知EA=EB=OE,即NEAB=NEBA,又四

邊形APDB為圓內接四邊形，則NEAB=NPDE,故NPDE=NABE,從而PD||AB,

一B

EPPDPD12

所以△EPD-AEAB,從而有——=——=——=一,/7)=一貝1]PD||AB得

AEAB2