PAGEPAGE10話題4：曲率半徑問題一、曲率半徑的引入在研究曲線運(yùn)動的速度時，我們作一級近似，把曲線運(yùn)動用一系列元直線運(yùn)動來逼近。因為在的極限情況下，元位移的大小和元弧的長度是一致的，故“以直代曲”，對于描述速度這個反映運(yùn)動快慢和方向的量來說已經(jīng)足夠了。對于曲線運(yùn)動中的加速度問題，若用同樣的近似，把曲線運(yùn)動用一系列元直線運(yùn)動來代替，就不合適了。因為直線運(yùn)動不能反映速度方向變化的因素。亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。如何解決呢？圓周運(yùn)動可以反映運(yùn)動方向的變化，因此我們可以把一般的曲線運(yùn)動，看成是一系列不同半徑的圓周運(yùn)動，即可以把整條曲線，用一系列不同半徑的小圓弧來代替。也就是說，我們在處理曲線運(yùn)動的加速度時，必須“以圓代曲”，而不是“以直代曲”。可以通過曲線上一點(diǎn)與無限接近的另外兩個相鄰點(diǎn)作一圓，在極限情況下，這個圓就是點(diǎn)的曲率圓。二、曲線上某點(diǎn)曲率半徑的定義在向心加速度公式中為曲線上該點(diǎn)的曲率半徑。圓上某點(diǎn)的曲率半徑與圓半徑相等，在中學(xué)物理中研究圓周運(yùn)動問題時利用了這一特性順利地解決了動力學(xué)問題。我們應(yīng)該注意到，這也造成了對意義的模糊，從而給其它運(yùn)動的研究，如橢圓運(yùn)動、拋體運(yùn)動、旋輪線運(yùn)動中的動力學(xué)問題設(shè)置了障礙。曲率半徑是微積分概念，中學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)物理都沒有介紹。曲率是用來描述曲線彎曲程度的概念。曲率越大，圓彎曲得越厲害，曲率半徑越小，且。這就是說，曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)。二、曲線上某點(diǎn)曲率半徑的確定方法1、從向心加速度的定義式出發(fā)。將加速度沿著切向和法向進(jìn)行分解，找到切向速度和法向加速度，再利用求出該點(diǎn)的曲率半徑。例1、將的小球從點(diǎn)以的初速度水平拋出，設(shè)重力加速度，求：在拋出點(diǎn)的曲率半徑；拋出后時的曲率半徑。解析:初時在點(diǎn)向心加速度，方向豎直向下，所以小球在曲線上點(diǎn)的曲率半徑如圖，拋出后時到達(dá)點(diǎn)，切向速度，.向心加速度小球在點(diǎn)的曲率半徑2、已知曲線，由可得某點(diǎn)曲率半徑。證明：對于任意曲線，均可理解為方向的勻速直線運(yùn)動及方向的變速運(yùn)動的疊加。如圖，速度沿切向，例2、筑路工人把從山上挖出來的土石，盛在一個籮筐里，沿一條鋼索道滑到山下。如索道形狀為的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看作質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)。求籮筐自處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時籮筐對鋼索的壓力大小。解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，鋼索呈頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、開口向上的拋物線。籮筐自處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時速度大小，方向沿方向。拋物線上任意點(diǎn)的曲率半徑在原點(diǎn)，，所以。而此時，所以。3、矢量分解法求橢圓的長軸與短軸端點(diǎn)的曲率半徑(已知長半軸和短半軸分別為和)。如圖所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率運(yùn)動。這個運(yùn)動在平面的一個分運(yùn)動軌道恰成半徑為的圓，則兩平面間夾角。對于橢圓上點(diǎn)，設(shè)曲率半徑為，質(zhì)點(diǎn)以線速度通過點(diǎn)，則該點(diǎn)的向心加速度對在平面上的投影點(diǎn)，其線速度為,向心加速度為沿平面方向分量，則比較、兩式可得,同理，對點(diǎn)及其投影點(diǎn)有,即4、構(gòu)造運(yùn)動法構(gòu)造兩個相互垂直的分運(yùn)動，寫出分運(yùn)動表達(dá)式。如圖所示為橢圓，求橢圓上A、B兩點(diǎn)處的曲率半徑。解：橢圓，可以看成是兩個函數(shù)的合成。,即可進(jìn)一步寫出,兩個方向的速度和加速度則,,在處，，,求得處的曲率半徑為在處，，,求得處的曲率半徑為5、利用開普勒第二定律和機(jī)械能守恒定律求橢圓的曲率半徑例3、地球繞太陽（固定）作橢圓運(yùn)動，已知軌道半長軸為，半短軸為，如圖所示，試求地球在橢圓各頂點(diǎn)、、的運(yùn)動速度的大小及其曲率半徑．解：對頂點(diǎn)、，由機(jī)械能守恒定律有根據(jù)開普勒第二定律有式中由式解得由萬有引力提供向心力得解得對頂點(diǎn)，由機(jī)械能守恒得將代入得同樣可得例4、已知拋物線，求其任意一點(diǎn)的曲率半徑。解、設(shè)有圖甲所示拋物線，為求其上某點(diǎn)例如點(diǎn)處的曲率半徑，可設(shè)想一質(zhì)點(diǎn)以速度做平拋運(yùn)動，平拋運(yùn)動是水平方向的勻速直線運(yùn)動與豎直方向自由落體運(yùn)動的合成，設(shè)運(yùn)動時間質(zhì)點(diǎn)水平位移，豎直下落高度,則消去，得可知平拋物體運(yùn)動的軌跡為一條拋物線，如圖乙所示。若取，則該軌跡即是旋轉(zhuǎn)了的拋物線。取平拋軌跡上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)速度為,與水平成角，加速度為，該點(diǎn)曲率半徑以表示，向心加速度是的分量且有根據(jù)運(yùn)動的合成，式中則有將變量、對應(yīng)于,.則拋物線上各點(diǎn)的曲率半徑為將代入，指定點(diǎn)曲率半徑為.例5、旋轉(zhuǎn)半徑為、螺距為的等距螺旋線,曲率半徑處處相同。試用運(yùn)動學(xué)方法求解值。解、設(shè)物體以做勻速率的圓周運(yùn)動、同時以沿垂直于方向做勻速直線運(yùn)動，每前進(jìn)一個螺距，完成一次圓周，即有，盡管螺旋線是一條三維空間的曲線，但可以利用與二維平面曲率半徑相類似的原則來確定螺旋線的曲率半徑。因為在三維曲線上取一小線元，當(dāng)線元趨于零時，必將趨于同一平面上的小圓弧，對應(yīng)的圓弧半徑就是在該處的曲率半徑。由此可寫出法向加速度。由于速率不變，無切向加速度。設(shè)曲率半徑為，則有則由此兩式可得。例6、一個剛性圓輪在直線軌道上作純滾動，圓輪邊緣上一點(diǎn)經(jīng)歷的軌跡稱為滾線（又稱旋輪線、擺線）。所謂純滾動就是圓輪與直線軌道的接觸點(diǎn)無相對運(yùn)動。設(shè)圓輪半徑為。試寫出滾線的軌道方程（利用滾過的角度作為參量，如圖所示）試求滾線上各點(diǎn)的曲率半徑（用物理方法）。解、如圖所示，設(shè)點(diǎn)在直線軌道的點(diǎn)開始，隨著圓輪向右滾動，點(diǎn)將在滾動平面內(nèi)經(jīng)歷一條軌跡。建立坐標(biāo)。由圖容易得到任一位置（以滾動角度表示）時，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為這就是參數(shù)為的滾線軌道方程。滾線的形狀與圓輪滾動快慢無關(guān)。但為了用物理方法給出曲線上各點(diǎn)的曲率半徑，我們選擇一種圓輪滾動的方式，然后由此運(yùn)動算出圓輪上點(diǎn)的速度和法向加速度，最后求出曲率半徑。設(shè)圓輪滾動時，圓心以不變的速度沿直線軌道向右運(yùn)動，同時圓輪繞圓心以不變的角速度轉(zhuǎn)動，為保證圓輪在直線上作純滾動，應(yīng)有關(guān)系式設(shè)圓輪滾動角時點(diǎn)在圖示位置，點(diǎn)瞬時速度為其方向必沿滾線在點(diǎn)的切線方向。點(diǎn)的加速度為此處已利用是常量，輪心作勻速運(yùn)動。是點(diǎn)相對點(diǎn)的相對速度。此式說明，由于牽連加速度為零，絕對加速度等于相對加速度。且方向由指向。因此，點(diǎn)的法向加速度為這里點(diǎn)處曲線的法向為方向。由式和，得點(diǎn)曲率半徑為這就是各處曲線的曲率半徑。幾個特殊點(diǎn)的曲率半徑：（曲線的最高點(diǎn)）例7、與水平方向成角以初速度拋出石塊，石塊沿某一軌跡運(yùn)動，為石塊上升的最大高度，如果一只鳥以大小恒定的速度也沿這軌跡飛行，求鳥飛到高度處的加速度。空氣阻力不計。解、石塊上升的最大高度由初速度的豎直分速度決定根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求出石塊在高度處的速度速度與水平線的傾角（如圖）由下式得出式中是石塊的水平速度。因而垂直運(yùn)動軌跡方向盤上的石塊分加速度等于式中是在高度處軌跡的曲率半徑，它等于由此可知鳥在這點(diǎn)的加速度為例8、一條光滑的拋物線軌道，在直角坐標(biāo)系中的方程為,式中,單位為米。有一質(zhì)點(diǎn)從起始位置無初速度地滑下，問質(zhì)點(diǎn)在何處離開拋物線軌道。解、設(shè)質(zhì)點(diǎn)在處飛離拋物線，質(zhì)點(diǎn)從處滑到處時（如圖），根據(jù)機(jī)械能守恒定律，可得質(zhì)點(diǎn)速度再設(shè)點(diǎn)處拋物線的曲率半徑為，半徑與豎直方向夾角為，根據(jù)牛頓第二定律，在半徑方向有：式中含和兩個變量，須一一解出。先用物理方法求曲率半徑。設(shè)某質(zhì)點(diǎn)自原