函數的單調性與導數（復習課）大田一中劉珍王復習已學內容：函數的單調性若對于屬于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值a,b，當a<b時，都有f(a)<f(b),則說f(x)在這個區間上是增函數；若對于屬于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值a,b，當a<b時，都有f(a)>f(b),則說f(x)在這個區間上是減函數；函數y=f(x)在給定區間G上，當x1、x2∈G且x1＜x2時函數單調性判定單調函數的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數；若f(x)在G上是增函數或減函數，增函數減函數則f(x)在G上具有嚴格的單調性。G稱為單調區間G=(a,b)函數的單調性與導數的關系aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0定義:一般地,設函數y=f(x)在某個區間（a，b）內有導數,如果在這個區間內,那么函數y=f(x)在為這個區間內的增函數;如果在這個區間內,那么函數y=f(x)在為這個區間內的減函數.導數與函數單調性的關系如果在某個區間內恒有,則為常數函數.學生討論探究例2:確定下列函數的單調區間:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函數的定義域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的遞增區間是:

遞減區間是:學生討論探究練習1：確定函數的單調區間.解:令注意到故f(x)的遞增區間是(0,100).同理由得x>100,故f(x)的遞減區間是(100,+∞).說明:(1)由于f(x)在x=0處連續,所以遞增區間可以擴大到[0,100)(或[0,100]).(2)雖然在x=100處導數為零,但在寫單調區間時,

都可以把100包含在內.學生討論探究例3:設f(x)=ax3+x恰有三個單調區間,試確定a的取值范圍,并求其單調區間.解:若a>0,則

對一切實數恒成立,此時f(x)只有一個單調區間,矛盾.若a=0,則

此時f(x)也只有一個單調區間,矛盾.若a<0,則,易知此時f(x)恰有三個單調區間.故a<0,其單調區間是:單調遞增區間:單調遞減區間:

和學生討論探究學生討論探究學生練習2

某賓館有50個房間工游客居住,當每個房間定價為每天180元時,房間會全部住滿;房間單價每增加10元,就會有一個房間空閑.如果游客居住房間,賓館每間每天需花費20元的各種維護費用.房間定價多少時,賓館利潤最大?解:設房間的定價為x元,賓館利潤為y元,則若x<350,則,y單調遞增;若x>350,則,y單調遞減.所以當房間定價為350元時,賓館利潤最大.(…………)(…………)學生討論探究1.在利用導數討論函數的單調區間時,首先要確定函數的定義域,解決問題的過程中,只能在函數的定義域內,通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間.2.在對函數劃分單調區間時,除了必須確定使導數等于零的點外,還要注意在定義域內的不連續點和不可導點.3.注意在某一區間內>(<)0只是函數f(x)在該區間上為增(減)函數的充分不必要條件.學生探究小結6.利用導數的符號來判斷函數的單調區間,是導數幾何意義在研究曲線變化規律的一個應用,它充分體現了數形結合的思想.5.若函數f(x)在開區間(a,b)上具有單調性.則當函數f(x)時在閉區間[a,b]上連續,那么單調區間可以擴大到閉區間[a,b