PAGE第5頁共6頁課時驗收評價(六十八)離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、方差一、點全面廣強(qiáng)基訓(xùn)練1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3)，則P(X＝2)＝()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)解析：選C由分布列的性質(zhì)，得eq\f(1＋2＋3,2a)＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝eq\f(2,2×3)＝eq\f(1,3).故選C.2．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)則X的均值E(X)＝()A．2 B．2或eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．1解析：選C由題意知，eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，a>0，所以a＝1，所以E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故選C.3．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個數(shù)，則P(X<2)＝()A.eq\f(7,15)B.eq\f(8,15)C.eq\f(14,15) D．1解析：選C由題意，知X的可能取值為0,1,2，X服從超幾何分布，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(7,15)＋eq\f(7,15)＝eq\f(14,15).故選C.4．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq\f(1,3)，則D(3X－2)＝()X－101Peq\f(1,6)abA.eq\f(5,9)B.eq\f(5,3)C．5 D．7解析：選C由E(X)＝eq\f(1,3)，及X的分布列，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,2)，))∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－eq\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－eq\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－eq\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq\f(5,9)＝5.5．某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0.30.3ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為________．解析：由分布列的性質(zhì)，得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射擊一次的優(yōu)秀率為40%.答案：40%6．隨機(jī)變量X的分布列為X246Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，且c＝eq\f(1,2)ab，則P(X＝2)＝________.解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,c＝\f(1,2)ab，,a＋b＋c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,7)，,b＝\f(1,3)，,c＝\f(2,21)，))則P(X＝2)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)7．一個袋子里有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取3個球恰好有2個球同色的概率為________．解析：記A＝{取出的3個球中恰好有2個白球}，B＝{取出的3個球中恰好有2個黑球}，C＝{取出的3個球中恰好有2個紅球}，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(C)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,14).A，B，C三個事件兩兩互斥，則P(取出的3個球中恰好有2個球同色)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,12)＋eq\f(3,14)＋eq\f(5,14)＝eq\f(55,84).答案：eq\f(55,84)8．(2021·邯鄲二模)小張經(jīng)常在某網(wǎng)上購物平臺消費，該平臺實行會員積分制度，每個月根據(jù)會員當(dāng)月購買實物商品和虛擬商品(充話費等)的金額分別進(jìn)行積分，詳細(xì)積分規(guī)則以及小張每個月在該平臺消費不同金額的概率如表1和表2所示，并假設(shè)購買實物商品和購買虛擬商品相互獨立．表1購買實物商品/元(0,100)[100,500)[500,1000)積分246概率eq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)表2購買虛擬商品/元(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)積分1234概率eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,6)(1)求小張一個月購買實物商品和虛擬商品均不低于100元的概率；(2)求小張一個月積分不低于8分的概率；(3)若某個月小張購買了實物商品和虛擬商品，消費均低于100元，求他這個月的積分X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)小張一個月購買實物商品不低于100元的概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，購買虛擬商品不低于100元的概率為eq\f(1,6)，因此所求概率為eq\f(3,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,8).(2)根據(jù)條件，積分不低于8分有兩種情況：①購買實物商品積分為6分，購買虛擬商品的積分為2,3,4分；②購買實物商品積分為4分，購買虛擬商品的積分為4分，故小張一個月積分不低于8分的概率為eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).(3)由條件可知X的可能取值為3,4,5.P(X＝3)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(2,5)，P(X＝4)＝P(X＝5)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(3,10)，故X的分布列為X345Peq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)E(X)＝3×eq\f(2,5)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(39,10).9．某糕點房推出一類新品蛋糕，該蛋糕的成本價為4元，售價為8元．受保質(zhì)期的影響，當(dāng)天沒有銷售完的部分只能銷毀．經(jīng)過長期的調(diào)研，統(tǒng)計了一下該新品的日需求量．現(xiàn)將近期一個月(30天)的需求量展示如下：日需求量x/個20304050天數(shù)510105(1)從這30天中任取2天，求這2天的日需求量均為40個的概率；(2)以表中的頻率作為概率，根據(jù)分布列求出該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應(yīng)的利潤的期望E(X)＝eq\f(320,3).現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn)一天45個，試列出生產(chǎn)45個時，利潤Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判斷此建議該不該被采納．解：(1)從這30天中任取2天，樣本點總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,30)，這2天的日需求量均為40個包含的樣本點個數(shù)m＝Ceq\o\al(2,10)，∴這2天的日需求量均為40個的概率P＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,30))＝eq\f(3,29).(2)由題意得，P(Y＝－20)＝eq\f(1,6)，P(Y＝60)＝eq\f(1,3)，P(Y＝140)＝eq\f(1,3)，P(Y＝180)＝eq\f(1,6)，∴Y的分布列為Y－2060140180Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)E(Y)＝－20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(1,3)＋140×eq\f(1,3)＋180×eq\f(1,6)＝eq\f(280,3).∵該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應(yīng)的利潤的期望E(X)＝eq\f(320,3)，eq\f(280,3)<eq\f(320,3)，∴此建議不該被采納．二、重點難點培優(yōu)訓(xùn)練1．一個人有n把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意地進(jìn)行試開，若試開過的鑰匙放在一旁，試過的次數(shù)X為隨機(jī)變量，則P(X＝k)＝()A.eq\f(k,n)B.eq\f(1,n)C.eq\f(k－1,n)D.eq\f(k！,n！)解析：選B∵{X＝k}表示“第k次恰好打開，前k－1次沒有打開”，∴P(X＝k)＝eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×…×eq\f(n－k－1,n－k－2)×eq\f(1,n－k－1)＝eq\f(1,n).2．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ012Paeq\f(b,2)eq\f(b,2)其中ab≠0，下列說法不正確的是()A．a(chǎn)＋b＝1B．E(ξ)＝eq\f(3b,2)C．D(ξ)隨b的增大而減小D．D(ξ)有最大值3．某商家為回饋新老顧客，在2021年的“周年慶典”中開展一系列的促銷活動，其中有一項活動是凡購物滿6888元的顧客會獲得一件贈品，顧客憑購物小票用簡單隨機(jī)抽樣方法中的抽簽法在甲、乙、丙三種贈品中隨機(jī)抽取一種贈品，現(xiàn)恰有3名顧客的購物金額滿6888元．設(shè)隨機(jī)變量ξ表示獲得贈品種類完全相同的顧客人數(shù)，則P(ξ＝3)＝________，E(ξ)＝________.解析：由題意得ξ所有可能取值為0,2,3，每個人有三種情況，所以3個人共有33＝27種情況．當(dāng)ξ＝0時，每個人選中甲、乙、丙各一種贈品，有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，所以P(ξ＝0)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)；當(dāng)ξ＝2時，即有兩人選中同一種贈品，另一個人選中另兩種中的一種贈品，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝18種情況，所以P(ξ＝2)＝eq\f(18,27)＝eq\f(2,3)；當(dāng)ξ＝3時，即三人都選擇同一種贈品，有Ceq\o\al(1,3)＝3種情況，所以P(ξ＝3)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，所以E(ξ)＝0×eq\f(2,9)＋2×eq\f(2,3)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(1,9)eq\f(5,3)4．某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度．在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果．設(shè)小孩對四種食物排出的序號依次為xA，xB，xC，xD，家長猜測的序號依次為yA，yB，yC，yD，其中xA，xB，xC，xD和yA，yB，yC，yD都是1,2,3,4四個數(shù)字的一種排列．定義隨機(jī)變量X＝(xA－yA)2＋(xB－yB)2＋(xC－yC)2＋(xD－yD)2，用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度．(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解．①求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；②求X的分布列(簡要說明方法，不用寫出詳細(xì)計算過程)；(2)若有一組小孩和家長進(jìn)行了三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足X<4，請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解，并說明理由．解：(1)①若家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，先考慮小孩的排序xAxBxCxD為1234的情況，家長的排序有Aeq\o\al(4,4)＝24種等可能結(jié)果，其中滿足“家長的排序與小孩排序?qū)?yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：2143，2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321，所以家長的排序與小孩排序?qū)?yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).若小孩對四種食物的排序是其他情況，只需將角標(biāo)A，B，C，D按照小孩的排序調(diào)整即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結(jié)果是一致的，所以他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為eq\f(3,8).②根據(jù)①的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，此時家長的排序一共有24種情況．列出所有情況，分別計算每種情況下的X的值．X的分布列如下表：X02468101214161820Peq\f(1,24)eq\f(1,8)eq\f(1,24)eq\f(