極限增長loka-volerra系統的微分解

1978年，wollkin搜索了美國華盛頓州蜘蛛與飼料的關系。當他們發現喂食誘餌的輕微變化時，他們會引起捕食者的很大變化。1973年，他們使用may模型進行了數值模擬，得到了復雜的結果，并引起了許多數學家的注意。它包括h和colling。在這個過程中，我們討論了唾液。{dx(t)dt=x(t)[R-αx(t-τ)-y(t)],dy(t)dt=y(t)[-γ+x(t)],(1)其中x(t)≥0,y(t)≥0,R,α,γ,τ都為正常數.系統(1)具有重要的生態學意義.文獻分析了τ=0時此系統平衡點的穩定性和是否出現周期閉軌行為.知道時滯τ對系統(1)的影響是非常大.文獻分析了τ=1時系統發生周期解分歧現象的條件,文獻分析了當τ=τ0=1ω0?π2時,系統發生周期解分歧現象,其中ω0=αx*+√(αx*)2+4x*y*2,x*=γ,Y*=R-αγ.以下在文獻的基礎上,利用中心流形定理和規范形理論進一步分析此系統在τ0處出現Hopf分支的方向及其穩定性.1廣義相平面中的t令?x=x(t)-x*,?y(t)=y(t)-y*,仍以x(t),y(t)代替?x(t),?y(t),則系統(1)化為{dx(t)dt=-x*[αx(t-τ)+y(t)]-[αx(t-τ)+y(t)]x(t),dy(t)dt=y*x(t)+x(t)y(t),(2)再令τ=τ0+μ,t=sτ,x(sτ)=ˉx(s),y(sτ)=ˉy(s),且仍記x(t)=ˉx(s),y(t)=ˉy(s),則系統(2)可化為{dx(t)dt=-(τ0+μ)x*[αx(t-1)+y(t)]-(τ0+μ)[αx(t-1)+y(t)]x(t),dy(t)dt=(τ0+μ)[y*x(t)+x(t)y(t)],(3)式(3)右端的線性部分為{dx(t)dt=-(τ0+μ)x*[αx(t-1)+y(t)],dy(t)dt=(τ0+μ)y*x(t),(4)式(3)右端的非線性項為f(μ,ut)=(τ0+μ)(-αxt(-1)xt(0)-xt(0)yt(0)xt(0)yt(0)),(5)其中ut(θ)=(xt(θ)yt(θ))=(x(t+θ)y(t+θ)),θ∈[-1,0].因為式(3)為泛函微分方程,需要將其轉化成抽象的常微分方程來處理.選擇如下的相平面C=C([-1,0],R2),對?(θ)=(?1(θ),?2(θ))T∈C(T表示向量或矩陣的轉置),定義算子族Lμ?=(τ0+μ)(0-x*y*0)(?1(0)?2(0))+(τ0+μ)(-αx*000)(?1(-1)?2(-1)),由Rieze表示定理,存在一個有界變差矩陣函數η(θ,μ)∶[-1,0]→R2,使得對任何?(θ)∈C([-1,0],R2)有Lμ?=∫0-1dη(θ,μ)?(θ).(6)對?∈C([-1,0],R2),定義A(μ)?={d?dθ,θ∈[-1,0)∫0-1dη(μ,s)?(s),θ=0(7)和R?={0,θ∈[-1,0)f(μ,?),θ=0(8)從而,方程(3)等價于抽象常微分方程ut=A(μ)ut+Rut.(9)2中心流形c0的局部測量對φ∈C1(,(R2)*),定義A*φ(s)={-dφds,s∈(0,1]∫0-1dηΤ(t,0)φ(-t),s=0(10)和雙線性型?φ(s),?(θ)?=-Τφ(0)?(0)∫0-1θ∫-φξ=0Τ?(ξ-θ)dη(θ)?(ξ)dξ,(11)其中η(θ)=η(θ,0),則A*是A(μ)的共軛算子.從前面的討論及變換t=sτ,易見μ=0是方程(3)的Hopf分支值,±iτ0ω0是算子A(0)的特征值,且其余的特征值皆具有嚴格的負實部.于是±iτ0ω0是算子A*的特征值.因此有引理q(θ)=q(0)eiτ0ω0θ是算子A(0)關于iτ0ω0的特征向量,q*(s)=Dq*eiτ0ω0s是算子A*關于-iτ0ω0的特征向量,而且?q*(s),q(θ)?=1,?q*(s),ˉq(θ)?=0.其中D=ω0x*[ατ0ω20x*+(ω20+x*y*)i](ατ0ω20x*)2+(ω20+x*y*)2,q(0)=(1,-iy*ω0)Τ,q*=(ω0ix*,1)Τ.證明設q(θ)是算子A(0)關于iτ0ω0的特征向量,q*(s)是算子A*關于-iτ0ω0的特征向量.當θ≠0時,由A(0)的定義,易知q(θ)=q(0)eiτ0ω0θ,其中q(0)滿足(∫0-1dη(0,s)eiτ0ω0s-iτ0ω0Ι)q(0)=0其中I為單位矩陣則q(0)=(1,-iy*ω0)Τ.同理,令q*滿足(∫0-1dηΤ(0,s)e-iτ0ω0s+iτ0ω0Ι)q*=0則q*=(ω0ix*,1)Τ=(q1,q2)Τ,取q*(s)+Dq*eiτ0ω0s,下由〈q*(s),q(θ)〉來確定D.由公式?q*(s),q(θ)?=ˉD[—q*Τq(0)-—q*Ττ0(-αx*000)e-iτ0ω0q(0)],于是,若取D=ω0x*[ατ0ω20x*+(ω20+x*y*)i](ατ0ω20x*)2+(ω20+x*y*)2,則有〈q*(s),q(θ)〉=1.同時易得?q*(s),ˉq(θ)?=0.證畢.我們采用與文獻中相同的記號,首先計算在μ=0時,描述中心流形C0的坐標.設ut是μ=0時方程(3)的解.定義z(t)=〈q*,ut〉,W(t,θ)=ut(θ)-2Re{z(t)q(θ)},(12)在中心流形C0上,有W(t,θ)=W(z(t),ˉz(t),θ),其中W(z,ˉz,θ)=W20(θ)z22+W11(θ)zˉz+W02(θ)—z22+W30(θ)z36+?,(13)z和ˉz是在q*和方—q*向中心流形C0的局部坐標.如果ut是實的,則W是實的.對ut∈C0,由于μ=0,于是有˙z(t)=?q*,˙ut?=iτ0ω0z+—q*Τ(0)f0(z,ˉz),(14)再把式(14)記成如下形式˙z(t)=iτ0ω0z(t)+g(z,ˉz),(15)其中g(z,ˉz)=g20z22+g11zˉz+g02—z22+g21z2ˉz2+?,(16)由式(12),有ut(θ)=W(t,θ)+2Re{z(t)q(θ)}=W20(θ)z22+W11(θ)zˉz+W02(θ)—z22+q(0)eiτ0ω0θz+ˉq(0)e-iτ0ω0θˉz+?,(17)利用式(5)和式(17),有g(z,ˉz)=—q*Τ(0)f0(z,ˉz)=—q*Τ(0)f(0,ut)=τ0ˉD{(-αˉq1)[W(1)(-1)W(1)(0)+W(1)(-1)z+W(1)(-1)ˉz-iW(1)(0)z-iz2-izˉz+iW(1)(0)ˉz+izˉz+i-2z]+(—q2-—q1)[W(1)(0)W(2)(0)-iy*ω0W(1)(0)z+iy*ω0W(1)(0)ˉz+zW(2)(0)+W(2)(0)ˉz-iy*ω0z2+iy*ω0-2z]},(18)其中W(θ)=(W(1)(θ),W(2)(θ))T.將式(16)和式(18)比較系數,得g20=2τ0ˉDα—q1i-2τ0ˉD(—q2-—q1)iy*ω0,g11=0,g02=-2τ0ˉDα—q1i+2τ0ˉD(—q2-—q1)iy*ω0,(*)g21=-τ0ˉDα—q1[2W(1)11(-1)+W(1)20(-1)+iW(1)20(0)-2iW(1)11(0)]+τ0ˉD(—q2-—q1)[2W(1)11(0)-iy*ω0+iy*ω0W(1)20(0)+2W(2)(11)(0)+W(2)20(0)],由于在g21中有W20(θ)和W11(θ),需要進一步計算.從式(9)和式(12),得˙W=˙ut-˙zq-˙-zˉq={AW-2Re{—q*(0)f0q(θ)},θ∈[-1,0)AW-2Re{—q*(0)f0q(θ)}+f0,θ=0=AW+Η(z,ˉz,θ),(19)其中Η(z,ˉz,θ)=Η20(θ)z22+Η11(θ)zˉz+Η02(θ)—z22+?,(20)經計算得W20(θ)=ig20τ0ω0q(0)eiτ0ω0θ+iˉg023τ0ω0ˉq(0)e-iτ0ω0θ+E1e2iτ0ω0θ,W11(θ)=ig11τ0ω0q(0)eiτ0ω0θ+iˉg11τ0ω0ˉq(0)e-iτ0ω0θ+E2,E1=(E(1)1,E(2)2)T,E2=(0,0)T其中E(1)1=4ω0y*-4αω20-2x*y*iω0(x*y*+4ω20+2αx*ω0i),E(2)1=y*(2y*-2αω0-2αx*)i-4ω0y*ω0(x*y*+4ω20+2αx*ω0i),分別將E1,E2代入W20(θ)和W11(θ)中,再將W20(θ)和W11(θ)代入g21中,便可得到g21.從上面的分析的過程中可知式(*)中的gij被方程(3)中的參數和時滯決定.因此,就能計算反映方程(1)的Hopf分支性質的以下公式c1(0)=i2τ0ω0(g11g20-2|g11|2-|g02|23)+g212,μ2=-Re(c1(0))η′(τ0),β2=2Re(c1(0)).由文獻知η′(τ0)>0,再由文獻的Hopf分支理論,我們有下面的性質:性質系統(1.1)在平衡點處發生Hopf分支,并且在μ=0的小鄰域內至少產生一個周期軌.μ=0是其Hopf分支值.當Re(g21)>0時,其Hopf分支是不穩定的下臨界Hopf分支;當Re(g21)<0時,其Hopf分支是穩定的上臨界Ho