函數思想在方程中的應用

函數思維是指分析、轉換和解決問題，用函數的概念和性質來解決問題。函數思想是數學思想的重要組成部分,在高中數學中起到橫向聯系和紐帶聯結的主干作用。函數思想的運用,就是根據提出問題的數學特征,構建一個相應的函數關系型的數學模型,用函數知識去解決問題。下面簡單介紹一下運用函數思想來解決方程、不等式、數列、參數的取值范圍等問題。一、單元類型a型函數與方程既是兩個不同的概念,又存在著密切的聯系。一個函數若能用一個解析式表達,則這個表達式就可看成一個方程;一個二元方程的兩個未知數間存在著對應關系,如果這個對應關系是單值的,那么這個方程也可以看成一個函數。一個方程的兩端可以分別看成函數,方程的解就是這兩個函數圖象交點的橫坐標。因此,許多有關方程的問題都可用函數思想來解決。【例1】求證:不論a取什么實數,方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有兩個不相等的實根。分析:此題若用常規解法,求出判別式△是一個關于a的一元四次多項式,符號不易判斷。若用函數思想去分析題意,即設函數f(x)=x2-(a2+a)x+a-2,要證明命題成立,只需證明函數y=f(x)的圖象與x軸有兩個交點,由于它的開口向上,只要找到一個實數x0,使f(x0)<0即可。比如f(1)=1-(a2+a)+a-2=-a2-1<0。故函數y=f(x)的圖象與x軸有兩個交點,因此命題成立。【例2】已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β,證明:(I)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;(II)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2;(93年全國理)分析:本題表面上看是方程問題,方程的根的分布與參數a,b之間滿足的關系式,如果用純方程理論處理則十分繁瑣,如果用函數思想來分析,將方程根的分布問題轉化為函數圖像與x軸交點問題,就可輕易解決。解:本題(I)(II)的結果是可設函數f(x)=x2+ax+b(I)由二次函數的圖像知且│b│=│α·β│<4(Ⅱ)由可知α、β在(-2,2)之內或在(-2,2)之外,若α,β在(-2,2)之外,則|αβ|=b>4,這與|b|<4相矛盾,故α,β∈(-2,2)。二、函數有界性分析【例4】已知a、b、x、y都是實數,且a2+b2=1,x2+y2=1,求證:ax+by≤1分析:已知條件中有平方和等于1,可聯想正、余弦之間的平方關系,利用函數的有界性進行證明。證明:∵a2+b2=1,x2+y2=1∴可設a=sinα,b=cosα,x=sinβ,y=cosβ則有ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β)≤1∴ax+by≤1三、生成目標函數數列可以看作是一個定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1,2......n})的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值,而數列的通項公式也就是相應函數的解析式。因此,有些數列的問題可用函數思想來解決。【例5】在等差數列中,前n項為Sn,已知Sp=q,Sq=p(p、q∈N*且p≠q),求Sp+q分析:本題的常規解法是用求和公式建立方程組,求出a1和d,進而求出Sp+q,但計算十分繁瑣。若考慮到等差數列的前n項和是關于n的二次函數,且無常數項。故可考慮建立目標函數Sn=an2+bn(a,b為待定系數),可優化解題過程。解:設Sn=an2+bn(a,b為待定系數),則(1)-(2)整理得(p-q)[a(p+q)+b)]=-(p-q)∵p≠q即p-q≠0∴a(p+q)+b=-1又∵Sp+q=a(p+q)2+b(p+q)=(p+q)[a(p+q)+b]=-(p+q)∴Sp+q=-(p+q)四、參數或變量的范圍用函數思想來確定(一)x的解析問題【例6】若不等式2x-1>m(x2-1)對|m|≤2的所有m均成立,求x的取值范圍。分析:由于思維定勢,易把它看成關于x的不等式進行討論,問題就比較復雜。然而,若變換一個角度,以m為變量,構造關于m的一次函數f(m)=m(x2-1)-2x+1在[-2,2]上f(m)<0恒成立,問題就簡單得多。解:構造關于m的一次函數f(m)=m(x2-1)-2x+1,則由f(m)<0對m∈[-2,2]恒成立得∴x的取值范圍是(二)bx0222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222【例7】已知實數a,b,c,d,滿足a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求a的取值范圍。解:構造關于x的二次函數f(x)=(x-b)2+(x-c)2+(x-d)2=3x2-2(b+c+d)x+(b2+c2+d2)∵f(x)≥0∴△≤0即4(b+c+d)2-12(b2+c2+d2)≤0,亦即4(5-a)2-12(7-a2)≤0∴2a2-5a+2≤0∴1/2≤a≤2∴a的取值范圍為[1/2,2]總之,函數知識涉及的知識點多、面廣,在概念性、理解性、應用性都有一定的要求,在解題時,要善于對所給的問題仔細觀察、深入分析,挖掘題目中的隱含條件,構造出函數解析式和妙用函數的性質去解決問題。【例3】設a,b