如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!空間向量在立體幾何探索性問題中的應用——福建晉江養正中學林巧紅摘要：“空間向量與立體幾何”這一章是數學必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數學必修2“立體幾何初步”的延續，空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。關鍵詞：空間向量，立體幾何，平行垂直，角，距離，探索性問題立體幾何中，平行、垂直、距離和角的問題是主要問題，而以它們為背景的探索性問題是近年來高考數學命題創新的一個顯著特點，既能夠考查學生的空間想象能力，又可以考查學生的意志力及探究的能力．一般此類立體幾何問題描述的是動態的過程，結果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價變換，而向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，是聯系幾何與代數的橋梁。用空間向量處理空間幾何問題，它的實質是將綜合推理轉化為代數運算，建立“由形到形，由形到數，由數到形”的新方法，即在計算或證明立體幾何問題時，因地制宜的建立空間直角坐標系，把圖形中的相關點用坐標表示，相關的線段用空間向量表示（它的很多原理都與平面向量相似），從而將空間問題用坐標運算求解，可以避免較為復雜的空間想象，本文以一道題為例，將“空間向量”在解決立體幾何探索性問題中的作用作初步探討：C1A1B1BADED1如圖C1A1B1BADED1（1）在棱上是否存在一點F，使∥面。（2）在平面內是否存在一點M，使AM平面。（3）在棱上是否存在一點N，使BN與平面所成角的正弦值為。（4）在棱上是否存在一點P，使點P到平面的距離為。分析：本題以正方體為載體，分別考察了以線面平行，線面垂直，線面角，點面距離為背景的探索性問題。在解決立體幾何探索性問題的過程中，利用傳統方法計算時，發現學生要么毫無頭緒而選擇放棄，要么出C1A1C1A1B1BADED1FGC解法一，先猜點F為線段的中點，然后把點F為線段的中點作為已知條件，證明∥面如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如第一問的解法：F為線段的中點，連接EF，取線段的中點G，連接EG∵EF∥且 EF=，∥且=∴EF∥且 EF=，C1A1B1BADC1A1B1BADED1FCK又∵面，∴∥面H點評：混淆充分性與必要性，這種解法是解決了必要性問題，而不是充分性問題，解法是錯誤的。H解法二：采用綜合推理的計算方法如第一問的解法：取的中點H，BC的中點K，連接FH，，EK，DK，∵EH∥∥且EH==，∴EH∥且EH=∴四邊形為平行四邊形，∴∥又∵面，∴∥面又，∥面，∴面∥面，∴∥面又EK∥∥，∴平面與平面表示同一個平面又平面平面∴∥EK，又E，K，H分別是線段的中點所以點F是線段的中點點評：要充分挖掘題目所提供的已知條件，做到看到已知想性質，做輔助線，要求比較高，步驟比較繁瑣點，經常會出現跳步，該寫沒寫而被扣分。若能注意到該題是以正方體為載體，這樣就可以建立空間直角坐標系，建立空間直角坐標系后，標出點的坐標，終點坐標減去起點坐標，向量坐標也就順勢而成。建系如圖所示：zC1A1B1BADED1zC1A1B1BADED1Fy設xx如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!所以當F是的中點時，∥面法二：直線的方向向量與平面的法向量垂直設平面的一個法向量則即取所以當F是的中點時，∥面點評：利用向量法探究線面平行，只須將這條直線的方向向量用平面內兩個不共線的向量來線性表示或轉化為直線的方向向量與平面的法向量垂直來處理，再說明這條直線不在已知平面上。C1A1B1BC1A1B1BADED1Mzyxyx設即所以當M是的中點時，AM平面法二：直線AM的方向向量與平面的法向量平行如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!，，∥即所以當M是的中點時，AM平面z點評：用向量方法探究線線垂直、線面垂直，就是利用這條直線的方向向量與平面內的兩個不共線的向量垂直或利用這條直線的方向向量與平面的法向量共線即可。zC1A1B1BC1A1B1BADED1N，,y設yx,x設BN與平面所成角為則=又所以當時，BN與平面所成角的正弦值為點評：異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角是立體幾何中空間角的三種類型。傳統綜合推理法的三步是“作—證—算”，但作這幾個角的過程對空間想象能力和邏輯推理能力的要求比較高，而利用向量法解此類問題就可以避開抽象、復雜地尋找角的過程。只要能夠熟練應用公式，就可以避煩就簡，從而順利地解決問題。C1A1B1C1A1B1BADD1EP設，點P到平面的距離為=又所以所以當，點P到平面的距離為。點評：立體幾何中的點面距離可由公式解決，其中向量為平面的法向量，向量為平面外一點點與面上任一點所構成的向量。線面距離和面面距離都可以轉化為點面距離來處理。如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!總之，利用空間向量可以融“作”“證”“算”為一體，將立體幾何問題模式化，從而找到一條很簡潔的解決立體幾何問題的途徑。對于立體幾何的