專題10模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點(diǎn)的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】 1【類型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】 8【類型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】 17【典型例題】【類型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與是等邊三角形，連接、，有以下結(jié)論：（）；（）；（）；（）；（）無(wú)論如何改變的度數(shù)，與始終全等．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．2．（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，、都是等邊三角形，、交于點(diǎn)M，、交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，連接，下列說法正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．①；②；③；④；⑤若，則．

3．（2021春·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知圖1是邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)等邊三角形紙片和三角形疊放在一起（C與重合）的圖形．

(1)將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．如圖2：在圖2中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)若將上圖中的，繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，連接、，如圖3：在圖3中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：(3)根據(jù)上面的操作過程，請(qǐng)你猜想當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，最小是多少？請(qǐng)直接寫出答案．【類型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】例題：（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)【探究】：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，則的長(zhǎng)是________．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖，與均為等腰直角三角形，，寫出線段、的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，，在同一直線上，為中邊上的高，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系_________________________．（3）解決問題：如圖，已知中，，，，以為直角邊作等腰直角，，，連接，則的長(zhǎng)為_________________________．2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）感知：如圖①，和△ADE都是等腰直角三角形，，點(diǎn)B在線段上，點(diǎn)C在線段上，我們很容易得到，不需證明．(1)探究：如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（），連接和，此時(shí)是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由．(2)應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上，連接．求：①的度數(shù)；②若，，則線段的長(zhǎng)是多少？3．（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，與△ADE均為等腰直角三角形，且，，其中，繞著A點(diǎn)逆時(shí)針進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，連接，．

(1)若△ADE旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，求證：；(2)若△ADE旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，發(fā)現(xiàn)B，D，E三點(diǎn)恰好共線，證明：；(3)若△ADE旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，線段恰好垂直于，此時(shí)的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好為中點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．【類型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】例題：（2023春·山東泰安·七年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，與都是等腰三角形，相交于點(diǎn)．

(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由．2．（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接．容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為___________；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為___________；【類比探究】（2）如圖2，和△ADE均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，點(diǎn)P是等邊外一點(diǎn)，，，，則___________．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的