考點14直線與圓的位置關系的7大題型方法歸類1直線與圓的位置關系的判斷方法（1）只有當直線與圓相切時，直線與圓的公共點才稱為切點；(2)判斷直線和圓的位置關系，可以通過公共點的個數判斷，若不知道公共點的個數，就需要轉化為比較圓心到直線的距離與半徑的大小關系。設的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關系如下表位置關系圖形定義性質及判定相離直線與圓沒有公共點直線與相離相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線直線與相交2切線的判定定理和輔助線的作法圓的切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。作輔助線判定圓的切線的常用方法：①有交點，連半徑，證重直；②無交點，作垂直，證半徑。利用圓的切線的判定定理判定切線時，把握兩個要素：一是經過半徑的外端點，二是垂直于這條半徑.這兩者缺一不可。3切線的性質定理（1）圓的切線垂直于過切點的半徑.（2）切線的主要性質：A切線和圓只有一個公共點；B圓心到切線的距離等于圓的半徑；C切線垂直于過切點的半徑；D經過圓心垂直于切線的直線必過切點；E經過切點垂直于切線的直線必過圓心切線的性質C、D、E可歸納如下：對于如下三個結論：①過圓心，②過切點，③垂直于切線，若直線滿足這三個結論中的任意兩個，便可得到第三個結論。注：如果直線上一個點到圓心的距離等于圓的半徑，那么這條直線與圓可能相切也可能相交。4切線長定理進行幾何計算或證明的方法1.切線長經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長。2切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。注：(1)圓的切線一般指的是直線，而切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長度；切線長定理可以通過判定直角三角形全等的判定定理“HL”進行證明。利用切線長定理進行幾何計算或證明：先構建切線長定理的基本圖形，再利用切線長相等這一性質進行等量轉化，或利用切線長定理中所隱含的等腰三角形、垂直平分線等條件來進行計算或證明.5直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系的求法設直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,r為其內切圓的半徑長，若利用切線長定理推導，則r=(a+b-c)/2;若利用等面積法推導，則r=aba6三角形內切圓概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內心和外心的區別：外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點即為外接圓圓心。性質：外接圓圓心到三角形三個頂點距離相等。內切圓圓心：三角形三個內角平分線的交點。作法：做三角形三角的角平分線，取交點即為內接圓圓心。性質：內接圓圓心到三角形三邊距離相離。直角三角形三邊和內切圓半徑之間的關系：7圓的綜合問題考點1直線與圓的位置關系的判斷方法考點2切線的判定定理和輔助線的作法考點3切線的性質定理考點4切線長定理進行幾何計算或證明的方法考點5直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系考點6三角形內切圓考點7圓的綜合問題考點1直線與圓的位置關系的判斷方法1．（2023秋·九年級課時練習）已知的半徑為是直線上的三個點，點到圓心的距離分別為，，則直線和的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【分析】可判斷圓心到直線l的距離小于半徑，從而得出結果．【詳解】解：∵點A到圓心O的距離為，∴圓O到直線的距離，∴，∴直線l和的位置是相交，故選：A．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系與數量之間的關系，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．2．（2023春·廣東惠州·九年級校考開學考試）如圖，，為上一點，且，以點為圓心，半徑為3的圓與的位置關系是（

）

A．相離 B．相交 C．相切 D．以上三種情況均有可能【答案】C【分析】過點P作于點C，根據直角三角形的性質，可得，再由直線與圓的位置，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作于點C，

∵，，∴，∵以點為圓心的圓的半徑為3，∴以點為圓心，半徑為3的圓與的位置關系是相切．故選：C【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，熟練掌握直線與圓的位置關系是解題的關鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）中，，，，若以點C為圓心，以r為半徑的圓與所在直線相交，則r可能為（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】D【分析】根據題意畫出圖形，利用勾股定理求出，再利用面積法求出的長，即可得到答案．【詳解】解：如圖，中，，，，∴，∵，∴，∴當時，以點C為圓心r為半徑的圓與所在直線相交，故選：D．．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形的面積法求斜邊上的高線，直線與圓的位置關系，理解以點C為圓心r為半徑的圓與所在直線相交先求出最短距離進行判斷是解題的關鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）設⊙O的直徑為m，直線l與⊙O相離，點O到直線l的距離為d，則d與m的關系是（）A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m【答案】C【分析】根據直線和圓相離，則圓心到直線的距離大于半徑，得2d＞m．【詳解】解：∵⊙O的直徑為m，點O到直線L的距離為d，直線L與⊙O相離，∴d＞，即2d＞m，故選：C．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，解決本題的關鍵是掌握直線與圓的位置關系的性質．5．（2022春·九年級課時練習）已知的半徑為5，直線與有交點，則圓心到直線的距離可能為（

）．A．4.5 B．5.5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據直線AB和⊙O有公共點可知：d≤r進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，直線AB與⊙O有公共點，∴圓心O到直線AB的距離0＜d≤5．故選：A．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．考點2切線的判定定理和輔助線的作法6．（2023·江蘇鎮江·鎮江市外國語學校校考一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，的頂點A、B、C均落在格點上．(1)的周長為______．(2)請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺在上確定一點，使以點為圓心，以為半徑的與相切．（保留作圖痕跡）【答案】(1)12(2)見解析【分析】（1）根據勾股定理求出，根據三角形的周長公式計算即可；（2）根據等腰三角形的性質、角平分線的性質、切線的判定定理作圖即可．【詳解】（1）解：由勾股定理得：，則的周長，故答案為：12；（2）延長至，使，連接，取的中點，連接交于點，則點即為所求．【點睛】本題考查的是勾股定理、切線的判定定理、角平分線的性質、等腰三角形的性質，掌握切線的判定定理是解題的關鍵．7．（2023秋·九年級課時練習）如圖，已知內接于，是的直徑，的平分線交于點，連接，作，交的延長線于點．求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】連接，利用圓周角定理可得，利用角平分線的性質及等量代換可得，利用等邊對等角性質可得，進而可得，進而可求證結論．【詳解】證明：連接，如圖所示：

是的直徑，，即，平分，，，，，，，，即，，又是的半徑，是的切線．【點睛】本題考查了圓周角定理、角平分線的性質、切線的判定，熟練掌握其基礎知識是解題的關鍵．8．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，的半徑為3．求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】先作，根據等腰三角形的性質和勾股定理求出，進而得出答案.【詳解】證明：如圖，過O作于C，∵，，∴，在中，，∵的半徑為3，∴為的半徑，∴是的切線．

【點睛】本題主要考查了切線的判定，理解切線的定義是解題的關鍵．9．（2023秋·九年級課時練習）如圖，以等邊三角形的邊為直徑畫，交于點于點．求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】連接，根據等邊三角形和等腰三角形的性質證明，推出，進而可得結論．【詳解】證明：連接．是等邊三角形，．又，，．，，又是的半徑，是的切線．

【點睛】本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質、圓的切線的判定和平行線的判定和性質，熟練掌握相關圖形的性質定理是解題的關鍵．10．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的外接圓，是的直徑，．(1)求證：是的切線；(2)若，垂足為交于點；求證：是等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，由是的直徑得到，進一步得到，再根據已知條件，且即可證明進而求解；（2）證明，再由，得到，進而得到，得到，進而得到為等腰三角形．【詳解】（1）證明：連接，，，為圓的直徑，，，又，，，又點在圓上，是的切線；（2）證明：，，，，，又，，是等腰三角形．【點睛】本題考查了圓的切線的判定定理，圓周角定理，等腰三角形的性質和判定等，熟練掌握性質或定理是解決此類題的關鍵．考點3切線的性質定理11．（2023春·河北唐山·九年級統考開學考試）如圖，點O為線段的中點，點C為線段上一點（不與O，A重合），以點O為圓心，為半徑作圓O交線段于點D、，，，連接．

(1)求證：；(2)當與圓O相切時，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）證明，由全等三角形的性質即可證明；（2）由切線的性質得出，求出，由全等三角形的性質可得出，則可求出答案．【詳解】（1）證明：∵為的中點，，，∵，，∵，，∴，；（2）解：如圖，∵與圓相切，，，∵，，，∵，，，．【點睛】本題考查了切線的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點及運用數形結合思想是解題的關鍵．12．（2023·陜西寶雞·統考二模）如圖，內接于，是的直徑，過點作的切線，連接，過點O作，垂足為，交于點．

(1)求證：；(2)若點到的距離為，，求直徑的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（）先根據切線的性質得到，然后根據等角的余角相等得到結論；（）過點作于點，則，利用得到，在中利用正切的定義可求出，然后利用勾股定理可求出，從而得到的長．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴；（2）如圖，過點作于點，則，

∵，，∴，∴在中，，，∴，∴直徑的長為．【點睛】此題考查了切線的性質，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握圓的切線的性質及其應用．13．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學校聯考期末）如圖，為的直徑，為上一點．有下列三個條件：①直線是的切線；②于點；③平分，請在上述三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論構成一個真命題，并給出證明．

【答案】見解析．【分析】連接，證明，即可證明．【詳解】題設：①直線是的切線；③平分；結論：②于點，證明：如圖，連接，

，，平分，，，∴直線是的切線，，，，．【點睛】本題考查了圓的切線的性質，掌握過切點的半徑與切線垂直及平行線的性質是解題的關鍵．14．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學校考期末）如圖，，是的切線，A，B為切點，是⊙O的直徑，，求的度數．【答案】【分析】首先根據切線的性質和切線長定理得到，，然后根據直角三角形的性質得到，最后根據三角形內角和定理得到．【詳解】解：∵，是的切線，A，B為切點，∴，，∴，∴．【點睛】此題考查了切線的性質和切線長定理，三角形內角和定理，等腰三角形性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．15．（2022秋·廣東廣州·九年級中山大學附屬中學校考期中）如圖，是的外接圓，是的直徑，點D在上，，連接，延長交過點C的切線于點E．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據等弦對等弧，得到弧等于弧，再根據等弧所對的圓周角相等，即可得證；（2）連接，根據切線的性質可得：，再根據圓內接四邊形的外角等于內對角，以及，得到：，進而得到：，即可得證．【詳解】（1）證明：∵是的外接圓，點D在上，，∴，∴；（2）證明：連接，則：，∴，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等弦對等弧，圓周角定理，切線的性質，以及圓內接四邊形．熟練掌握等弧所對的圓周角相等，以及圓內接四邊形的外角等于內對角，是解題的關鍵．考點4切線長定理進行幾何計算或證明的方法16．（2018春·九年級單元測試）如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的長．【答案】AF=4,BD=9,CE=5.【分析】根據切線的性質定理列三元一次方程組可得AF、BD、CF的長.【詳解】解：∵⊙O是△ABC的內切圓，∴AE=AF（設為x），BD=BF（設為y），CD=CE（設為z），又∵AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，∴，由①+②+③得：2（x+y+z）=36，∴x+y+z=18④，由④﹣①得z=5；由④﹣②得x=4；由④﹣③得y=9；∴

AF=4,BD=9,CE=5.【點睛】該命題主要考查了三角形的內切圓及其性質的應用問題;解題的關鍵是靈活運用切線的性質列方程組求出相關線段長.17．（2022秋·重慶長壽·九年級統考期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．（1）求證：BC=CD；

（2）求證：∠ADE=∠ABD；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，∴OB⊥BC∵OB是⊙O的半徑，∴CB為⊙O的切線．又∵CD切⊙O于點D，∴BC=CD；（2）證明：∵BE是⊙O的直徑，∴∠BDE=90°．∴∠ADE+∠CDB=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．由（1）得BC=CD，∴∠CDB=∠CBD∴∠ADE=∠ABD；考點：切線的判定與性質．18．（2023·河南周口·校聯考三模）如圖，點是以為直徑的外一點，點是上一點，是的切線，，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；(2)若，的半徑為，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明是的切線．根據是的切線，可得，進而證明，等量代換可得，即可得證；（2）根據，可得四邊形是正方形，則是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接．為的直徑，．，是的切線．是的切線，，．，，，，，點是的中點．

（2）解：若，由()得，四邊形是正方形，是等腰直角三角形．半徑為，，，．【點睛】本題考查了切線的性質與判定，切線長定理，勾股定理，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．19．（2023·浙江湖州·統考模擬預測）已知：為的直徑，，弦，直線與相交于點C，弦在上運動且保持長度不變，的切線交于點F．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，當點E運動至與點B重合時，試判斷與是否相等，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)相等，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接，證得是等邊三角形，進一步證得即可證得結論；（2）根據切線的性質以及等腰三角形的性質即可證得結論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴和是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：與相等，理由如下：如圖2，點E運動至與點B重合時，是的切線，∵的切線交于點F，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的性質、切線長定理、平行線的性質、等邊三角形的判定、等腰三角形的判定和性質．作出輔助線構建等邊三角形是解題的關鍵．20．（2022春·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD內接于，AB是的直徑，過點D作的切線交BC的延長線于點E，交BA的延長線于點F，且，過點A作的切線交EF于點G，連接AC．(1)求證：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求線段DE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據切線長定理得到GA＝GD，則∠GAD＝∠GDA，根據圓周角定理推出AC∥DE，則∠CAD＝∠GDA，進而得到∠GAD＝∠CAD，據此即可得解；（2）連接OD，交AC于點H，根據切線的性質、平行線的性質推出OH是△ABC的中位線，AH＝CH＝AC，則OH＝BC，設OH＝x，則DH＝?x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根據矩形的性質即可得解．【詳解】（1）證明：∵GA、GD是⊙O的切線，∴GA＝GD，∴∠GAD＝∠GDA，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BE，∵DE⊥BE，∴AC∥DE，∴∠CAD＝∠GDA，∴∠GAD＝∠CAD，∴AD平分∠GAC；（2）解：連接OD，交AC于點H，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，由（1）知，AC∥DE，∴OD⊥AC，∴AH＝CH＝AC，∠AHD＝∠CHD＝90°，∵OA＝OB，∴OH是△ABC的中位線，∴OH＝BC，∵AB＝9，∴OD＝，設OH＝x，則DH＝?x，BC＝2x，∴，∴，∴，∵，AD＝5，∴，∴x＝，∴AH＝，∵∠HCE＝180°?∠ACB＝90°＝∠ODE＝∠CHD，∴四邊形CHDE是矩形，∴DE＝CH＝AH＝．【點睛】此題考查了切線長定理、切線的判定與性質，熟記切線的判定定理與性質定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵．考點5直角三角形周長、面積與三角形內切圓的關系21．（2022秋·內蒙古鄂爾多斯·九年級統考期末）如圖，在中，，⊙是的內切圓，半徑為，切點為、、，連接，，．(1)若，，則

；(2)若的周長為，面積為，則，，之間有什么數量關系，并說明理由．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據等面積法即可得出結論；（2）根據，結合，即可得到，，之間數量關系．【詳解】（1）連接、、，∵∴在中，∵，，∴又∵，代入①得：（2）∵，代入①得，∴，，之間數量關系為【點睛】本題考查了用等面積法求三角形的內切圓半徑，三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角等，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．22．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，中，的長分別為．求的內切圓半徑r．【答案】r＝【分析】連接OA，OB，OC，設OO與AB，BC，CA的切點分別為點D，E，F，連接OD，OE，OF，然后結合三角形面積進行分析求解．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，OC，設OO與AB，BC，CA的切點分別為點D，E，F，連接OD，OE，OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝AB·r＋BC·r＋AC·r＝r(AB＋BC＋AC)＝r(a＋b＋c)．又∵S△ABC＝·AC·BC＝ab，∴r·(a＋b＋c)＝ab，∴r＝【點睛】此題考查了內切圓的性質、以及直角三角形的性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．23．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知，在以為弦的弓形劣弧上取一點（不包括，兩點），以為圓心作圓和相切，分別過，作的切線，兩條切線相交于點．求證：為定值．【答案】見解析【分析】連接，，由題意得：是內心，進而得到平分、平分，然后由三角形內角和定理即可證明結論．【詳解】證明：連接，，由題意得：是內心，平分，平分，，，，，∵中，，所在圓是個定圓，弦和半徑都是定值，為定值，為定值．【點睛】本題主要考查了三角形的內切圓、三角形內角和定理等知識點，熟練掌握三角形內切圓的定義是解題的關鍵．24．（2023秋·天津津南·九年級統考期末）如圖，的內切圓與、、分別相切于點、、．

(1)若，，求的度數；(2)若，，，求的長．【答案】(1)∠BOC=117.5°(2)AF＝6【分析】（1）根據三角形的內心是角平分線的交點，利用三角形內角和可求度數；（2）設，，，根據切線長定理，構建方程組解決問題即可．【詳解】（1）解：（1）的內切圓與、、分別相切于點、、，，，∵，，；（2）是的內切圓，，，，設，，，又，，，，解得，；【點睛】本題考查三角形的內切圓，三角形內角和定理，切線的性質，解三元一次方程組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．25．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）如圖，已知內接于，且是的直徑，

(1)實踐與操作：請用尺規作圖法作出的內心I；（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)推理與計算：連接并延長，與交于另一點D．若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）因為的內心I是角平分線的交點，所以作出任意兩個角的平分線即可；（2）根據是的直徑，，，得，然后根據勾股定理求出，再根據角的等量代換得，即可求的長．【詳解】（1）解：如圖1，點I為所求，

（2）解：如圖2，連接，，，

∵是的直徑，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，，∴，∵，，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查的是的內心I以及圓的基本性質、勾股定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質等知識內容，正確掌握的內心I是角平分線的交點以及圓的基本性質是解題的關鍵．考點6三角形內切圓26．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖內接于，，是的直徑，點是延長線上一點，且，．

(1)求證：是的切線；(2)求的直徑；(3)當點B在下方運動時，直接寫出內心的運動路線長是．【答案】(1)見解析(2)6(3)【分析】（1）分別求出，，即可得，從而證明是的切線；（2）由（1）可知，，則，即可求圓的直徑是6；（3）設的內切圓圓心為，連接，，，根據內心的性質可得，因此可知點在以為弦，弦所對的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，再由，可知點在圓上，連接，可得是等邊三角形，則，當點與點重合時，，所以內心的運動路線長．【詳解】（1）解：證明：連接，，

是圓的直徑，，，，，是等邊三角形，，，，，，，點在圓上，是的切線；（2）由（1）可知，，，，，，，，圓的直徑是6；（3）設的內切圓圓心為，連接，，，

，，是的平分線，是的平分線，，，由（2）可知，，點在以為弦，弦所對的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，，，，點在圓上，連接，，，是等邊三角形，，當點與點重合時，，內心的運動路線長，故答案為：．【點睛】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握三角形外接圓的性質，切線的判定及性質，三角形內切圓的性質，四點共圓的判定，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，圓的弧長公式是解題的關鍵．27．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，I是的內心，的延長線交的外接圓于點D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點D是的外心．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據三角形內心的定義得，再由圓周角與弧之間的關系即可得證；（2）連接，證出即可得證；（3）連接，，，證出即可得證．【詳解】（1）證明：點I是的內心，平分，，，，．（2）證明：如圖，連接，點I是的內心，平分，平分，，又，，，，，．（3）證明：如圖，連接，，，，．，∴點D是的外心．【點睛】本題考查了三角形內心和外心的定義，圓的基本性質中圓周角與弧之間的關系等，理解定義，掌握圓的基本性質，根據題意作出輔助線是解題的關鍵.28．（2022秋·山東日照·九年級日照市新營中學校考期中）如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為，腰長為．(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：(2)用一個圓完整覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少？(3)求這塊等腰三角形鋼板的內心與外心之間距離．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由于三角形是等腰三角形，過作于，根據勾股定理得到，又從這塊鋼板上截得的最大圓就是三角形的內切圓，根據內切圓的圓心的性質知道其圓心在上，分別連接，然后利用三角形的面積公式即可求解；(2)由于一個圓完整覆蓋這塊鋼板，那么這個圓是三個三角形的外接圓，設覆蓋圓的半徑為，根據垂徑定理和勾股定理即可求解(3)根據(1)和(2)再利用線段之間的等量關系即可求得．【詳解】（1）解：如圖，過作于∵根據等腰三角形和圓的對稱性可得：A、O、D三點共線∴，∴設最大圓半徑為，則，∴解得：；（2）設覆蓋圓的半徑為，圓心為，∵是等腰三角形，過作于，∴，∴在直線上，連接，在中，由，∴；若以長為半徑為，也可以覆蓋，∴最小為．（3）如圖，即為內心與外心的距離．，，故這個等腰三角形的內心與外心的距離為．【點睛】此題分別考查了三角形的外接圓與外心、內切圓與內心、等腰三角形的性質以及勾股定理，綜合性較強，解題的關鍵是熟練掌握外心與內心的性質與等腰三角形的特殊性．29．（2022春·四川廣安·九年級專題練習）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D，連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求證：直線DM是⊙O的切線；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD長．【答案】（1）見解析；（2）DB＝.【分析】（1）根據垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC，再根據∠BDM＝∠DBC，即可判定BC∥DM，進而得到OD⊥DM，據此可得直線DM是⊙O的切線；（2）根據三角形內心的定義以及圓周角定理，得到∠BED＝∠EBD，即可得出DB＝DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2＝DF?DA，據此解答即可．【詳解】（1）如圖所示，連接OD，∵點E是△ABC的內心，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，又∵OD為⊙O半徑，∴直線DM是⊙O的切線；（2），∴∠DBF＝∠DAB，又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴=，即DB2＝DF?DA，∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7∴DB2＝DF?DA＝14∴DB＝．【點睛】本題主要考查了三角形的內心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應用，解題時注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．30．（2021·九年級課時練習）已知：如圖，⊙O內切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的長．【答案】BC、AC的長分別是10cm、cm.【分析】先根據O內切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根據∠ACB=90°，得出∠BCO=45°，再根據三角形內角和定理得出∠OBC的度數，從而求出∠ABC和∠A的度數，即可求出BC的長，再根據勾股定理即可求出AC．【詳解】解：∵圓O內切于△ABC，∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠BCO=×90°=45°，∵∠BOC=105°，∴∠CBO=180°?45°?105°=30°，∴∠ABC=2∠CBO=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=×20=10cm，∴AC=∴BC、AC的長分別是10cm、cm.【點睛】本題考查的知識點是三角形的內切圓與內心，解題的關鍵是熟練的掌握三角形的內切圓與內心.考點7圓的綜合問題31．（2022·天津·統考中考真題）已知為的直徑，，C為上一點，連接．(1)如圖①，若C為的中點，求的大小和的長；(2)如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點D作的切線，與的延長線相交于點F，求的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由圓周角定理得，由C為的中點，得，從而，即可求得的度數，通過勾股定理即可求得AC的長度；（2）證明四邊形為矩形，FD=CE=CB，由勾股定理求得BC的長，即可得出答案．【詳解】（1）∵為的直徑，∴，由C為的中點，得，∴，得，在中，，∴；根據勾股定理，有，又，得，∴；（2）∵是的切線，∴，即，∵，垂足為E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四邊形為矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的性質，等腰直角三角形的性質，垂徑定理，勾股定理和矩形的判定和性質等，解題的關鍵是利用數形結合的思想解答此題．32．（2022·安徽·統考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據直角三角形的性質（在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半）及勾股定理可求出OD，進而求出AD的長；（2）根據切線的性質可得OCCD，根據同一個圓的半徑相等及等腰三角形的性質可得∠OCA=∠OAC，由各個角之間的關系以及等量代換可得答案．【詳解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30∴CD=2?OC=2∴∴（2）證明：∵DC與⊙O相切∴OCCD即∠ACD+∠OCA=90∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∵∠ACD=∠ACE∴∠OAC+∠ACE=90∴∠AEC=90∴CEAB【點睛】本題考查切線的性質，直角三角形的性質，勾股定理以及等腰三角形的性質，掌握相關性質定理是解題的關鍵．33．（2021·遼寧錦州·統考中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于