專題04統計（精講）知識梳理一數據的收集1．總體與樣本(1)總體與樣本的概念：考察問題涉及的對象的全體是總體，總體中每個對象都是個體，抽取的部分對象組成總體的一個樣本，一個樣本中包含的個體數目是樣本容量(2)普查與抽樣的概念：一般地，對總體中每個個體都進行考查地方法稱為普查（也稱為全面調查），只抽取樣本進行考查的方法稱為抽樣調查。2．簡單隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣的定義：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N），如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本.(2)簡單隨機抽樣必須具備下列特點：=1\*GB3①簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數N是有限的.=2\*GB3②簡單隨機樣本數n小于等于樣本總體的個數N.=3\*GB3③簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的.=4\*GB3④簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣.=5\*GB3⑤簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為.常見的簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數表法.(3)抽簽法的定義.一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.(4)抽簽法的一般步驟：=1\*GB3①將總體中的N個個體編號(號碼從1到N)；=2\*GB3②將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；=3\*GB3③將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；=4\*GB3④從箱中每次抽出1個號簽，并記錄其編號，連續抽出n次；=5\*GB3⑤將總體中與抽到的號簽編號一致的n個個體取出.(5)隨機數表隨機數表是由隨機數（通常為0，1，2，…，9）相乘的數表，表中的每一個位置出現的數是隨機的下列是一個隨機數表的一部分.(6)隨機數表進行簡單隨機抽樣的一般步驟為：=1\*GB3①對總體進行編號；=2\*GB3②在隨機數表中任意指定一個開始選取的位置，位置的確定可以閉著眼睛用手指隨機確定，也可用其他方式隨機確定；=3\*GB3③按照一定規則選取編號.=4\*GB3④按照得到的編號，找到對應的個體.3．分層抽樣(1)分層抽樣的定義一般地，如果相對于要考察的問題來說，總體可以分成的，的幾部分時，每一部分可稱為，在各層中按層在總體中所占進行的方法稱為分層隨機抽樣（簡稱分層抽樣）注意：分層抽樣又稱類型抽樣，應用分層抽樣應遵循以下要求：=1\*GB3①分層：將相似的個體歸人一類，即為一層，分層要求每層的各個個體，即遵循不重復、不遺漏的原則.=2\*GB3②分層抽樣為保證每個個體入樣，需遵循在各層中進行，每層樣本數量與每層個體數量的比與這層個體數量與總體容量的比.(2)分層抽樣的步驟：=1\*GB3①分層：按某種特征將總體分成若干部分.=2\*GB3②按比例確定每層抽取個體的個數.=3\*GB3③各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取.=4\*GB3④綜合每層抽樣，組成樣本.二數據的數字特征1．最值一組數據的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數最極端的情況，一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.2．平均數如果給定的一組數是，則這組數的平均數為：這一公式在數學中常簡記為：3.中位數、百分位數（1）地，有時也可以借助中位數來表示一組數的中心位置：=1\*GB3①如果一組數有奇數個數，且按照從小到大排列后為，則稱為這組數的中位數；=2\*GB3②如果一組數有偶數個數，且按照從小到大排列后為，則稱為這組數的中位數.（2）數的分位數指的是滿足下列條件的一個數值：至少有的數據不大于該值，且至少有的數據不小于該值.4.眾數一組數據中，某個數據出現的次數稱為這個數據的頻數，重復出現的次數最多的數據稱為這組數據的眾數.5.極差、方差、標準差（1）一組數的極差指的是這組數的最大值減最小值，不難看出，極差反映了一組數的變化范圍，描述了這組數的離散程度.描述一組數的離散程度的量還有方差和標準差.（2）如果的平均數為，則方差可用求和符號表示為：注：如果a，b為常數，則：的方差為.（3）方差的算術平方根稱為標準差；注：如果一組數中，各數據值都相等，則標準差為0，表面數據沒有波動，數據沒有離散；若各數據的值與平均數的差的絕對值較大，則標準差越大，表明數據的波動幅度越大，數據的離散程度較高，因此標準差描述了數據相對平均數的離散程度.三數據的直觀表示1.柱形圖柱形圖(也稱為條形圖)可以形象地比較各種數據之間的數量關系．一般地，柱形圖中，一條軸上顯示的是所關注的數據類型，另一條軸上對應的是數量、個數或者比例，柱形圖中每一矩形都是等寬的.2.折線圖一般地，如果數據是隨時間變化的，想了解數據的變化情況，可將數據用折線圖來表示．3.扇形圖扇形圖(也稱為餅圖、餅形圖)，可以形象地表示出各部分數據在全部數據中所占的比例情況．扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數據大小成正比.4.莖葉圖莖葉圖的中間像植物的莖，兩邊像植物莖上生長的葉子．莖葉圖中，所有的莖都豎直排列，而葉沿水平方向排列．5.頻數分布直方圖與頻率分布直方圖（1）頻數分布直方圖與頻率分布直方圖的畫法：=1\*GB3①找出最值，計算極差；=2\*GB3②合理分組，確定區間；=3\*GB3③整理數據；=4\*GB3④作出有關圖示．（2）頻數分布直方圖的縱坐標是頻數，每一組數對應的矩形高度與頻數成正比；頻率分布直方圖的縱坐標是，每一組數對應的矩形高度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組數對應的頻率，從而可知頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1.（3）個矩形上面一邊的中點用線段連接起來可以得到頻數分布折線圖和頻率分布折線圖.注：為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際意義的.四用樣本估計總體1.用樣本的數字特征估計總體的數字特征一般情況下，如果樣本容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征.特別地，樣本平均數（也稱為樣本均值）、方差（也成為樣本方差）與總體對應地值相差不會太大.2.分層抽樣下用樣本的數字特征估計總體的數字特征假設第一層有個數，分別為，平均數為，方差為；第二層有個數，分別為，平均數為，方差為，則如果記樣本均值為，樣本方差為，則可以計算出3.用樣本的分布估計總體的分布同數字特征的估計一樣，分布的估計一般也有誤差.如果總體在每一個分組的頻率記為：，樣本每一組對應的頻率為，一般來說，不等于0，同樣，當樣本的容量越來越大時，上式很小的可能性越來越大.常見考點考點一樣本與總體典例1．（2022·天津市紅橋區教師發展中心高一期末）下列各項調查中你認為合理的有（

）①為了了解全校同學喜歡課程情況，對某班男同學進行抽樣調查②“神舟十四號”飛船發射前，采用抽樣調查的方式檢查其各零部件的合格情況③采用抽樣調查的方式了解國內外觀眾對電影《流浪地球》的觀影感受④為調查我市居民對“垃圾分類”有關內容的了解程度，將要調查的問題放到某網站上，這樣大部分上網的人就可以看到調查問題并及時反饋A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據調查的內容，結合全面調查和抽樣調查的適用特征判斷各項調查是否合理即可.【詳解】①了解全校同學喜歡課程情況，應在各班進行抽樣，同時不能僅限男同學，不合理；②“神舟十四號”飛船發射前，應采用全面調查檢查其各零部件的合格情況，不合理；③了解國內外觀眾對電影《流浪地球》的觀影感受，采用抽樣調查，合理；④對“垃圾分類”有關內容的了解程度，問題放到某網站上，受調查人群有局限，不合理.故選：B變式1-1．（2022·江蘇·高一專題練習）在以下調查中，適合用全面調查的是（

）A．調查某企業的產品在全國市場的占有率B．了解一個班級學生的近視程度C．了解某地區的空氣質量D．調查一個大型水庫所有魚中鯽魚所占的比例【答案】B【分析】根據調查的范圍，從經濟性層面判斷是否適合全面調查.【詳解】A、C、D由調查范圍較廣，調查的經濟成本高，不適合全面調查，B班級學生樣本數量小，故適合全面調查.故選：B變式1-2．（2022·陜西漢中·高一期末）寶雞是一座美麗的城市，為增強市民的環保意識，在6月5日的“世界環境日”活動中，某校以家庭為單位進行了廢塑料袋情況的調查.其中，高二（1）班的50名學生在一天中調查了各自家庭丟棄廢塑料袋的情況，這個問題中50名學生所在家庭一天丟棄廢塑料袋的情況是（

）A．總體 B．樣本的數目 C．個體 D．樣本【答案】D【分析】根據樣本的概念求解即可．【詳解】解：高二（1）班的50名學生所在家庭一天丟棄廢塑料袋的情況是某校以家庭為單位進行了廢塑料袋情況的調查的一個部分，故50名學生所在家庭一天丟棄廢塑料袋的情況是樣本.故選：D變式1-3．（2022·全國·高三專題練習）為檢查某校學生心理健康情況，市教委從該校名學生中隨機抽查名學生，檢查他們心理健康程度，則下列說法正確的是（

）A．名學生的心理健康情況是總體 B．每個學生是個體C．名學生是總體的一個樣本 D．名學生為樣本容量【答案】A【分析】根據總體、個體、樣本容量概念依次判斷選項即可.【詳解】對選項A：名學生的心理健康情況是總體，故A正確；對選項B，每個學生的心理健康情況是個體，故B錯誤；對選項C，名學生的心理健康情況是總體的一個樣本，故C錯誤；對選項D，名學生的心理健康情況為樣本容量，故D錯.故選：考點二簡單隨機抽樣典例2．（2022·全國·高一）下列4個抽樣中,簡單隨機抽樣的個數是①一兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩,玩后放回再拿一件,連續玩了5件;②倉庫中有1萬支奧運火炬,從中一次性抽取100支火炬進行質量檢查;③某連隊從200名黨員官兵中,挑選出50名最優秀的官兵趕赴災區開展救災工作;④一彩民選號,從裝有36個大小?形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據簡單隨機抽樣的特點逐個判斷即可.【詳解】①：不是簡單隨機抽樣.因為一兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩,玩后放回再拿一件,連續玩了5件,它不是“逐個抽取”.②：不是簡單隨機抽樣.雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性,但簡單隨機抽樣要求的是“逐個抽取”③：不是簡單隨機抽樣.因為50名官兵是從中挑出來的,是最優秀的,每個個體被抽到的可能性不同,不符合簡單隨機抽樣中“等可能抽樣”的要求.④：是簡單隨機抽樣.因為總體中的個體數是有限的,并且是從總體中逐個進行抽取的?等可能的抽樣.綜上,只有④是簡單隨機抽樣.故選：B【點睛】本題考查了簡單抽樣的定義，屬于基礎題.變式2-1．（2022·全國·高一課時練習）下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的是（

）A．從某廠生產的3000件產品中抽取600件進行質量檢驗B．從某廠生產的兩箱（每箱15件）產品中抽取6件進行質量檢驗C．從甲、乙兩廠生產的兩箱（每箱15件）產品中抽取6件進行質量檢驗D．從某廠生產的3000件產品中抽取10件進行質量檢驗【答案】B【分析】根據抽簽法的特征:個體數以及樣本容量較小，且易均勻混合，即可結合選項求解.【詳解】選項A中總體中的個體數較大，樣本容量也較大，不適合用抽簽法；選項B中總體中的個體數較小，樣本容量也較小，且同廠生產的兩箱產品可視為攪拌均勻了，可用抽簽法；選項C中甲、乙兩廠生產的兩箱產品質量可能差別較大，不能滿足攪拌均勻的條件，不能用抽簽法；選項D中總體中的個體數較大，不適合用抽簽法.故選：B變式2-2．（2022·江西·模擬預測（文））某工廠利用隨機數表對生產的50個零件進行抽樣測試，先將50個零件進行編號，編號分別為01，02，…，50，從中抽取5個樣本，下面提供隨機數表的第1行到第2行：若從表中第1行第9列開始向右依次讀取數據，則得到的第4個樣本編號是（

）A．10 B．05 C．09 D．20【答案】C【分析】根據隨機數表法抽樣的定義進行抽取即可.【詳解】依題意，讀取的第一個數為14，向右每兩位讀取數據，依次為：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在編號范圍內，舍去，而后一個05與前一個05重復，應舍去后一個05，讀取符合要求的兩位數據依次為：14，05，11，09，則09剛好是第四個符合要求的編號，所以得到的第4個樣本編號是09.故選：C變式2-3．（2021·全國·高一課時練習）總體編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列數字開始，由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（

）．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．01 B．02 C．07 D．08【答案】A【分析】根據隨機數表，依次進行選擇即可得到結論．【詳解】解：從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字中小于20的編號依次為08，02，14，07，02，01，其中第二個和第四個都是02，重復．可知對應的數值為08，02，14，07，01，則第5個個體的編號為01．故選：A．考點三分層抽樣典例3．（2022·吉林·農安縣教師進修學校高一期中）現從中小學生中抽取部分學生進行一次肺活量調查，據了解，某地小學?初中?高中三個學段學生的肺活量有較大差異，而同一學段男?女學生的肺活量差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（

）A．簡單隨機抽樣B．按性別分層隨機抽樣C．按學段分層隨機抽樣D．按肺活量分層隨機抽樣【答案】C【分析】依據題給條件結合分層抽樣定義及適用條件即可確定抽樣方法.【詳解】選項A：因小學?初中?高中三個學段學生的肺活量有較大差異，因此不適合簡單隨機抽樣.判斷錯誤；選項B：因同一學段男?女學生的肺活量差異不大，因此按性別分層隨機抽樣沒有必要.判斷錯誤；選項C：小學?初中?高中三個學段學生的肺活量有較大差異，而同一學段男?女學生的肺活量差異不大，因而按學段分層隨機抽樣.判斷正確；選項D：因肺活量是待測量的量，不可以作為分層的標準.判斷錯誤.故選：C變式3-1．（2022·西藏·林芝市第二高級中學高一期末）某校一年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為140的樣本，則此樣本中女生人數為（）A．80 B．120 C．60 D．240【答案】C【分析】利用分層抽樣的概念即得.【詳解】樣本中女生人數為：.故選：C.變式3-2．（2022·福建·晉江市磁灶中學高一階段練習）學校開展學生對食堂滿意度的調查活動，已知該校高一年級有學生550人，高二年級有學生500人，高三年級有學生450人.現從全校學生中用分層抽樣的方法抽取60人進行調查，則抽取的高二年級學生人數為（

）A．18 B．20 C．22 D．30【答案】B【分析】求出高一年級學生、高二年級學生、高三年級學生人數比，再列式計算作答.【詳解】依題意，該校高一年級學生、高二年級學生、高三年級學生人數比為：，所以抽取的高二年級學生人數為.故選：B變式3-3．（2022·福建·石獅市第八中學高一階段練習）某大學為了了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為的樣本進行調查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為，則應從一年級本科生中抽取學生的人數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分層抽樣的概念即得.【詳解】該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為，應從一年級本科生中抽取學生人數為：．故選：C.考點四平均數、中位數、百分位數、眾數典例4．（2022·北京豐臺·高二期中）一個車間里有名工人裝配同種電子產品，現記錄他們某天裝配電子產品的件數如下：10，12，9，7，10，12，9，11，9，8，若這組數據的平均數為，中位數為，眾數為，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平均數，中位數，眾數的定義即得.【詳解】將數據從小到大排序7，8，9，9，9，10，10，11，12，12，所以平均數為，中位數為，眾數為，所以.故選：C.變式4-1．（2022·全國·高一課時練習）在一次英語聽力測試中，甲組5名學生的成績（單位：分）如下：9，12，，24，27，乙組5名學生的成績如下：9，15，，18，24，其中x，y為兩個不清楚的數據．若甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為16.8，則x，y的值分別為（

）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【答案】C【分析】根據中位數、平均數的定義及求法，結合甲乙組學生成績數據求參數值即可.【詳解】因為甲組數據的中位數為15，易知．因為乙組數據的平均數為16.8，所以，解得．故選：C變式4-2．（2022·全國·高三專題練習）某讀書會有5名成員，寒假期間他們每個人閱讀的節本數分別如下：3，5，4，2，1，則這組數據的分位數為（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】B【分析】這組數從小到大排列順序為：1，2，3，4，5，根據，結合百分數的定義，即可求解.【詳解】由題意，這組數從小到大排列順序為：1，2，3，4，5，且，可得這組數據的分位數為從小到大排列的第3個數和第4個數的平均數為.故選：B.變式4-3．（2022·遼寧·高二開學考試）某校高一年級25個班參加藝術節合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數據的第80百分位數為（

）A．91 B．92 C．93 D．93.5【答案】D【分析】將數據從小到大排序，應用百分位數的求法求第80百分位數.【詳解】數據從小到大為，而，所以第80百分位數為.故選：D考點五極差、方差、標準差典例5．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現的點數可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現的點數，四人根據統計結果對各自的試驗數據分別做了如下描述：①中位數為3，眾數為5；②中位數為3，極差為3；③中位數為1，平均數為2；④平均數為3，方差為2；可以判斷一定沒有出現6點的描述共有（

）A．1人 B．2人 C．3人 D．4人【答案】B【分析】根據數據的特征，寫出滿足要求的數據集判斷①②③；寫出一個含6的數據集判斷是否存在滿足的情況判斷④.【詳解】①5出現兩次，又中位數為3，則數據從小到大為{m,n,3,5,5}，一定沒有6；②中位數為3，極差為3，則數據從小到大為{1,m,3,n,4}、{2,m,3,n,5}、{3,3,3,m,6}，故可能出現6；③中位數為1，平均數為2，則數據從小到大為{1,1,1,m,n}，即，故可能出現6；④平均數為3，方差為2，則滿足要求且含6的數據從小到大為{a,b,c,d,6}，故且、，顯然不能同時滿足，故一定沒有6.綜上，①④一定沒有6.故選：B變式5-1．（2023·全國·高三專題練習）某零件加工廠認定工人通過試用期的方法為：隨機選取試用期中的5天，再從每天生產的零件中分別隨機抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽檢樣本中的合格品件數統計如下，甲：中位數為24，極差不超過2；乙：平均數為23，方差不超過1；丙：眾數為23，方差不超過1，則一定能通過試用期的有（

）A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙【答案】A【分析】根據甲乙丙的統計數據，判斷他們的合格品數是否有可能低于22，只要不低于22，則一定能通過.【詳解】對于甲：由甲的統計數據可知，甲至少有3天的合格品數不低于24，最低合格品數不低于2，所以甲一定能通過；對于乙：設乙每天的合格品件數為，則，即.若乙有不止一天的合格品數低于21，，不合題意；若乙只有一天的合格品數低于22，不妨取，，因為平均數為23，則至少有一天的合格品數為25或至少有兩天的合格品數為24，無論哪種情況，都可以得到，不合題意，所以乙的每一天的合格品數都不低于22，乙一定能通過；對于丙：若丙的合格品數為21，22，23，23，23，則丙的眾數為23，方差為0.64，符合丙的統計數據，但丙不能通過；所以甲、乙一定能通過，A正確；故選：A.變式5-2．（2022·北京·高一期末）已知五位同學高一入學時年齡的平均數，中位數均為，方差為，那么三年后，下列說法錯誤的是（

）A．這五位同學年齡的平均數變為B．這五位同學年齡的中位數變為C．這五位同學年齡的方差仍為D．這五位同學年齡的方差變為【答案】D【分析】利用平均數、中位數、方差的定義直接求解.【詳解】五位同學高一入學時年齡的平均數，中位數均為，方差為，那么三年后，這五位同學年齡的平均數變為，故A正確；這五位同學年齡的中位數變為，故B正確；這五位同學年齡的方差不變，故C正確，D錯誤；故選：D.變式5-3．（2022·山西·運城市景勝中學高一階段練習（文））如果一組數，，?，的平均數是，方差是，則另一組數，

，?，的平均數和方差分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】直接利用公式：平均值,方差為，則的平均值和方差為：得到答案.【詳解】因為一組數，，?，的平均數是，方差是，所以另一組數，，?，的平均數為，方差是故選：C.考點六條形圖、折線圖、扇形圖、莖葉圖典例6．（2023·全國·高三專題練習）“社保”已經走入了我們的生活，它包括養老保險、醫療保險、失業保險、工傷保險、生育保險全年支出最重要的三項分別為養老保險、失業保險、工傷保險三項，下圖是近五年三項社會保險基金的收支情況，下列說法中錯誤的是（

）近五年三項社會保險基金收支情況A．三項社會保險基金在2020年以前收入為逐年遞增；B．三項社會保險基金在2020年以前支出為逐年遞增；C．三項社會保險基金在2016~2019年間收支并未出現“赤字”（收入低于支出）；D．2020年三項社會保險基金支出合計57580億元，比上年增加3088億元，約增長【答案】D【分析】根據條形圖中給定數據結合題意分析所有選項即得.【詳解】由條形圖可知，三項社會保險基金在2020年以前收入為逐年遞增的，故A正確；三項社會保險基金在2020年以前支出為逐年遞增的，故B正確；三項社會保險基金在2016~2019年間收支并未出現“赤字”，故C正確；2020年三項社會保險基金支出合計57580億元，比上年增加3088億元，約增長5.7%，故D錯誤.故選：D.變式6-1．（2022·山西呂梁·高一期末）為了促進市場經濟發展，某電商平臺對出售同一款商品的A，B兩個店鋪進行網絡調查，其中甲，乙，丙，丁，戊五位網購者對這兩個店輔服務態度的對比評分圖如圖，則下面結論正確的是（

）A．B店鋪的得分總高于A店鋪的得分 B．A店鋪的均分高于B店鋪的均分C．B店鋪的中位數小于A店鋪的中位數 D．A店鋪的得分更穩定【答案】D【分析】根據圖表逐項分析即得.【詳解】由題可知A店鋪的得分是：5，6，6.5，7，8．B店鋪的得分是4，6，7，8，9．故A選項錯誤；A店鋪的均分是6.5，B店鋪的均分是6.8，故B選項錯誤；A店鋪的得分中位數是6.5，B店鋪的得分中位數是7，故C選項錯誤；由圖可知，A店鋪的得分較為集中，B店鋪的得分比較分散，故A店鋪的得分更穩定，故D正確.故選：D．變式6-2．（2022·江蘇·高一專題練習）某學校于3月12日組織師生舉行植樹活動，購買垂柳、銀杏、側柏、海桐四種樹苗共計1200棵，比例如圖所示．高一、高二、高三報名參加植樹活動的人數分別為600，400，200，若每種樹苗均按各年級報名人數的比例進行分配，則高三年級應分得銀杏樹的數量為（

）A．34 B．46 C．50 D．70【答案】B【分析】根據分層抽樣的等比例性質求高三年級應分得銀杏樹的數量即可.【詳解】由題意，高三年級應分得銀杏樹的數量為棵.故選：B變式6-3．（2023·全國·高三專題練習（文））一名籃球運動員在最近8場比賽中所得分數的莖葉圖如圖所示，則該運動員這8場比賽得分的平均數和中位數分別為（

）．A．18.5，19 B．19，19 C．19，18.5 D．18，18.5【答案】C【分析】根據平均數及中位數的定義計算即得.【詳解】該運動員這8場比賽得分的平均數為，中位數為．故選：C.考點七頻率分布直方圖、頻率分布折線圖典例7．（2022·江蘇·南京市第一中學高二階段練習）某中學從參加高一年級上學期期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數)分成六段，，…，后畫出頻率直方圖如圖所示．觀察圖形的信息，則（

）A．成績在區間上的人數為5B．抽查學生的平均成績是71分C．這次考試的及格率(60分及以上為及格)約為D．若從成績是70分以上(包括70分)的學生中選一人，則選到第一名學生的概率(第一名只一人)為【答案】B【分析】由頻率分布直方圖，根據頻率的意義和平均值的計算公式判斷個選項即可.【詳解】成績在區間上的人數為，故A錯誤.抽查學生的平均成績是分，故B正確.依題意，60分及以上的分數所在的第三、四、五、六組，頻率和為：，所以抽樣學生成績的及格率為，故C錯誤.成績是70分以上（包括70分）的學生人數為：人，所以從成績是70分以上（包括70分）的學生中選一個，選到第一名的概率，故D錯誤.故選：B.變式7-1．（2022·江蘇·常州市北郊高級中學高二開學考試）某校對200名考生的數學競賽成績進行統計，分成，，，，五組，得到如圖所示頻率直方圖，則根據頻率直方圖，下列說法錯誤的是（

）A．B．估計該校學生數學競賽成績的平均數在內C．該校學生數學競賽成績的中位數小于80D．該校學生數學競賽成績不低于80分的有90人【答案】D【分析】根據直方圖，由頻率和為1求得，再求出平均數、中位數判斷B、C，結合已知求，的人數判斷D.【詳解】由直方圖知：，可得，A正確；平均數為，B正確；由，若中位數為，則，可得，C正確；由，的頻率和為，故成績不低于80分的有0.35×200=70人，D錯誤.故選：D變式7-2．（2022·北京市十一學校高二期末）為落實黨中央的“三農”政策，某市組織該市所有鄉鎮干部進行了一期“三農”政策專題培訓，并在培訓結束時進行了結業考試.如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖.則下列關于這次考試成績的估計錯誤的是（

）A．眾數為82.5 B．中位數為85C．平均數為88 D．有一半以上干部的成績在80~90分之間【答案】C【分析】A根據直方圖判斷眾數的位置即可；B由中位數定義，找到頻率前n組中頻率和為的位置即可；C利用直方圖求出平均數即可；D求出80~90分之間的頻率，與比較大小即可.【詳解】由圖知：眾數出現在之間，故眾數為，A正確；由，即中位數為，B正確；由，C錯誤；由，有一半以上干部的成績在80~90分之間，D正確.故選：C變式7-3．（2022·江蘇·高一專題練習）某中學在2021年高考分數公布后對高三年級各班的成績進行分析．經統計，某班有50名同學，總分都在區間內，將得分區間平均分成5組，統計頻數、頻率后，得到了如圖所示的“頻率分布”折線圖．根據“頻率分布”折線圖，估計該班級的平均分為（

）A．653.6 B．653.7 C．653.8 D．653.9【答案】A【分析】根據折線圖求出平均分即可.【詳解】由圖知：該班級的平均分為.故選：A考點八用樣本估計總體典例8．（2023·全國·高三專題練習）隨著和網絡的普及，外賣行業得到迅速的發展．某外賣平臺為了解某地區用戶對其提供的服務的滿意度，隨機調查了40個用戶，得到用戶的滿意度評分如下：(1)請你估計該地區所有用戶評分的25%，95%分位數；(2)若從這40個用戶中抽取一個容量為10的樣本，且抽到的10個用戶的評分分別為92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，試計算這10個數據的平均數和方差；(3)在（2）的條件下，若用戶的滿意度評分在內，則滿意度等級為“A級”，試用樣本估計總體的思想，根據所抽到的10個數據，估計該地區滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比．（參考數據：，，）【答案】(1)76.5，95(2)，(3)【分析】（1）根據百分位數的定義求解；（2）根據平均數和方差的公式求解；（3）求出樣本中“A級”的百分比，即為總體中“A級”的百分比.（1）這40個用戶評分按從小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，95，97，得到，，可知這40個用戶評分的25%，95%分位數分別為第10項和第11項數據的平均數，第38項和第39項數據的平均數，分別為76.5，95，據此估計該地區所有用戶評分的25%，95%分位數分別約為76.5，95．（2），．（3）由題意知評分在，即（77.26，88.74）內的滿意度等級為“A級”，樣本中評分在（77.26，88.74）內的有5人，則可估計該地區滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比約為．變式8-1．（2022·全國·高二課時練習）農業技術人員發現指標及可以顯示出棉花纖維的質量水平.已知某棉花種植基地今年產量為2000噸，技術人員隨機抽取了1噸棉花，得到指標與棉花質量的如下分布表：指標質量/噸0.040.060.120.160.32a0.060.030.01(1)求a的值，并補全頻率分布直方圖；(2)根據頻率分布直方圖，估計樣本指標的眾數及中位數；(3)根據指標可將棉花分為A?B?C三個等級，不同等級的棉花價格如下表所示：指標或3.4以下級別ABC價格/（萬元/噸）1.61.521.44用樣本估計總體，估計該棉花種植基地今年的總產值.【答案】(1)，頻率分布直方圖答案見解析；(2)眾數為，中位數為3.875；(3)（萬元）.【分析】（1）由頻率分布直方圖和統計表可計算求得，由此可補全頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖估計眾數和中位數的方法直接求解即可；（3）計算求得1噸樣本的產值，進而可得今年的總產值.（1）由分布表知，，解得.在頻率分布直方圖中對應的為，補全頻率分布直方圖如下：（2）由頻率分布直方圖知，指標落在區間上的頻率最大，故眾數為.因為，且，所以中位數在區間上，設中位數為x，則，解得，即中位數為3.875.（3）由題可得1噸樣本的產值為（萬元），估算棉花種植基地今年的總產值為：（萬元）.變式8-2．（2022·黑龍江·賓縣第二中學高一期末）某大學藝術專業40