目錄

一、探究應(yīng)用型問題...................................................2

二、探索型問題綜合...................................................8

三、閱讀理解問題....................................................17

四、典型幾何模塊化綜合..............................................27

五、二次函數(shù)與圓綜合（一）.............................................37

六、二次函數(shù)與圓綜合（二）.............................................44

七、典型壓軸題（一）..................................................52

八、典型壓軸題（二）................................................58

九、典型壓軸題（三）——圓...........................................66

十、典型壓軸題（四）..................................................75

十一、易錯盤點(diǎn)—二次函數(shù)...........................................85

十二、易錯盤點(diǎn)——圓................................................90

十三、易錯盤點(diǎn)——綜合分析..........................................94

考點(diǎn)鏈接

一、探究應(yīng)用型問題

經(jīng)過對已知條件的探究、得到一些新的方法、結(jié)論、啟示、解題思想等，以便應(yīng)用在下一

步處理較為復(fù)雜的問題上。一定要注意在探究過程中所得到的提示。

核心透析

經(jīng)典1:CD

(D探究新知：-

如圖1,已知AABC與AABD的面積相等，/

試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)結(jié)論應(yīng)用：

①如圖2,點(diǎn)M,N在反比例函數(shù)y=k(k>0)的圖象上，過點(diǎn)M作MELy軸，過點(diǎn)N

作NFJ_x軸，垂足分別為E,F.試

證明：MN//EF.E

②若①中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M,Ny

的位置如圖3所示，請判斷MN與EF是否平行

經(jīng)典2：

問題背景

（1）如圖1,△A8C中，DE〃BC分另lj交AB,AC于D,E兩點(diǎn)，A

過點(diǎn)"乍EF〃AB交BC于點(diǎn)F.請按圖示數(shù)據(jù)填空：四

DE

邊形D8FE的面積S=,

△EFC的面積S1=JQ,S3

△ADE的面積邑=衛(wèi).S\

B

V五一

圖1

探究發(fā)現(xiàn)

（2）在（1）中，若BF=a,FC=b,DE與8c間的距離為〃.請證明6=4SS.12

拓展遷移

（3）如圖2,￡7DEFG的四個頂點(diǎn)在△A8c的三邊上，若

MDG、&DBE、AGFC的面積分別為2、5、3,試期（？A

jFOiAABC的面積.

冬2

最優(yōu)練習(xí)

1、情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到AABC和初七。，如圖1所示.將△AC?的頂點(diǎn)A'

與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(AY8在同一條直線上，如圖2所示.觀察

圖2可知：與BCffl等的線段是，ZCAC'=.

女唱3,3BC中，AG1BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以A8、AC為直角邊，向AABC外作

等腰MABE和等腰MACF,過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

ACNF,射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE,AC=kAF,試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

M

2、問題情境

已知矩形的面積為a(a為常數(shù)，。＞0)當(dāng)該矩形的長為多少時(shí)，它的周長最小？最小值是多少？

數(shù)學(xué)模型

設(shè)該矩形的長為X,周長為y,則y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+。乂毛＞。)

x

探索研究

⑴我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)

1

y=X+_(X＞0)的圖象性質(zhì).

X

①填寫下表，畫出函數(shù)的圖象：y八

5

②

4

X>>>。1111234>)>>

4323

y999999992

②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；1

③在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的最大(小)

J--------1---------1---------1>

—12345^

值時(shí)，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到.請v

你通過配方求函數(shù)產(chǎn)x+(x4)的最小值.a

X

解決問題

⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案.

3閱讀理解：對于任意正實(shí)數(shù)Y

_曠沁,：.a-2jO7+b^Q,：.a+b^2,

只有當(dāng)。=姍，等號成立.

,只有當(dāng)a=

結(jié)論：在22WTa、6均為正實(shí)數(shù))中，若a6為定值p,貝!Ja+622

。時(shí)，a+6有最小值2.J萬

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

若R>0,只有當(dāng)而時(shí)，加+1有最小值.

m

思考驗(yàn)證：如圖1,AB為半圓0的直徑，C為半圓上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)過點(diǎn)C作CD1AB,

垂足為D,AD=a,DB=b.

試根據(jù)圖形驗(yàn)證。+匕》2曲，并指出等號成立時(shí)的條件.

12

探索應(yīng)用：如圖2,已知A(—3,0),B(0,-4),P為雙曲線y(43上的任意一點(diǎn)，

x

過點(diǎn)P作PCJ_Att于點(diǎn)C,PD,諭于點(diǎn)D.求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時(shí)四邊形ABCD的

蹴

自由練習(xí)

1、（1）探究新知：

①如圖，已知AD〃8C,AD=BC,N是直線CD上任意兩點(diǎn).求

證：△A8M與△ABN的面積相等.

MDNC

AB

圖①

②如圖，已知AD//BE,AD=BE,AB〃CD〃EF,點(diǎn)、M是直線CD上任一點(diǎn)，點(diǎn)G是直線EF

上任一點(diǎn).試判斷8M與△ABG的面積是否相等，并說明理由.

（2）結(jié)論應(yīng)用:

圖②

如圖③，拋物線產(chǎn)62+板+C的頂點(diǎn)為C（1,4）

交x軸于點(diǎn)A（3,0）交y軸于點(diǎn)D.試探究

在拋物線產(chǎn)以”樂+c上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)

E,使得與△ACD的面積相等？若存在,

請求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

（友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結(jié)論.）

圖③備用圖

知識鏈接二、探索型問題綜合

探索型問題一般有兩類：

（1）探索條件的開放題；（2）探索結(jié)論的開放題。探

索型問題的特點(diǎn)：

Q）題設(shè)開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前

提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而

言只要是充分的、相容的、獨(dú)立的，就視為正確的；

2）結(jié)論開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件

下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論；

核心透析

類型一條件開放型問題

經(jīng)典1.如圖，四邊形A8CD是正方形，ZMBE是等邊三角形，M為對角線B。（不含8點(diǎn)）上任

意一點(diǎn)，BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM.CM.

（1）求證：/\AMB冬AENB；

⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AIV/+BM+CM的值最小，并說明理由；____________

⑶當(dāng)4W+8M+CM的最小值為JI+1時(shí)，求正方形的邊長./

經(jīng)典2.如圖，拋物線與x軸交于A(-1,0)B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,一3)設(shè)拋物

線的頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)以B、C、。為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、4c為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請指

出符合條件的點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

類型二結(jié)論開放型問題

經(jīng)典3.如圖，是由RtZ\ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)8'交斜邊于點(diǎn)￡,CC

的延長線交BB，于點(diǎn)F.

(1)證明：AACES^FBE；

(2)設(shè)NABC=a,NCAC=試探索a、〃茜足什么關(guān)系時(shí)，△ACE與^FBE是全

等三角形，并說明理由.

⑵如圖，設(shè)。。與x軸正半軸交點(diǎn)為P,融、F是線段OPH慟點(diǎn)(與點(diǎn)P不重合)連接并延長。E、

。尸交。。于點(diǎn)8、C,直線BC如軸于點(diǎn)G,若ADEb是以EF為底的等腰三角形，試探索

sinNCGO的大小怎樣變化，請說明理由。

類型三、綜合探索型問題

經(jīng)典5.ASBC中，NA=/8=30。，AB=2.電ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB的中點(diǎn)位

于坐標(biāo)原點(diǎn)。（如圖），/\ABC可以繞點(diǎn)。作任意角度的旋轉(zhuǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)B在第一象限，縱坐標(biāo)是豳，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；

2

（2）如果拋物線），=以2+法+。（80）的對稱軸經(jīng)過點(diǎn)C,請你探究：

①當(dāng)。=5,匹」，c\35時(shí)，魚兩點(diǎn)是否都在這條拋物線上？并說明理

425

由；

②設(shè)b=-2am,是否存在這樣的m的值使48兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上？若存在,

直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

最優(yōu)練習(xí)

1.如圖1,已知矩形/眄，點(diǎn)C題DE的中點(diǎn)，KAB=2AD.（1）

判斷AABC的形狀，并說明理由；

（2）倒寺圖1中的A4BC固定不變，繞點(diǎn)C轆DE所在的直線MN到圖2中的位置（當(dāng)垂線段

AD、BE在直線MN的同側(cè)）.試探究線段AO、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證

明；

（3）僦圖2中的AABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)（7端。石所在的直線圖3帷位置（當(dāng)

垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）.試探究線段AO、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并

給予證明.

2.如圖1、2是兩個相似比為1：拉的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三

角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。

⑴在圖3中，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點(diǎn)E,F,如圖

4。求證：AE2+BF2^EF2

⑵若在圖3中，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊和延長線分別與A6交于點(diǎn)E、F,

女閽5,止時(shí)結(jié)論A1+B/lE:產(chǎn)是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。

3、在△ABC中，NB4C=90°AB<AC,M是3c邊的中點(diǎn)，MN±3C交AC于點(diǎn)

N.動點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿射線84以每秒厘米颯度運(yùn)動.同時(shí)，動點(diǎn)。從點(diǎn)N出發(fā)沿

射線NC運(yùn)動，且始終保持設(shè)運(yùn)動時(shí)間為1秒(Z>0)

(1)MBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由；

(2)若ZABC=60°AB=43?^

①求動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度；

②設(shè)△APQ的面積為S(平方厘米)求S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)探求BP\PQ2、C。?三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說明理由.

AA

4、如圖1,在4ABC中，AB=BC,P為AB邊上一點(diǎn)，連接CP,以PA、PC為鄰邊作nAPCD,AC

與PD相交于點(diǎn)E,已知NABC=NAEP=a(0°<a<90°).

(1)求證：ZEAP=ZEPA；

(2)oAPCD是否為矩形？請說明理由；

(3)如圖2,F為BC中點(diǎn)，連接FP,將NAEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌龋玫?MEN(點(diǎn)M、N

分別是NMEN的兩邊與BA、FP延長線的交點(diǎn)).猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

DDCC

A

EPBMAPB

圖IN圖2

自由練習(xí)

（1）如圖1,在正方形460沖，/凝式邊（不含端點(diǎn)6、O上任意一點(diǎn)，隰比延長線上一點(diǎn)，力是

/比摘平分線上一點(diǎn).若冊90°,求證：A廬MM

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明.證

明：在邊用上截取/斤比，連ME.正方形4a舛，/廬Na決90°,AB-BC.

：./惻區(qū)180°—/4腸『/4修180°—/B—/NMAB=NMAE.

（下面請你完成余下的證明過程）

4D

則當(dāng)/圖淤60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由.

°時(shí)，結(jié)論4生腑仍然垃（直接寫出答案，不需要證明）

三、閱讀理解問題

知識鏈接

所謂數(shù)學(xué)的閱讀理解題,就是題目首先提供一定的材料,或介紹一個概念,或給出一種解法

等,讓你在理解材料的基礎(chǔ)上，獲得探索解決問題的方法,從而加以運(yùn)用，解決實(shí)際問題.其目的

在于考查學(xué)生的閱讀理解能力、收集處理信息的能力和運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力.

解決型閱讀題的關(guān)鍵是首先仔細(xì)閱讀信息，弄清信息所提供的數(shù)量關(guān)系，然后將信息轉(zhuǎn)化

為數(shù)學(xué)問題，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，形成科學(xué)的思維方式和思維策略，進(jìn)而解決問題.

核心透析

類型之一考查掌握新知識能力的閱讀理解題

命題者給定一個陌生的定義或公式或方法，讓你去解決新問題，這類考題能考查解題者自

學(xué)能力和閱讀理解能力，能考查解題者接收、加工和利用信息的能力。

經(jīng)典1.讓我們輕松一下，做一個數(shù)字游戲：

第一步：取一個自然數(shù)中5,計(jì)算行+1得a；)

第二步：算出a的各位數(shù)字之和得n,蘇十算萬+1癡；2

第三步：算出a的各位數(shù)字之和得〃，再計(jì)算4+1得a；3

依此類推，則疔.

經(jīng)典2.用與“<=”表示一種法則：(=6)=-b,(aUb)=-a,如(2=3)=-3,則

(2010=201g(2009n2008)j

經(jīng)典3.符號“稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：=ad_bc,請你根據(jù)上述

cacd

21

規(guī)定求出下列等式中X的值._1]]

-111

1-XX

類型之二模仿型閱讀理解題

在已有知識的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一個陌生的數(shù)學(xué)情景，通過閱讀相關(guān)信息，根據(jù)題目引入新知識

進(jìn)行猜想解答的一類新題型.解題關(guān)鍵是理解材料中所提供的解題途徑和方法，運(yùn)用歸納與類比

的方法去探索新的解題方法.問題解答并不太難，雖出發(fā)點(diǎn)低,但落腳點(diǎn)高.是“學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展”

理念的體現(xiàn).

經(jīng)典4.閱讀理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程x3+px2+"+m=O有整數(shù)解c,貝！|將c

代入方程得：c3+pc2+qc+m=O,移項(xiàng)

得m=-c3-pc2-qc>

BPW：m=cx.(^c2-pc-q}>

由于-『-pc-g與c及,"都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù).

上述過程說明：整數(shù)系數(shù)方程^+pxi+qx+m=Q的整數(shù)解只可能是m的因數(shù).

例如：方程/+4丁+3n-2=0中一2的因數(shù)為土1和土2,將它們分別代入方程

始+49+3彳-2=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=-2是該方程的整數(shù)解，一1、1、2不是方程的整數(shù)解.

解決問題:(1根據(jù)上面的學(xué)習(xí)，請你確定方程X3+X2+5X+7=O的整數(shù)解只可能是哪幾個整數(shù)?

(2)方程V-2?-4x+3=0是否有整數(shù)解？若有，請求出其整數(shù)解；若沒有，請說明理由

經(jīng)典5、實(shí)際問題：某學(xué)校共有18個教學(xué)班，每班的學(xué)生數(shù)都是40人.為了解學(xué)生課余時(shí)間

上網(wǎng)情況，學(xué)校打算做一次W1樣調(diào)查，如果要確保全校抽取出來的學(xué)生中至少有10人在同一班級，那么

全校最少需抽取多少名學(xué)生？

建立模型：為解決上面的“實(shí)際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同）現(xiàn)要確保從

口袋中隨機(jī)摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？為

了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸

出多少個小球？

假若從袋中隨機(jī)摸出3個小球，它們的顏色可能會出現(xiàn)多種情況，其中最不利的情況就是它們

的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小

球的個數(shù)是：1+3=4（如圖①）

0若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保S少有3個小球同色，即最少需摸出小

球的個數(shù)是：1+332=7（如圖②）

G）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小

球的個數(shù)是：1+333=10（如圖③J

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸

出小球的個數(shù)是：1+33（10-1）=28（如圖⑩）

模型拓展一：在不透明的口袋中裝有紅、黃、白、藍(lán)、綠五種顏色的小球各20分（除顏色外完全相同）

現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是：

（2）若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是；

（3）若要確保摸出的小球至少有〃個同色金<20）則最少需摸出小球的個數(shù)是.模型拓展二:

在不透明口袋中裝有機(jī)種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同）現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是.

（2）若要確保摸出的小球至少有〃個同色（〃<20）則最少需摸出小球的個數(shù)是.

問瞬缺（1）請把本題中的“實(shí)際問題”轉(zhuǎn)化為一個從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型；

（2）根據(jù)（1）中建立的數(shù)學(xué)模型，求出全校最少需抽取多少名學(xué)生.

類型之三操作型閱讀理解題

操作型閱讀理解題通常先提供圖形變化的方法步驟.解題的時(shí)候，你只要根據(jù)題目所提供的操

作步驟一步步解題即可.它能有效檢測學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的好題型，是中考改革的必然產(chǎn)物.

這類問題能較好地考查學(xué)生用數(shù)學(xué)的能力，具有很強(qiáng)的開放性并具有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性.

經(jīng)典6.我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只

有一個交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

如圖，點(diǎn)4B、a后'別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)龍I勺坐標(biāo)為(0,-3),做為半圓的直徑，

經(jīng)典7.請閱讀下列材料：

問題：如圖1,在菱形ABCD和哪BEFG中，點(diǎn)A,B,E在同一條直線上，P跆段DF的中點(diǎn)，

PG

連結(jié)PG,PC.若NA8C=NBEF=60，探究PG與PC的位置關(guān)系及一的值.

PC

小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.

請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：

PG的值；

(1)寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及——

PC

(2)將圖1中的血BEFG繞點(diǎn)B順檸針瓣專，幽^BEFG潁寸角線BF恰好與翅ABCD的邊AB在同

一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖2)你在(1)中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)

生變化？寫出你的猜想并加以證明.

(3)若圖1中ZABC=N8EA2o(0<c<90),將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原

PG

問題中的其他條件不變，請你直接寫出?—的值(用含a的式子表示)

PC

最優(yōu)練習(xí)

1.理解發(fā)現(xiàn)

閱讀以下材料：

對于三個數(shù)a,b,c,用表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min{a,b,c}表示這

三個數(shù)中最小的數(shù).例如：

-1+2+341)

M{-123}=-----------=3；min{-123}=-1；min{-12,a}=〈《卜口

解決下列問題：

(1)填空：min{sin30cos45tan3()}=；

如果min{22x+24—2x}=2,則x的取值范圍為WxW.

(2)①如果M{2,x+12x}=min{2,x+12x},求x；

②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a,b,c}=min{?,b,c},那么(填

a,b,c?的大小關(guān)系,證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

③運(yùn)用②的結(jié)論，填空：

若M{2x+y+2,x+2)2x-y}=min{2x+y+2,x+2)2x-y},則

x+y^□.

(3)在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)產(chǎn)x+1,尸(x-Ip,尸2-x的圖象(不需列表描點(diǎn))通

過觀察圖象，填空：min{x+l(x—1)22-}的最大值為.

2.解方程以-1|+卜+2=5。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和一2的距

離之和為5的點(diǎn)對應(yīng)的x的值。在數(shù)軸上，1和一2的距離為3,滿足方程的x對應(yīng)點(diǎn)在1的右

邊或一2的左邊，若x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，由圖（17）可以看出x=2；同理，若x對應(yīng)點(diǎn)在一2的

左邊，可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3

<--------4-------------------?>

---------------------1-------——,

-2012

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程出+3=4的解為

（2）解不等式|%—3|+|x+4但9；

（3）若|尤一3|-|x+4|sa對任意的x都成立，求a的取值范圍.

3、X市與W市之間的城際鐵路正在緊張有序地建設(shè)中.在建成通車前，進(jìn)行了社會需求調(diào)查,

得到一列火車一天往返次數(shù)m與該列車每次拖掛車廂節(jié)數(shù)n的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

車廂節(jié)數(shù)n4710

往返次數(shù)m16104

⑴請你根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在三個函數(shù)模型：①^:/^+從八b為常數(shù)，kWO）；②y=4歲（

常數(shù)，kWO）；?y=ax2+bx+c{a,b、c為常數(shù)，aWO）中，選取一個適合的函數(shù)模型，求

出的m關(guān)于"的函數(shù)關(guān)系式是m=（不寫n的取值范圍）；

⑵結(jié)合你求出的函數(shù)，探究一列火車每次掛多少節(jié)車廂，一天往返多少次時(shí)，一天的設(shè)廿運(yùn)營人數(shù)

Q最多（每節(jié)車廂載客量設(shè)定為常數(shù)p）.

4、我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形

為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱，；

（2）如圖（1）已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）0（00）,430）,8（母），請你畫出以格點(diǎn)為頂&OA,

B

E

圖（2

自由練習(xí)

⑴分析材料：

①如圖1,在AABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則

稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△4BC的費(fèi)馬距離.

②如圖2,若的四個頂點(diǎn)在同一個圓上，貝IJ有A82co+BCNA0=AC28D.此

①請你利用托勒密定理，解決如下問題：

如圖3,已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的部上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA.

②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中NB、ZC均小于120。）的費(fèi)馬

點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

第一步:如圖4,在AABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第

二步：在曲上取一點(diǎn)P,連接PA、P玲、PCSPD.Oo

易知PM+%8+PoC=PM+（PoB+PoC）=PM+；

第三步：請你根據(jù)⑴①中定義，在圖4中找出AA8c的費(fèi)馬點(diǎn)P,線段的長度即為AABC

的費(fèi)馬距離.

⑶知識應(yīng)用：

2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水

困難.為解決老百姓飲水問題，解放軍某部到云南某地打井取水.

已知三村莊48、C構(gòu)成了如圖5所示的△ABC（其中NA、NB、ZC均小于120嘰現(xiàn)選

取一點(diǎn)P打水井，使水井P到三村莊4B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小.求輸水

管總長度的最小值.A

.BC

3k圖5

305

4km

四、典型幾何模塊化綜合

模塊一：兩段加和求最小值（折轉(zhuǎn)直，異側(cè)一一三點(diǎn)共線）

模型呈現(xiàn)：作圖：如圖，直線AB的同側(cè)有兩點(diǎn)C、D,在AB上求作一點(diǎn)P,使PC+PD最小。

中考鏈接

1、（達(dá)州）在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，

點(diǎn)P為對角線AC上一動點(diǎn)，連接PB、PQ,則△PBQ周長的最小值為

cm（結(jié)果不取近似值）.

2、（撫順市）如圖所示，正方形ABCO的面積為12,△ABE是

等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)

P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.2-J3B.2RC.3D.卡

3、（鄂州）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ABLBC,AD=2,

叱屐5,點(diǎn)雁式上移動，則當(dāng)必+/W最小值時(shí)，△初9中邊

/吐的高為（）

4

八一洞B—b

1717

「8b

C、—1廠D、3

17

4、(陜西)如圖在銳角△ABC中AB=4,NBA渣45°,

NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，c

則BM+MN的最小值是.

5、(新疆烏魯木齊市)如圖，在矩形0LBC中，已知4、CW點(diǎn)的可/、八

/M^\D

。為。4的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸是N40C平分線上的一個動點(diǎn)(不上\

(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到何處，PC總與相等；/R

(2)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過0、P、D-N

(3)設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，APOE的周長最小？求出此時(shí)

點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長：

(4)設(shè)點(diǎn)N是矩形。48C的對稱中心，是否存在點(diǎn)P,使NCPN=90°?若存在,請直接寫出

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

v

模塊二：三段加和求最小值（折轉(zhuǎn)直）

模型呈現(xiàn)：作圖：A、B為兩定點(diǎn)，C、D分別軸Y軸上的動點(diǎn)，請確定C、D的位置，以便使四

一，一小Y

邊形ABCD周長最短。

中考鏈接

1、如圖，以眺的8c的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，力所在的直線為對由，%所在的直線為例，建立平面直角坐

標(biāo)系.已知的=3,比三2,點(diǎn)破4?的中點(diǎn)，在刃上取一點(diǎn)D,將△颯沿ZiZ翻折，使點(diǎn)/落在比邊上

（1）直接寫出點(diǎn)反型坐標(biāo)；-------------\-----------

（2）設(shè)頂點(diǎn)為加勺拋物線交斶咖■點(diǎn)P,且以點(diǎn)E、F、"T股的三角形是舞三角形，求該拋物線

的解析式；\

（3）在斕1、沖山上是否分別存在點(diǎn)KN,使得四邊形網(wǎng)硬的配裝J、？如果

存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.A

2、（恩施市）

恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世

界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（8）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km,A、8到直線X的距

離分別為10km利40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向4、3兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民

設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P9到A、8的距離之和

S^PA+PB,圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對稱點(diǎn)是A,連接34交直線X于

點(diǎn)P）P至IJA、5的距離之和S2=PA+PB.

（1）求S、S?,并比較它們的大小;

（2）請你說明S2=PA+PB的值為最小；y|

（3）擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如巾（3）所示的直角坐標(biāo)系，8到

直線y的距離為30km,請你在X旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,上P、/8、Q組成的四邊形

的周長最小.并求出這個最小值.?I\

圖（1）圖(2)圖(3)

3、如圖1,拋物線y=ax?+bx+c(a#0)的頂點(diǎn)為C(1,4)交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D,其

中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為

拋物線的對樹血點(diǎn)G為直線PQ上的一動點(diǎn)，貝k軸上是否存在一點(diǎn)H,使D、G,H、F四點(diǎn)所圍成

的四邊形周長最小.若存在，求出這個最4值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

圖1圖2

模塊三：將不相連的不定長線段，通過平移連接后，再用模型一（折轉(zhuǎn)直）

1、在直角坐標(biāo)系中，A（1,-3）B（6,-1）C（a+3,0）,D（a,0）,當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形ABCD周

長最小，并求此最小值。

2、如圖，拋物線廣加+公-4a經(jīng)過4-10）、。（⑼兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)6.

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)。（加，m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)。關(guān)于直線5c對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）P為拋物線頂點(diǎn)，HK平行于X軸，并過點(diǎn)（0,3）CE平行于X軸，E為其上一動點(diǎn)，做EF垂直

于HK與F,求PE+EF+FB的最小值，并確定此時(shí)，EF兩點(diǎn)坐標(biāo)。

模塊四：兩段做差求最大值(同側(cè)一一三點(diǎn)共線)

模型呈現(xiàn)：如圖，直線AB的同側(cè)有兩點(diǎn)C、D,在AB上求作一點(diǎn)P,使|PC-PD|最大。

變式如圖,直線AB的兩側(cè)有兩點(diǎn)C、D,在AB上求作一點(diǎn)P,使|PC-PD|最大。

中考鏈接：

11,

1,如圖，已知直線y=_x+l與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,拋物線yj=^+bx+c與

直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使HM-MC|的值最大，\1

求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

模塊五：側(cè)面展開后直線距離最短。

1、如圖所示，有一長為8cm,寬為4cm,高為5cm的長方體盒子，在它的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃

到上底面上與A點(diǎn)柢擲JB點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出來嗎？

2如圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為6cm

的正三角形ABC,母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃

糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過的

最短路程是cm.

3如圖，有一個長方體，它的長BC=4,寬AB=3,高BB]

爬行到G，這時(shí)小蟲爬行的最短路徑的長度是。

4、如圖，一圓柱體的底面周長為24cm,BC是上底面直徑，母

線（高）AB為4cm,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行

到點(diǎn)C的最短路程大約是（）

5.如圖，圓錐的母線長0A=6,底面圓的半徑為2,一小蟲在圓錐

底面的點(diǎn)A處繞圓錐側(cè)面一周又回到點(diǎn)A處，則小蟲所走的最短距

離為（）.

B.4%

C.6D.6j

A

模塊六：動線段和轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離最短

1.(浙江省紹興市)定義一種變換：平移拋物線瓦得到拋物線尸2,使尸2經(jīng)過Fi的頂點(diǎn)A.設(shè)F2

的對稱軸分別交居，B于點(diǎn)。，8，點(diǎn)。是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn).

⑴女唱1,若色y=x2,經(jīng)過變換后，得至UF：點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),則

12

①6的值等于;②四邊形旗CD為

(2)如圖2,若戶y=ax2+c,經(jīng)過變換后，點(diǎn)5為(2,c—l)求的面積；

⑶如圖3,若F:y=x2-x+,經(jīng)過變換后，AC=2，點(diǎn)尸是直線AC上的動點(diǎn),

,333

求點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離和到直線AD的距離之和的最小值.

8)SJ

?2

2、（北京市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，4ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A（-6,0）,8（6,0）,。（0,4版），延長AC至晾D,使CD=Ug,過點(diǎn)D何E〃AB交BC的延

長線于點(diǎn)E.一

（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF,若過B點(diǎn)的直線尸fcc+b將四邊形CDFE分

成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；

（3）設(shè)G為y軌k一點(diǎn)，點(diǎn)P從酸產(chǎn)氣+力與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y*岷處G點(diǎn)，再沿

GA至處A點(diǎn),若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動的速度是它在直線GA上運(yùn)動速度的2倍,試確定G點(diǎn)的位置使P點(diǎn)

按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。（要求：簡述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）

五、二次函數(shù)與圓綜合(一)

核心透析

經(jīng)典1:

如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在直線y=2x上，過點(diǎn)B作r軸的垂線，垂足為A,0A=5,

若拋物線y^_jC+bx+c過點(diǎn)0,A兩點(diǎn)。

6

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若A點(diǎn)關(guān)于直線尸2x的對稱點(diǎn)為C,判斷點(diǎn)C是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。01是以BC為直徑的圓。過原點(diǎn)0作01的切線OP,P為切點(diǎn)

(P與點(diǎn)C不重合)拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得以PQ為直徑的圓與。相切？若存在，求出點(diǎn)Q的橫

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

經(jīng)典2：

已知：函數(shù)y的圖象與x軸只有一個公共點(diǎn).

(1)求這個函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖所示，設(shè)沸I數(shù)盧加+尤+1圖象的頂點(diǎn)為反與)，軸的交點(diǎn)為4￡為圖象上的一點(diǎn)，若

以線段咫為直徑的圓與直線45相切于點(diǎn)B,求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)中，若圓與x軸另一交點(diǎn)關(guān)于直線外的對稱點(diǎn)為必，試探索點(diǎn)醒否在

拋物線y="2+x+l上，若在拋物線上，求出.，掠的坐標(biāo)；若不在，請說明理由.

經(jīng)典3：

已知：如圖所示，擾舷線y=a^+bx+c(a^O)經(jīng)過x軸上的兩點(diǎn)A(x,O),B(x,2,0)和y軸上

的點(diǎn)。(0,--),?P的1心P在y軸上，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，若/?=瓜，AB=2.73

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)1)在拋物線上，且C、I)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P?并說明理

由；

(3)設(shè)直線BD交。P于另一點(diǎn)E,求經(jīng)過點(diǎn)E的OP的切線的解析式.

經(jīng)典4：

如圖所示，二次函數(shù))，=奴2+灰+。過A(-1,0)B(3,0)C(0,-3)M為頂點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)AABM內(nèi)切圓圓心為D,OD與AB相切于N與BM相切于E,求它的半徑；

(3)在(1)中二次函數(shù)圖像上是否存在一點(diǎn)P,使A/V1N的面積為AACM面積的2001倍？若存

在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

最優(yōu)練習(xí)

1、如圖，已知。P的圓心坐標(biāo)為（15,0）,半徑為2.5,OP與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)

B的左側(cè)）與y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D.

（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）設(shè)平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點(diǎn)，問:是否存在以線段EF為直徑的圓0'恰好與0P

相外切？若存在，求出其半徑r及圓心。'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2、已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(0,2)的直線AB與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑C

的圓相切于點(diǎn)C,且與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)B.

(1)求NBAO的度數(shù)；

(2)求直線AB的解析式；

(3)若一拋物線的頂點(diǎn)在直線AB上,且拋物線的頂點(diǎn)和它與X軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成斜邊長為2的直

角三角形，求此拋物線的解析式.

自由練習(xí)

1、如圖所示，已矢碘物線y=lY—X+左的圖象與丁軸相交于點(diǎn)8(0,1)，點(diǎn)C(m/)在該

4

拋物線圖象上，且以BC為直徑的。M修過頂點(diǎn)A.

(1)求女的值；

(2)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為且點(diǎn)P在該拋物線的對稱軸/上運(yùn)動，試探索：

①當(dāng)S|<S<S2時(shí)，求r的取值范圍(其中：S為aPAB的面積，S1為X0AB的面積,

S2為四