第四章

數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)任務(wù)1．借助教材實(shí)例理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．借助教材實(shí)例了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)3．會(huì)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．能利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01觀察下列現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)列，回答后面的問題．1．我國有用十二生肖紀(jì)年的習(xí)慣，例如，2017年是雞年，從2017年開始，雞年的年份為2017，2029，2041，2053，2065，2077，…．2．某個(gè)電影院設(shè)置了20排座位，這個(gè)電影院從第1排起各排的座位數(shù)組成數(shù)列：38，40，42，44，46，…．3．全國統(tǒng)一鞋號(hào)中，成年女鞋的各種尺碼(表示以cm為單位的鞋底的長度)由大到小可排列為25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5．以上三個(gè)問題中的數(shù)蘊(yùn)含三個(gè)數(shù)列，你能找到它們的共同規(guī)律嗎？知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的概念文字語言如果一個(gè)數(shù)列從第_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的______的差都等于__________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)____叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母__表示符號(hào)語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2前一項(xiàng)同一個(gè)常數(shù)常數(shù)d思考等差數(shù)列的定義中，為什么要“從第2項(xiàng)起”？[提示]第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合．知識(shí)點(diǎn)2等差中項(xiàng)(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．(3)滿足的關(guān)系式是

___________．知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________________．a(chǎn)＋b＝2Aa1＋(n－1)d1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)等差數(shù)列{1－3n}的公差d＝1． (

)[提示]數(shù)列{1－3n}的公差為－3．(2)所有的等差數(shù)列都有通項(xiàng)公式． (

)[提示]由等差數(shù)列的定義可知正確．×√1234

√

12343．(多選)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是(

)A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，…C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…AC

[根據(jù)等差數(shù)列的定義可知A，C中的數(shù)列是等差數(shù)列，而B，D中，從第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù)．]√√12344．等差數(shù)列－3，－1，1，…的通項(xiàng)公式為an＝________．2n－5

[由題知，a1＝－3，d＝2，所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5．]2n－51234關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的有關(guān)運(yùn)算類型2等差中項(xiàng)的應(yīng)用類型3等差數(shù)列的判定與證明

(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75．

反思領(lǐng)悟

求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的兩種思路(1)設(shè)出基本量a1與d，利用條件構(gòu)建方程組，求出a1與d，即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)時(shí)，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可繞過求首項(xiàng)a1，直接寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．注意：對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最終結(jié)果一般寫成關(guān)于n的一次函數(shù)的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．

10(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差d＝________；

類型2等差中項(xiàng)的應(yīng)用【例2】

(1)如果3是2a與a－6的等差中項(xiàng)，則a的值為(

)A．－1 B．1C．3 D．4D

由條件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4．√(2)一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是1，x，a，2x，則x＝________．

2

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

等差中項(xiàng)應(yīng)用策略(1)求兩個(gè)數(shù)x，y的等差中項(xiàng)A，即根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得A＝____．(2)證三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，只需證中間一個(gè)數(shù)為兩邊兩數(shù)的等差中項(xiàng)，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有_________；反之，若_________，則a，b，c成等差數(shù)列．

a＋c＝2ba＋c＝2b[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．

反思領(lǐng)悟

等差數(shù)列的三種判定方法(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)0312341．(多選)下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是(

)A．1，4，7，10

B．lg2，lg4，lg8，lg16C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2ABD

[選項(xiàng)A，B，D滿足等差數(shù)列的定義，是等差數(shù)列；選項(xiàng)C中，因?yàn)?4－25≠23－24，不滿足等差數(shù)列的定義，所以不是等差數(shù)列．]√√√2．在等差數(shù)列{an}中，若a1＝2，a2＝4，則a4＝(

)A．6 B．8C．16 D．32B

[因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，則a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8．]1234√3．(多選)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，則下列說法正確的是(

)A．該數(shù)列為等差數(shù)列

B．公差為3C．a(chǎn)5＝15 D．－3是該數(shù)列的第11項(xiàng)ACD

[由條件可知an＋1－an＝－3，∴該數(shù)列為等差數(shù)列，公差為－3，這時(shí)an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11，故ACD正確．]1234√√√4．若m和2n的等差中項(xiàng)為4，2m和n的等差中項(xiàng)為5，則m和n的等差中項(xiàng)為________．12343

回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：(1)等差數(shù)列的概念中，應(yīng)從哪幾個(gè)方面理解？[提示]等差數(shù)列的概念是非常嚴(yán)密的，要抓住“從第2項(xiàng)起”“后項(xiàng)與前項(xiàng)的差