例1從數及其運算看數學的整體性在數系的發展過程中，正整數與人的直覺一致，天經地義。然而，0、負整數、分數、無理數、復數取得“合法”地位，都經歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學生返璞歸真地擇要經歷這個過程，對他們理解數學的整體性、感受數學研究的“味道”很有好處，自然地，這也是培養學生的數學素養，提高他們發現和提出問題、分析和解決問題的能力的極好途徑。第一頁第二頁，共61頁。數系擴充中的基本思想數學推廣過程的一個重要特性是：使得在原來范圍內成立的規律在更大的范圍內仍然成立。數系的擴充：引入一種新的數，就要定義其運算；定義一種運算，就要研究其運算律。擴充的基本原則是：使算術運算的運算律保持不變。運算是代數中的核心問題。第二頁第三頁，共61頁。數系擴充的整體結構背景引入（現實、數學內部）、定義和表示（抽象的過程）——分類、性質、運算（推理活動）——聯系及其應用（建?；顒樱Ｑ芯恳粋€數學新對象的基本套路。第三頁第四頁，共61頁。數列課程內容的設計思路學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。第四頁第五頁，共61頁。內容和要求（1）數列的概念和簡單表示法通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數。（2）等差數列、等比數列①通過實例，理解等差數列、等比數列的概念。②探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式。③能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。④體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系。第五頁第六頁，共61頁。對內容的理解數列的概念和表示——注意從函數的研究中得到啟發；等差數列：概念、表示（通項公式）、性質（等差中項），等差數列的“原型”就是自然數列{n}；等差數列的前n項和公式：從概念和性質中推出的自然結果；應用——作為知識的聯結點。第六頁第七頁，共61頁。等差數列的概念和通項公式如何教概念？問題觀察下列數列，你有什么發現？（1）0，5，10，15，……；（2）5.5，7.5，9.5，11.5，……；（3）0，2.5，5.0，7.5，……追問：是相鄰兩項的差嗎？從第二項起……這個問題能引出等差數列的概念嗎？第七頁第八頁，共61頁。問題不恰當：（1）對概念理解不到位——“等差”是由運算引發的！等差數列是一類特殊的數列，“考察特例”是一種“基本套路”；（2）對教材不理解——教材是這樣開頭的：初中學了實數及其運算、性質?，F在我們面對一列數（數列），能不能也像研究實數一樣，研究它的項與項的關系、運算和性質呢？我們先從一些特殊的數列入手；（3）對學生不理解——這些數列的共同特征不只是“等差”，沒有從關系、運算等作必要引導，學生的觀察沒有方向。第八頁第九頁，共61頁。如何教通項公式？什么叫“通項公式”？——研究一個數學對象的“基本套路”是：獲得對象（下定義）—表示對象—研究性質—建立與相關知識的聯系?！巴椆健薄炔顢盗械囊环N表示，就像函數的解析式一樣，要回答的是“第n項an與序號n的關系”?！扒笸椆健薄獜亩x出發。第九頁第十頁，共61頁。等差數列的性質運算中出現的規律性——有了運算，數的力量無限。最簡單的等差數列：三項——“等差中項”；如何看“等差中項”？——平均數！當m+n=p+q時，am+an=ap+aq

；……第十頁第十一頁，共61頁。前n項和公式的教學設計作為自然數列性質的自然延伸、一般化——將a1=1，d=1一般化。如何看1+2+3+…+n=

？有多種角度：“平均數”，不同數求和化歸為相同數求和，等；“平均數”本質上是等差數列的性質：am+an=ap+aq

，當m+n=p+q時——這是“倒序求和”技巧的源頭。第十一頁第十二頁，共61頁。教學設計思路總體思想：希望學生領悟到“倒序求和”技巧的來源。問題1高斯是如何求出1+2+…+100的？問題2如果從數列的角度看，你認為他利用了數列1，2，3，……的什么特性？問題3你能用高斯的方法求1+2+…+101嗎？問題4如何用高斯的方法求1+2+…+n？問題5一般地，設公差為d的等差數列{an}，你能求出Sn=a1+a2+…+an嗎？（什么叫求Sn？）第十二頁第十三頁，共61頁?；氐礁拍钊?，回到基本性質去——返璞歸真，至精至簡，以簡馭繁，大巧若拙?！暗剐蚯蠛汀笔堑裣x小技！第十三頁第十四頁，共61頁。二、關于系統思維的培養數學是一個系統，理解和掌握數學知識需要系統思維。系統思維就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。系統思維能極大地簡化人們對事物的認知。系統思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統思維是邏輯抽象能力強的集中表現。第十四頁第十五頁，共61頁。例“三角形”研究中的系統思維定義“三角形”，明確它的構成要素；用符號表示三角形及其構成要素；以要素為標準對三角形進行分類；——明確研究對象基本性質，即研究要素之間的關系，得到“三角形內角和等于180°”等；研究“相關要素及其關系”，如“三角形的外角等于不相鄰兩內角之和”等；第十五頁第十六頁，共61頁。三角形的全等（反映空間的對稱性，“相等”是重要的數學關系，也可以看成“確定一個三角形的條件”）；特殊三角形的性質與判定（等腰三角形、直角三角形）；三角形的變換（如相似三角形等）；直角三角形的邊角關系（銳角三角函數），解直角三角形；解三角形（正弦定理、余弦定理）。第十六頁第十七頁，共61頁。把三角形作為一個系統進行研究明確研究對象（定義、表示、分類）

——性質（要素、相關要素的相互關系）——特例（性質和判定）——聯系；定性研究（相等、不等、對稱性等）——定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。第十七頁第十八頁，共61頁。培養系統思維，是為了使學生養成全面思考問題的習慣，避免“見木不見林”，進而使他們在面對數學問題時，能把解決問題的目標、實現目標的過程、解決過程的優化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”就能落在實處。第十八頁第十九頁，共61頁。什么叫性質？性質是指事物所具有的本質，即事物內部穩定的聯系。問題：這里的“事物內部”指什么？“穩定的聯系”是怎么表現的？到底怎樣才能發現這種“聯系”？第十九頁第二十頁，共61頁。從三角形的“內角和為180°”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對大角”、“等邊對等角”等你想到了什么？“內部”可以是“三角形的組成要素”，“穩定的聯系”是指“三角形要素之間確定的關系”。幾何對象組成要素之間確定的關系就是性質。第二十頁第二十一頁，共61頁。從“外角等于不相鄰兩內角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關要素，這些“相關要素”也可以看成是“三角形的內部”。要素、相關要素間確定的關系也是性質。第二十一頁第二十二頁，共61頁。兩個幾何事物所形成的某種位置關系所體現的性質，例如兩條直線平行，從“同位角相等”、“內錯角相等”以及“同旁內角互補”可以想到，這時的“性質”是借助“第三條直線”構成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關系所決定的這些角之間有什么確定的關系。研究兩個幾何事物的某種位置關系下具有什么性質，可以從探索這種位置關系下的兩個幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關系入手。第二十二頁第二十三頁，共61頁。圓的幾何性質要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角；相關要素：弦、圓周角……你認為可以怎樣引導學生發現和提出值得研究的命題？第二十三頁第二十四頁，共61頁。同（等）圓的直徑大于不經過圓心的任何一條弦；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條??；在同（等）圓中：弧相等則所對的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對的弦較大（弦心距較?。荒娑ɡ硪渤闪ⅰＧ芯€垂直于過切點的半徑。過圓外一點所作圓的兩條切線長相等。你能發現一些與圓心角相關的定理嗎？第二十四頁第二十五頁，共61頁。如何引導學生觀察幾何體的結構特征棱柱要素、相關要素：面、棱、頂點、面對角線、體對角線、高……要素、相關要素之間的關系：面與面、棱與棱、面與棱……特例：長方體——正方體，平行六面體……第二十五頁第二十六頁，共61頁。直線與平面平行的性質位置關系：直線l

∥平面α；其他事物：直線、平面；命題：（1）如果

a∥l，那么a

∥α

；（2）如果

a

∥α

，那么a

∥l；（3）如果a

⊥l，那么a⊥α；（4）如果a⊥α，那么a⊥

l；第二十六頁第二十七頁，共61頁。（5）如果β∥l，那么β∥α；（6）如果β∥α，那么β∥l；（7）如果β⊥l，那么β⊥α；（8）如果

β⊥

α

，那么β

⊥l。第二十七頁第二十八頁，共61頁。（9）與“公理”相聯系，直線l與平面α

內任意一點A確定一個平面β

，α

∩

β=m

，那么

m∥l；（10）l∥α

，所以l∩α=Φ。如果m在α

內，則或者m∥l，或者m與l是異面直線。（11）直線m與直線l異面，則過直線m有且只有一個平面與直線l平行。（12）l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2。第二十八頁第二十九頁，共61頁。從培養系統思維的要求出發設計教學以數學知識的發生發展過程為載體，按學生的認知規律設計教學，使學生經歷研究一個數學對象的基本過程，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，培養認識和解決問題的能力?！獢祵W化的過程第二十九頁第三十頁，共61頁。關于正弦定理、余弦定理的教學教學設計中，加強思想方法、解決問題的策略等方面的思考：如何發現問題；從定性到定量地研究問題；將新問題化歸為舊問題；從知識的相互聯系性思考問題；等等。第三十頁第三十一頁，共61頁。如何研究一個數學對象（問題）數學中，往往是在定性研究問題后，希望得到定量的結果。一個三角形有六個要素，由全等三角形的“基本事實”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的問題？六個要素中，只要知道三個（其中至少有一個是邊），三角形就唯一確定。也就是說，其余三個要素可以由這三個要素唯一確定。從定量角度，由這三個要素可以求出其余三個要素。第三十一頁第三十二頁，共61頁。對于“解三角形”，你會哪些知識？——會解直角三角形，對于一般三角形，只有“內角和定理”。給定兩邊一夾角，求其他邊、角——化歸為直角三角形。還有沒有其他方法？——從知識的聯系性出發，與解三角形相關的知識還有哪些？怎么用？第三十二頁第三十三頁，共61頁。你還能提出哪些問題？對于一個確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角來表示它的外接圓半徑？對于一個確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來表示它們的度量？第三十三頁第三十四頁，共61頁。一個三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長、三個內角的度數、面積、外徑、內徑、高、中線長、角平分線長等，這是三角形這個整體中的各種要素。對它們之間存在的各種函數關系的研究中，可以體現出系統思維的力量，在培養學生的系統思維、掌握“認識、解決問題的方法”、提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力等方面都能發揮很好的作用。第三十四頁第三十五頁，共61頁。二元一次不等式表示平面區域如何提出問題？如何獲得猜想？從具體到抽象、從特殊到一般——強調歸納的過程。直角坐標系中，方程x－y－6=0的解為坐標的點在直線l上；同時，直線l上的點的坐標都是方程x－y－6=0的解——由此你能提出什么新問題？第三十五頁第三十六頁，共61頁。(x0,y0)不在直線l上，則x0－y0－6≠0——x0－y0－6＞0或x0－y0－6＜0。坐標平面被直線x－y－6=0分成三個部分，它們與x－y－6＞0，x－y－6=0，x－y－6＜0有什么關系呢？任意取點，代入，找規律——發現“同側同號”。第三十六頁第三十七頁，共61頁。如何證明“同側同號”點P0(x0,y0)在直線Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用數量關系表達？y

P(x0,y0)·

O

x第三十七頁第三十八頁，共61頁。獲得證明思路的關鍵對解析幾何的基本思想（坐標法）的理解深度；對“先用平面幾何眼光觀察，再用代數方法解決”的認識；在直角坐標系中，幾何方位的代數化——以坐標軸為基準，用不等式表示“上下左右”的關系。所以，歸根到底是對直角坐標系、點的坐標等概念的認識和應用。第三十八頁第三十九頁，共61頁。三、充分重視教育信息化信息技術對教育發展具有革命性影響，必須予以高度重視。要通過教育信息化體系的建設促進教育內容、教學手段和教學方法的現代化。要強化信息技術應用，提高教師應用信息技術水平，更新教學觀念，改進教學方法，提高教學效果。鼓勵學生利用信息手段主動學習、自主學習，增強運用信息技術分析解決問題的能力。

——《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010－2020年）》第三十九頁第四十頁，共61頁。課堂教學中強化信息技術的應用，是建設創新型國家的需要，與國家的未來發展、學生的未來前途命運高度相關。因為信息技術本質上是“數學技術”，所以在提高學生利用信息手段自主學習，增強運用信息技術分析解決問題的能力上，數學課程負有更大的責任。數學教學中使用信息技術是天經地義的，廣大中學數學教師應當對此作出積極回應。第四十頁第四十一頁，共61頁。如何理解“信息技術”？信息技術不同于“人造工具”。它是高科技產品，體現了人類強大的創造力，聚集了人類智力活動的最高成果，是“人造工具”和“智力技能”的綜合——“硬件”是人造工具，“軟件”是智力技能，只有在兩者綜合一起時，信息技術才能發揮作用。第四十一頁第四十二頁，共61頁。人類是一種科技的動物；人類社會進步以技術進步為標志；技術的進步使人類生活越來越容易——人類為了使自己更省時省力且可靠地做事而不斷地發明工具。第四十二頁第四十三頁，共61頁。在數學教育中使用技術從上世紀70年代初開始，數學和數學教育在不斷地引進信息技術：算術四則運算計算器，然后是科學計算器、各種微機應用軟件、圖形計算器和CAS的手持計算器等。目前，發達國家在課堂中使用圖形計算器已成為常態，而且考試中也允許使用。第四十三頁第四十四頁，共61頁。計算機代數系統、統計分析系統和動態幾何系統等技術，已變得越來越有用且便宜，因而被不斷地應用到數學教學和學習中?，F在已經出現了許多功能強大、用途明確的數學應用軟件，包括Mathematica、Matlib、電子制表軟件、統計分析系統、z+z超級畫板、動態幾何系統軟件（如Cabri-Geomètre）、幾何畫板等。第四十四頁第四十五頁，共61頁。信息技術能給予教學全方位的支持，教師和學生可以利用技術的強大功能，做過去課堂中完全做不到的事情。例如，TI-nspireCAS計算器的功能設計具有如下特點：為數學學習提供“應用套件”，形成數據、圖形、方程、模型（函數）等的聯動，真正實現代數、幾何、數據處理等不同數學分支的融合，為學生的探究活動提供強大的技術支持，為有不同認知風格、不同表達習慣的學生提供數學理解的機會；第四十五頁第四十六頁，共61頁。生成tns格式的文件，真實、完整地記錄作業過程，給教師和學生自己分析學習過程提供了依據，也提供了方便；利用局域網絡系統為數學課堂營造即時互動、共同學習的環境，幫助教師觀察學生的學習過程，為師生、生生交流互動提供了有力工具，教師可以即時了解學生的學習情況，展示學生作業，有針對性地進行作業討論、評價，利用課堂生成的教學資源，啟發思維，促進理解——改變了課堂生態；第四十六頁第四十七頁，共61頁。利用配套數據收集工具收集真實反映事物變化狀況的數據，即時傳導，并用圖形、數據表等方式記錄和顯示，數據的收集和變化可以實現動態關聯，從而讓使用者能從多角度開發和利用數據。第四十七頁第四十八頁，共61頁。教育技術的設計理念從學生學習需要出發，為學生提供內容豐富、形象化、動態化的學習工具，幫助學生理解數學，提高學習效率和效果。第四十八頁第四十九頁，共61頁。信息技術對數學教育發展的影響信息技術不僅是工具，也是數學的一部分。信息技術是一種認知工具。信息技術可以促進教學內容的變革，可以減少與“體力勞動”相關的內容，增加與“腦力勞動”相關的內容；信息技術可以消除運算能力弱而帶來的學習差異；信息技術可以讓學生有更多的時間用于理解數學本質，更有效地培養學生的想象力和創造力；信息技術可以在學習方式變革（獨立思考、自主探究、合作交流等）中扮演重要角色。第四十九頁第五十頁，共61頁。數學課程的設計，應該以“純粹數學”為載體（數學課要教數學——如果想讓學生學會數學，那么我們就必須在課堂上教真正的數學），以培養學生的思維能力為核心，為學生構建有價值的（實用價值和精神價值）、富有挑戰性的數學學習過程。從學生的長期利益出發，為了使學生獲得信息化社會的生存技能和人生幸福，必須促使學生認識到數學在“信息技術社會”中的重要性，增強學生有效使用數學的思想、方法和技術處理問題的自信心，使他們在利用技術學習數學的過程中，自然地、水到渠成地掌握信息技術。第五十頁第五十一頁，共61頁。為什么要把使用信息技術作為一項數學活動？——因為它已經在深刻地影響著數學和數學教育的發展進程；技術已成為數學的一部分；就像現在數學教師已經習慣使用PPT、幾何畫板等一樣，借助信息技術以獲得結果也將成為數學教學和學習的一部分。第五十一頁第五十二頁，共61頁。信息技術的恰當使用數學教學中使用信息技術有利有弊——重要的是了解信息技術對學生掌握數學知識的影響方式，趨利避害。信息技術的一個關鍵特征是它運用數字、圖形和符號，為抽象的數學理論構建了一個直觀、動態的模型。解題——直接得到結果——計算能力、推理能力下降（？）第五十二頁第五十三頁，共61頁?，F實觀念上認同，實施中不用——高考不能用！信息技術被廣泛地用于工作、個人生活和教育情境中，已經成為信息和知識的生產、使用、存儲、評價、分析和交流的組成部分。因此，掌握使用信息技術的技能，就象學會說話一樣的重要。熟練掌握各種信息技術意味著有更多的機會。不是“用不用”，而是“如何用得更好”！第五十三頁第五十四頁，共61頁。使用技術的理由（1）改善了傳統數學內容的教學——例如，信息技術使對應關系變得“可操作”、“可視化”，強大的作圖和圖形變換功能使圖像的動態演示變得“唾手可得”，因此函數概念的教學變得容易了；（2）為數學內容的重新選擇和組織提供了機會——如微積分、統計、概率等將大量進入，而傳統的初等數學內容將被精簡；（3）為由于過難而無法進行有效教學的重要數學思想的教學提供了途徑——例如在信息技術支持下，“逼近”的過程得到直觀顯示，而使極限思想的教學變得容易了；第五十四頁第五十五頁，共61頁。（4