第14章勾股定理單元測(cè)試一、單選題（共10題；共30分）1.以下列線段a、b、c的長(zhǎng)為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）A、a=3,b=4,c=6B、a=1,b=,c=C、a=5,b=6,c=8D、a=，b=2，c=2.直角三角形邊長(zhǎng)為a,b，斜邊上高為h，則下列各式總能成立的是（

）=h2+b2=h2C.D.+=3.如圖，有兩顆樹(shù)，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹(shù)相距8米．一只鳥(niǎo)從一顆樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一顆樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行(

)A、8米B、10米C、12米D、14米

3題4題8題4.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OM長(zhǎng)的最小值為（

）A、5B、4C、3D、25.在四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4，CD＝2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)（）.A、B、C、D、?6.列各數(shù)中，可以用來(lái)說(shuō)明命題“任何偶數(shù)都是4的倍數(shù)”是假命題的反例是（）A、5B、12C、14D、167.以下可以用來(lái)說(shuō)明命題“任何奇數(shù)都是3的倍數(shù)”是假命題的反例是（）A、9B、7C、8D、158.如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為6πcm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是（）9.已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足=0，則三角形的形狀是（

）A.底與邊不相等的等腰三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.直角三角形10.如圖，Rt△ABC中，AC=BC=4，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，在CD上找一點(diǎn)P，使PA+PE最小，則這個(gè)最小值是（

）A、2B、C、2D、4二、填空題（共8題；共24分）11.在直徑為10cm的圓中，弦的長(zhǎng)為8cm，則它的弦心距為_(kāi)_______cm.12.如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD交AD于點(diǎn)F，若EF=3，AE=5，則矩形ABCD的面積是________

．

12題15題16題18題17題13.點(diǎn)P（-3，-4）到原點(diǎn)的距離為_(kāi)_______.14.三角形的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足等式（a+b）2﹣c2=2ab，則此三角形是________三角形（直角、銳角、鈍角）．15.如圖，將矩形ABCD沿GH對(duì)折，點(diǎn)C落在Q處，點(diǎn)D落在E處，EQ與BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．則△EBF的周長(zhǎng)是________cm．16.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有________個(gè)．17.如圖，在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，那么圓心O到AB的距離為_(kāi)_______．18.如圖，在□ABCD中，AB=cm，AD=4cm，AC⊥BC，則△DBC比△ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng)________cm．

三、解答題（共5題；共36分）19.

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，把Rt△ABC繞著B(niǎo)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到Rt△DBE，點(diǎn)E在AB上．（1）若∠BDA=70°，求∠BAC的度數(shù)．

（2）若BC=8，AC=6，求△ABD中AD邊上的高．

20.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形AEFD是平行四邊形；(2)若∠A=60°,AB=2AD=4,求BD的長(zhǎng).21.已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，點(diǎn)D是腰AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C作CE垂直于BD的延長(zhǎng)線，垂足為E．

（1）若BD是AC邊上的中線，如圖1，求BDCE的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分線，如圖2，求BDCE的值.22.我們運(yùn)用圖（Ⅰ）中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c3+4（12ab），即（a+b）2=c2+4（12ab）由此推導(dǎo)出一個(gè)重要的結(jié)論a2+b2=c2，這個(gè)重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“無(wú)字證明”．

（1）請(qǐng)你用圖（Ⅱ）（2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形的較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c）．

（2）請(qǐng)你用（Ⅲ）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．23.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：AD2=CD?BD．

四、綜合題（共1題；共10分）24.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32．

(1)求∠BDC的度數(shù)；(2)四邊形ABCD的面積．

答案解析一、單選題1、【答案】B

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】A、∵32+42=25≠62，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、∵12+（)2=3=（)2，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確；

C、∵52+62=61≠82，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、∵（)2+22=7≠（)2，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確．

故選B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．2、【答案】D

【考點(diǎn)】三角形的面積，勾股定理

【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的面積的計(jì)算方法，以及勾股定理就可解得．

【解答】根據(jù)直角三角形的面積可以導(dǎo)出：c=．

再結(jié)合勾股定理：a2+b2=c2．

進(jìn)行等量代換，得a2+b2=．

兩邊同除以a2b2，得+=．

故選D．

【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理、直角三角形的面積公式以及等式的性質(zhì)進(jìn)行變形．3、【答案】B

【考點(diǎn)】勾股定理

【解析】【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出。

如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB=10米，小樹(shù)高為CD=4米，

過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，

∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m米，

在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=10（米）。

故選B.4、【答案】C

【考點(diǎn)】勾股定理，垂徑定理

【解析】【分析】過(guò)O作OM⊥AB于M，此時(shí)線段OM的長(zhǎng)最短，連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AM，根據(jù)勾股定理求出OM即可．

過(guò)O作OM⊥AB于M，此時(shí)線段OM的長(zhǎng)最短，連接OA，

∵OM過(guò)O，OM⊥AB，

∴AM=12AB=12×8=4，

在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM=OA2-AM2=52-42=3，

故選C．5、【答案】A

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】如下圖所示，延長(zhǎng)BC、AD交于O，∵∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B＝∠CDO＝90°，∠O＝30°，∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2AB＝8，CO＝2CD＝4，由勾股定理得：，，∴，，∴AB＋AD＋DC＋BC＝，故選A．

【分析】延長(zhǎng)BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．6、【答案】C

【考點(diǎn)】反證法

【解析】【解答】解：，∵5不是偶數(shù)，且也不是4的倍數(shù)，

∴不能作為假命題的反例；

故答案A錯(cuò)誤；

，

∵12是4的倍數(shù)，

∴不能作為假命題的反例；

故答案B錯(cuò)誤；

，

∵14是偶數(shù)，不是4的倍數(shù)，

∴可以用來(lái)說(shuō)明命題“任何偶數(shù)都是4的倍數(shù)”是假命題的反例是14，

故答案C正確；

，

∵16是偶數(shù)，且也是4的倍數(shù)，

∴不能作為假命題的反例；

故答案D錯(cuò)誤；

故選：C．

【分析】反例就是符合已知條件但不滿足結(jié)論的例子．可據(jù)此判斷出正確的選項(xiàng)．7、【答案】B

【考點(diǎn)】反證法

【解析】【解答】解：，∵9是奇數(shù)，但9是3的倍數(shù)，

∴不能作為假命題的反例；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

，

∵7是奇數(shù)，但7不是3的倍數(shù)，

∴可以用來(lái)說(shuō)明命題“任何奇數(shù)都是3的倍數(shù)”是假命題的反例是7，故此選項(xiàng)正確；

，

∵8是偶數(shù)，且不是3的倍數(shù)，

∴不能作為假命題的反例；故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

，

∵15是奇數(shù)，但是3的倍數(shù)，

∴不能作為假命題的反例；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：B．

【分析】反例就是符合已知條件但不滿足結(jié)論的例子．可據(jù)此判斷出正確的選項(xiàng)．8、【答案】C

【考點(diǎn)】平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題

【解析】【解答】解：底面圓周長(zhǎng)為2πr，底面半圓弧長(zhǎng)為πr，即半圓弧長(zhǎng)為：12×2π×6π=6（cm），展開(kāi)得：

∵BC=8cm，AC=6cm，

根據(jù)勾股定理得：AB=82+62=10（cm）．

故選C．

【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．9、【答案】D

【考點(diǎn)】平方根，算術(shù)平方根，勾股定理的逆定理，絕對(duì)值的非負(fù)性

【解析】【解答】解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，

∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，

解得：a=6，b=8，c=10，

∵62+82=36+64=100=102，

∴是直角三角形．

故選D．

【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值，平方數(shù)與算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出a，b，c的值，在根據(jù)勾股定理的逆定理判斷其形狀是直角三角形．10、【答案】C

【考點(diǎn)】勾股定理，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，連接BE，則BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC=BC=4，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴CE=2cm，

∴BE==2，

∴PA+PE的最小值是2．

故選C．

【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化PA，PE的值，從而找出其最小值．二、填空題11、【答案】3

【考點(diǎn)】勾股定理，垂徑定理

【解析】【解答】據(jù)垂徑定理和勾股定理可以計(jì)算出弦心距為3.

【分析】此題考查了垂徑定理和勾股定理知識(shí)點(diǎn).12、【答案】21

【考點(diǎn)】勾股定理，矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵EF⊥AD，EF=3，AE=5，

∴AF=AE2-EF2=52-32=4，

在矩形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，

又∵EF⊥AD，

∴∠DFE=90°，

∴四邊形CDFE是矩形，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∵矩形ABCD的對(duì)邊AD∥BC，

∴∠ADC=∠CED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CD=CE，

∴矩形CDFE是正方形，

∵EF=3，

∴DF=EF=3，

∴AD=AF+DF=4+3=7．

∴矩形ABCD的面積=3×7=21

【分析】利用勾股定理列式求出AF，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角可得∠ADC=∠C=90°，然后求出四邊形CDFE是矩形，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ADE=∠CDE，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADC=∠CED，然后求出∠CDE=∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CD=CE，然后根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形得到四邊形CDFE是正方形，根據(jù)正方形的四條邊都相等求出DF，再根據(jù)AD=AF+DF求出AD的長(zhǎng)，繼而求出矩形ABCD的面積．13、【答案】5

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，-4）到原點(diǎn)O的距離：OP==5

【分析】1.勾股定理；2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．

根據(jù)點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值與到原點(diǎn)的距離構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解即可．14、【答案】直角

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，

∴a2+2ab+b2﹣c2=2ab，

∴a2+b2=c2，

∴三角形是直角三角形．

故答案為直角．

【分析】先根據(jù)完全平方公式對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定．15、【答案】8

【考點(diǎn)】勾股定理，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問(wèn)題），相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)AH=a，則DH=AD﹣AH=8﹣a，

在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8﹣a，

∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣a）2=42+a2，

解得：a=3．

∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，

∴∠BFE=∠AEH．

又∵∠EAH=∠FBE=90°，

∴△EBF∽△HAE，

∴C△EBFC△HAE=BEAH=AB-AEAH=23．

∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12，

∴C△EBF=23C△HAE=8．

故答案為：8．

【分析】設(shè)AH=a，則DH=AD﹣AH=8﹣a，通過(guò)勾股定理即可求出a值，再根據(jù)同角的余角互補(bǔ)可得出∠BFE=∠AEH，從而得出△EBF∽△HAE，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)比即可求出結(jié)論．本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出△EBF∽△HAE．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出周長(zhǎng)間的比例是關(guān)鍵．16、【答案】8

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定，勾股定理

【解析】【解答】解：如圖：

分情況討論．

①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；

②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．

故答案為：8．

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．17、【答案】3

【考點(diǎn)】勾股定理，垂徑定理

【解析】【解答】解：作OC⊥AB于C，連結(jié)OA，如圖，

∵OC⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=5，

∴OC===3，

即圓心O到AB的距離為3．

故答案為：3．

【分析】作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算OC即可．18、【答案】4

【考點(diǎn)】勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵在?ABCD中，

∴AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，

又∵AC⊥BC，

∴AC=6cm，

∴OC=3cm，

∴BO=5cm，

∴BD=10cm，

∴△DBC的周長(zhǎng)﹣△ABC的周長(zhǎng)=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，三、解答題19、【答案】解：(1)由旋轉(zhuǎn)得△ACB≌△DEB

∴BD=BA

∴∠BAD=∠BDA=70°

∴∠ABD=40°

∴∠ABC=∠ABD=40°

∵∠C=90°

∴∠BAC=50°

(2)∵BC=8，AC=6，∠C=90°

∴

∵∠DEB=∠C=且BE=BC=8，DE="AC"=6

∴AE="AB"–BE=2

在Rt△DEA中，

設(shè)AD邊上的高為h

∴

∴

【考點(diǎn)】三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題.

【分析】解題的關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)變換過(guò)程中的不變量，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)來(lái)分析、解答．20、【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB‖CD且AB=CD,

∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),

∴AE=12AB,DF=12DC

∴AE=DF,

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G．

∵AB=2AD=4,

∴AD=2．

在Rt△AGD中,∵∠AGD=90°,∠A=60°,AD=2,

∴AG=AD×cos60°=1，DG=AD×sin60°=3

∴BG=AB-AG=3

在Rt△DGB中,∵∠DGB=90°,DG=3,BG=3,

∴BD=DG2+GB2=3+9=23

【考點(diǎn)】勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【分析】(1)利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明四邊形AEFD是平行四邊形；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,利用已知條件和銳角三角函數(shù)以及勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)．21、【答案】解：設(shè)AB=AC=1，CD=x，則0＜x≤1，BC=2，AD=1-x．

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1-x）2=x2-2x+2．

由已知可得Rt△ABD∽R(shí)t△ECD，

∴CEAB=CDBD，即CE1=xx2-2x+2，∴CE=xx2-2x+2.

∴BDCE=x2-2x+2xx2-2x+2=x2-2x+2x=x+2x-2，0＜x≤1.

（1）若BD是AC的中線，則CD=AD=x=12，得BDCE=52.

（2）若BD是∠ABC的角平分線，則Rt△ABD∽R(shí)t△EBC，

∴CEAD=BCBD，得xx2-2x+2∶（1-x）=2∶x2-2x+2，即2(1-x)=x，解得:x=2-2.

∴BDCE=2-2+22-2-2=2.

【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形

【解析】【分析】設(shè)AB=AC=1，CD=x，應(yīng)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，把用x來(lái)表示，

（1）若BD是AC的中線，則CD=AD，據(jù)此求出的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分線，則由Rt△ABD∽R(shí)t△EBC得，據(jù)此求出的值.22、【答案】解：（1）S陰影=4×12ab，S陰影=c2﹣（a﹣b）