第第頁專題23類比歸納專題：一次函數與三角形綜合問題壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一一次函數與三角形的面積問題】 1【類型二一次函數與三角形全等問題】 12【類型三一次函數與三角形存在問題】 20【類型四一次函數中折疊問題】 32【典型例題】【類型一一次函數與三角形的面積問題】例題：（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期中）在平面直角坐標系中，一次函數的圖象經過點，．(1)求這個一次函數的解析式；(2)若這個一次函數的圖象與x軸的交點為C，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數的解析式；（2）利用直線解析式求得的坐標，然后根據三角形面積公式即可求得的面積．【詳解】（1）解：∵一次函數（）的圖象經過點，．∴，解得：，∴這個一次函數的解析式為：．（2）解：令，則，解得，∴，∵．∴．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，熟練掌握利用待定系數法求一次函數解析式的方法是解題的關鍵．【變式訓練】一、填空題1．（2023春·湖南永州·八年級校考期中）直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為【答案】【分析】分別令和，可求出與坐標軸的交點，從而可以求解．【詳解】解：當時，；當時，，解得：；直線與坐標軸的交點分別為：，，直線與坐標軸所圍成的三角形面積：．故答案是：．【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸交點圍成面積問題，掌握與坐標軸交點坐標求法是解題的關鍵．2．（2023春·河北保定·八年級統考期末）如圖，求兩條直線：與直線：的交點的坐標是，與軸圍成的三角形的面積是．【答案】12【分析】聯立兩直線解析式解方程組即可得到交點坐標；求出兩直線與軸交點間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：聯立得，解得．所以，交點坐標為，令，則，解得，，解得，所以，兩直線與軸交點之間的距離為，所以，兩條直線和軸所圍成的三角形的面積．故答案為：，12．【點睛】本題考查了兩直線相交的問題，三角形的面積，第二問先求出兩直線與軸的交點間的距離是解題的關鍵．3．（2023春·河北秦皇島·八年級統考期末）如圖，已知一次函數的圖象經過，兩點，并且交軸于點，交軸于點．則該一次函數的解析式為；的面積為．

【答案】【分析】（1）先把點和點坐標代入得到關于、的方程組，解方程組得到、的值，從而得到一次函數的解析式；（2）令，即可確定點坐標，根據三角形面積公式和的面積進行計算即可．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，∴一次函數解析式為；故答案為：．（2）解：把代入，解得，所以點坐標為，所以的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式：①先設出函數的一般形式，如求一次函數的解析式時，先設；②將自變量的值及與它對應的函數值的值代入所設的解析式，得到關于待定系數的方程或方程組；③解方程或方程組，求出待定系數的值，進而寫出函數解析式．二、解答題4．（2023春·陜西西安·七年級統考期末）如圖，已知直線的解析式為，直線的解析式為：，與軸交于點，與交于點．

(1)求k，b的值；(2)求三角形的面積．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）利用待定系數法求出，的值；（2）先根據兩個函數解析式計算出、兩點坐標，然后再利用三角形的面積公式計算出的面積即可．【詳解】（1）與交于點，，，解得，；（2）當時，，解得，，當時，解得，，∴的面積．【點睛】此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式．5．（2023春·西藏那曲·八年級統考期末）如圖，已知直線的圖象經過點，且與軸交于點C．

(1)求，的值；(2)若點，判斷點D是否在的圖象上；(3)求的面積．【答案】(1)(2)不在(3)2【分析】（1）把代入，得到和值，即可得到結論；（2）把的坐標代入一次函數的解析式判斷即可;（3）令，求得的值，即可求得一次函數圖象與軸的交點坐標．【詳解】（1）解：把代入得，，解得：，；（2）把代入得，，點不在該一次函數圖象上．（3）該一次函數為，令，則，解得，該一次函數圖象與軸的交點坐標為，；∴【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式和一次函數圖象上點坐標的特征，解題的關鍵是掌握待定系數法．6．（2023春·湖南衡陽·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知一次函數的圖象與過、的直線交于點P，與x軸、y軸分別相交于點C和點D．

(1)求直線的解析式及點P的坐標；(2)連接，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出直線的解析式，再聯立直線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標；（2）過點P作于點M，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，結合點A、B、P的坐標，可得出的值，利用三角形的面積公式結合即可求出的面積；【詳解】（1）設直線的解析式為，將、代入，得：，解得：，直線的解析式為，聯立直線的解析式成方程組，得：，解得：，點P的坐標為（2）過點P作于點M，如圖1所示．

點P的坐標為，．當時，，解得，一次函數的圖象與x軸交于點C，點C的坐標為，．點A的坐標為，點B的坐標為，，，，．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積等知識，解題的關鍵是：（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式；（2）利用切割法找出．7．（2023春·福建莆田·八年級校考期中）如圖，一次函數的圖象經過點，與軸交于點，與正比例函數的圖象交于點，點的橫坐標為1．

(1)求的函數表達式．(2)若點在軸負半軸，且滿足，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得點的坐標，再根據待定系數法即可得到的函數表達式；（2）設，，依據，即可得出，進而得到．【詳解】（1）解：當時，，，將，代入，得，解得，直線的解析式是；（2）中，令，則，，設，，，，，，解得，．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的面積，解題的關鍵是利用待定系數法求出、的值．8．（2023秋·河北張家口·八年級統考期末）如圖，直線與直線相交于點，與x軸分別交于點A、O．

(1)求a，b的值；(2)若點B在y軸上，且滿足，求點B的坐標；(3)垂直于x軸的直線與直線，分別交于點C，D，若線段的長為2，直接寫出m的值．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】（1）將代入，求出a值，再代入即可求出b值；（2）求出的面積，根據求出，分兩種情況即可得到結果；（3）分別求出點C和點D的縱坐標，表述出，根據的長為2列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：把點代入，得，把點代入，得；（2），，，點B的坐標為或；（3）將代入，得，將代入，得，∴，解得：或．【點睛】本題考查了一次函數的交點問題，三角形的面積，解題的關鍵是根據所給的面積和線段的條件建立方程．9．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B，C兩點，其中．(1)求k的值；(2)若點是第一象限內直線上的一個動點，當點A運動過程中，試求的面積S與x的函數關系式，并寫出自變量x取值范圍；(3)點A是直線上的一個動點，當點A運動到什么位置時，的面積是1．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）先確定出點B的坐標，代入函數解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函數關系式，利用三角形的面積公式即可求出函數關系式；（3）分兩種情況考慮，利用三角形的面積求出求出點A坐標．【詳解】（1）∵，∴，∵點B在直線上，∴，∴；（2）由（1）知，，∴直線BC解析式為，∵點是第一象限內的直線上的一個動點，∴，∴，（3）如圖，由（2）知，，∵的面積是1；∴，∴，當點A在x軸下方時，，∴，此時，即；綜上，點A的位置為或．【點睛】此題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法，三角形的面積公式，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是求出點A的坐標．【類型二一次函數與三角形全等問題】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）直線：分別與，軸交于，兩點，點的坐標為，，過點的直線交軸正半軸于點，且．(1)求點的坐標及直線的函數表達式；(2)在坐標系平面內，存在點，使以點，，為頂點的三角形與全等，畫出，并求出點的坐標．【答案】(1)點的坐標為，，；(2)圖見解析，點的坐標為，或，或，．【分析】（1）將點點，代入解析式得出，繼而得出點的坐標為，，根據得出，即點的坐標為，，然后待定系數法求解析式即可求解；（2）分在軸上方：和如圖和點在軸上如圖②兩種情況，根據全等三角形的性質即可求解．【詳解】（1）解：∵直線：過點，，，．當時，，點的坐標為，，即．：：，．點在軸正半軸，點的坐標為，．設直線的解析式為，將，、，代入，得：，解得：，直線的函數表達式為．（2）分在軸上方：和如圖和點在軸上如圖②兩種情況考慮：如圖①：①當時，，．，，，，點的坐標為，；②當時，，，，點的坐標為，．如圖②當時，，，點的坐標為，．綜上所述，點的坐標為，或，或，．【點睛】本題考查了一次函數與幾何圖形，坐標與圖形，全等三角形的性質與判定，數形結合是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·北京平谷·八年級統考期末）如圖，直線與軸和軸分別交與，兩點，射線于點，若點是射線上的一個動點，點是軸上的一個動點，且以為頂點的三角形與全等，則的長為．

【答案】【分析】根據一次函數解析式可求出A點和B點坐標，從而求出的兩條直角邊，并運用勾股定理求出．根據已知可得，分別從或時，即當時，，或時，，分別求得的值，即可得出結論．【詳解】∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點，當時，即，解得：．當時，，∴．∴．∴．∵，點C在射線上，∴，即．∵，∴．若以為頂點的三角形與全等，則或，即或．如圖1所示，當時，，

∴；如圖2所示，當時，，

∴．綜上所述，的長為6或．故答案為：6或．【點睛】本題考查了一次函數的應用、全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，把射線AB繞點A順時針旋轉90°得射線AC，點P是射線AC上一個動點，點Q是x軸上一個動點．若與全等，試確定點Q的橫坐標．【答案】7或8【分析】根據與全等分兩種情況分類討論即可解答．【詳解】解：在直線中，當x=0時，y=0+4=4，即，當y=0時，0=，∴，即；∵與全等，∴分兩種情況：當時，，如圖所示，則，∴點Q的橫坐標為：，當時，，如圖所示，則，∵，∴點Q的橫坐標為：；綜上所述：點Q的橫坐標為7或8．【點睛】本題主要考查三角形全等的應用，一次函數的應用，勾股定理，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．3．（2022·遼寧丹東·八年級期末）已知一次函數y=-3x+3的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點C(3,0)．(1)如圖1，點D與點C關于y軸對稱，點E在線段BC上且到兩坐標軸的距離相等，連接DE，交y軸于點F．求點E的坐標；(2)△AOB與△FOD是否全等，請說明理由；(3)如圖2，點G與點B關于x軸對稱，點P在直線GC上，若△ABP是等腰三角形，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)E（，）(2)△AOB≌△FOD，理由見詳解；(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.【分析】（1）連接OE，過點E作EG⊥OC于點G，EH⊥OB于點H，首先求出點A，點B，點C，點D的坐標，然后根據點E到兩坐標軸的距離相等，得到OE平分∠BOC，進而求出點E的坐標即可；(2)首先求出直線DE的解析式，得到點F的坐標，即可證明△AOB≌△FOD；(3)首先求出直線GC的解析式，求出AB的長，設P（m，m-3），分類討論①當AB=AP時，②當AB=BP時，③當AP=BP時，分別求出m的值即可解答.(1)解:連接OE，過點E作EG⊥OC于點G，EH⊥OB于點H，當y=0時，-3x+3=0，解得x=1，∴A（1，0），當x=0時，y=3，∴OB=3，B（0，3），∵點D與點C關于y軸對稱，C（3，0），OC=3，∴D（-3，0），∵點E到兩坐標軸的距離相等，∴EG=EH，∵EH⊥OC，EG⊥OC，∴OE平分∠BOC，∵OB=OC=3，∴CE=BE，∴E為BC的中點，∴E（，）；(2)解:△AOB≌△FOD，設直線DE表達式為y=kx+b，則，解得：，∴y=x+1，∵F是直線DE與y軸的交點，∴F（0，1），

∴OF=OA=1，∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，∴△AOB≌△FOD；(3)解:∵點G與點B關于x軸對稱，B（0，3），∴點G（0，-3），∵C（3，0），設直線GC的解析式為：y=ax+c，，解得：，∴y=x-3，AB==

，設P（m，m-3），①當AB=AP時，=整理得：m2-4m=0，

解得：m1=0，m2=4，∴P（0，-3）或（4，1），②當AB=BP時，=m2-6m+13=0,△＜0故不存在，③當AP=BP時，=，解得：m=，∴P（，），綜上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），【點睛】此題主要考查待定系數法求一次函數，一次函數與坐標軸的交點，全等三角形的判定，勾股定理.【類型三一次函數與三角形存在問題】例題：（2023春·吉林長春·八年級統考期末）如圖，直線的函數表達式為，且與x軸交于點D，直線經過點A，B，直線，交于點C．

(1)求直線的函數表達式；(2)求的面積；(3)在直線上是否存在點P，使得面積是面積的1.5倍？如果存在，請直接寫出P點坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點或【分析】（1）根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線的函數解析式；（2）令y=-2x+4=0求出x值，即可得出點D的坐標，聯立兩直線解析式成方程組，解方程組即可得出點C的坐標，再根據三角形的面積公式即可得出結論；（3）假設存在點P，使得面積是面積的1.5倍，根據兩三角形面積間的關系得到，再利用待定系數法求出點P的坐標．【詳解】（1）設直線的函數解析式為，將、代入得：，解得：，∴直線的函數解析式為．（2）聯立解得∴點C的坐標為．當時，，∴點D的坐標為．∴．（3）假設存在點P，使得面積是面積的1.5倍．∵面積是面積的1.5倍，∴，∴或3，當時，，此時點P的坐標為；當時，綜上可知，在直線上存在點或，使得面積是面積的1.5倍．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，兩條直線的交點問題，一次函數圖象上點的坐標特征，根據給定點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級豐順縣豐順中學校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：與軸交于點C，且點，.(1)點C的坐標為(2)求原點O到直線的距離；(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形?若存在，求出點P的坐標.【答案】(1)；(2)；(3)存在，點的坐標為或【分析】(1)令，即可求解；(2)首先可求得點A、B的坐標，根據兩點間距離公式可求得的長，再根據，設原點到直線的距離為，列方程即可求解；(3)設點的坐標為，根據題意可知不為直角，分兩種情況，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：令，則，解得：，所以點的坐標為；（2）解：代入A、兩點可得：，，解得：，，故，，，，設原點到直線的距離為，則，解得：，故原點到直線的距離為；（3）解：存在，設點的坐標為，根據題意可知不為直角，所以當是直角三角形分兩種情況：①當時，此時點的坐標為；②當，，故，解得：，此時點的坐標為；綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．【點睛】本題考查了兩點間距離公式，坐標與圖形，求不規則圖形的面積，直角三角形的判定，解答的關鍵是采用分類討論的思想．2．（2023秋·遼寧沈陽·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸和y軸分別交于點B和點C，與直線相交于點，動點M在線段和射線上運動．(1)求點B和點C的坐標．(2)求的面積．(3)是否存在點M，使的面積是面積的？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)B的坐標為，點C的坐標為(2)12(3)存在，點M的坐標是或或【分析】（1）在中，令，則；令，則，從而可得答案；（2）直接利用三角形的面積公式進行計算即可；（3）設點M的坐標為，求解直線的表達式是，由，可得，當點M在線段上時，如圖①，則，此時，當點M在射線上時，如圖②，時，，則點的坐標是；時，，則點的坐標是．從而可得答案．【詳解】（1）解：在中，令，則；令，則．故點B的坐標為，點C的坐標為．（2）∵，，∴．（3）存在點M使．

理由如下：設點M的坐標為，直線的表達式是．∵，∴，解得．∴直線的表達式是．∵，∴．∴．當點M在線段上時，如圖①，則，此時，∴點M的坐標是．當點M在射線上時，如圖②，時，，則點的坐標是；時，，則點的坐標是．綜上所述，點M的坐標是或或．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數的解析式，求解一次函數與坐標軸的交點坐標，坐標與圖形，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．3．（2023·河北滄州·校考一模）如圖，直線l1的表達式為．且與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線l2經過點，且與直線l1交于點．(1)寫出點D的坐標，并求出直線l2的表達式；(2)連接，求的面積；(3)直線上是否存在一點P，使得的周長最小？若不存在，請說明理由；若存在，求出點P的坐標．【答案】(1)；(2)4(3)存在，，理由見解析【分析】（1）把點代入即可求得點D的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線的解析式；（2）由求得A、B的坐標，從而求得的長，然后根據三角形面積公式求得即可；（3）作點A關于直線l2的對稱點，連接交直線l2于P，連接，此時的值最小，即的周長最小，求出的坐標，然后求得直線的解析式，最后與直線的解析式聯立，解方程即可解決問題．【詳解】（1）解：∵直線經過點，∴，解得，∴，設直線的解析式為，∵直線經過點，，∴，解得，∴直線的解析式為；（2）由直線l1的表達式為可知，，∴，∴；（3）存在，理由如下：作點A關于直線的對稱點，連接交直線l2于P，連接，此時的值最小，即的周長最小，由直線l2為可知，，由軸對稱的性質可知，∴，∵，，∴設此時的解析式為，則有，解得，∴直線的解析式為，解得，∴．【點睛】本題考查了一次函數的性質、待定系數法求一次函數的解析式以及軸對稱最短問題等，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法、學會根據軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．4．（2023春·山東聊城·八年級校聯考期末）如圖，直線的函數解析式為，且與x軸交于點D，直線經過點A，B，直線、交于點C．

(1)求直線的函數解析式；(2)求的面積；(3)在直線上是否存在點P，使得面積是面積的3倍？如果存在，請求出P坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)3(3)存在，點的坐標為或【分析】（1）根據點、的坐標利用待定系數法即可求出直線的函數解析式；（2）令求出值，即可得出點的坐標，聯立兩直線解析式成方程組，解方程組即可得出點的坐標，再根據三角形的面積公式即可得出結論；（3）假設存在點，使得面積是面積的3倍，根據兩三角形面積間的關系得到，再利用待定系數法求出點的坐標．【詳解】（1）設直線的函數解析式為，將、代入得：，解得：，直線的函數解析式為．（2）聯立兩直線解析式成方程組得：，解得：，點的坐標為．當時，，點的坐標為．．（3）假設存在點，使得面積是面積的3倍．面積是面積的3倍，，當時，，此時點的坐標為；當時，，此時點的坐標為．綜上所述：在直線上存在點或，使得面積是面積的3倍．【點睛】本題考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求一次函數解析式，根據給定點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．5．（2023秋·山東濟南·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點，與y軸交于點，與直線交于點E．已知點D的坐標為，點C在A的左側且．(1)分別求出直線和直線的表達式；(2)在直線上，是否存在一點P，使得，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在坐標軸上，是否存在一點Q，使得是以為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，若點P在右側，；若點P在左側，(3)存在，或【分析】（1）用待定系數法求解即可；（2）先求出交點和，再分兩種情況：①若點P在右側，②若點P在左側，利用三角形面積，分別求解即可；（3）分兩種情況：①當時，交x軸于Q，②當時，交x軸于Q，分別求解即可．【詳解】（1）解：將，代入直線：，得：，解得：，∴直線：，∵，，∴，設直線：()將，代入直線：，得：，解得：，∴直線：．（2）解：聯立，解得：，∴，∴，①若點P在右側，∵，∴，∴，解得，∴②若點P在左側，∵S△BEP=8，∴，∴，解得，當時，，∴．（3）解：分兩種情況：①當時，交x軸于Q，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②當時，交x軸于Q，同理，∴，∵，，∴，由勾股定理，得，∴，∴，綜上，存在，或．【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式，從標與圖形，三解形面積，勾股定理，等腰直角三角形，注意分類討論思想的應用是解題的關鍵．【類型四一次函數中折疊問題】例題：（2023秋·山東濟南·八年級統考期末）如圖1，在同一平面直角坐標系中，直線：與直線：相交于點．與軸交于點，直線與軸交于點(1)填空：______，______，______；(2)如圖2．點為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交軸于點．①求線段的長度；②當點落在軸上時，求點的坐標；③若為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點的坐標．【答案】(1)(2)①；②點的坐標為；③點的坐標為或【分析】（1）把代入，求出，得直線：，再把代入，求出，得點的坐標，然后把代入，求出；（2）①根據折疊的性質得出，勾股定理即可求解；②過點作軸于點，作軸于點，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；③分兩種情況討論，當時，求出，得，得，得點坐標；當時，設，則，由勾股定理得：，求出，得點坐標．【詳解】（1）解：把代入，，，直線：，把代入，，把代入，，，；故答案為：．（2）①∵直線：令，解得，∴點的坐標為，∵∴，∵折疊，∴；②如下圖，過點作軸于點，作軸于點，則，，，，，點的坐標為；③如下圖，當時，由翻折得，，，，，點的坐標為；如圖，當時，設，則，在中由勾股定理得：，解得：，點的坐標為，綜上，點的坐標為或．【點睛】此題考查了一次函數，勾股定理，直角三角形的性質和判定，翻折的性質，解題的關鍵是作輔助線．【變式訓練】1．（2023春·八年級課時練習）如圖，直線與軸、軸分別交于點和點，點是線段上的一點，若將沿折疊，點恰好落在軸上的處，若是軸負半軸上一動點，且是等腰三角形，則的坐標為______．【答案】或或【分析】利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點，的坐標，利用勾股定理可求出的長度，進而可得出的長度，設，則在中，利用勾股定理即可得出關于的方程，解之即可得出的值，進而可得出點的坐標，進一步求得，然后分三種情況討論求得點的坐標即可．【詳解】當時，，點的坐標為；當時，，解得：，點的坐標為．．由折疊的性質可得，．設，則．在中，由勾股定理得：，即，解得：，點的坐標