2022–2023學年一模考前必刷卷03九年級數學·全解全析123456DDBCCD一．選擇題（共6小題）1．下列函數中是二次函數的是（）A．y＝ B．y＝（x+3）2﹣x2 C．y＝ D．y＝x（x﹣1）【分析】由二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），對選項中的解析式進行判斷即可．【解答】解：二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，故選：D．【點評】本題考查二次函數的定義；熟練掌握二次函數解析式的形式是解題的關鍵．2．已知反比例函數y＝，當x＞0時，y的值隨x的值增大而增大，下列四個選項中，可能是二次函數y＝2kx2﹣x﹣k圖象的選項是（）A． B． C． D．【分析】直接利用反比例函數的性質得出k的符號，再利用二次函數的性質得出答案．【解答】解：∵反比例函數y＝，當x＞0時，y的值隨x的值增大而增大，∴k＜0，∴二次函數y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，則圖象開口向下，﹣k＞0，則圖象與y軸交在正半軸上，又∵b＝﹣1＜0，∴二次項與一次項系數相同，則對稱軸在y軸左側，符合題意的只有選項D．故選：D．【點評】此題主要考查了反比例函數的性質以及二次函數的性質，正確掌握系數與圖象的關系是解題關鍵．3．如圖，已知在平面直角坐標系xOy內有一點A（2，3），那么OA與x軸正半軸的夾角α的余切值是（）A． B． C． D．【分析】過點A作AB⊥x軸，構造直角三角形，由坐標得出OB＝2，AB＝3，再根據余切的意義求出結果即可．【解答】解：過點A作AB⊥x軸，垂足為B，則OB＝2，AB＝3，在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝＝，故選：B．【點評】考查直角三角形的邊角關系，將坐標轉化為線段的長是解答的前提，利用余切的意義是解決問題的關鍵．4．下列命題正確的是（）A．如果||＝||，那么＝ B．如果、都是單位向量，那么＝ C．如果＝k（k≠0），那么∥ D．如果m＝0或＝，那么m＝0【分析】根據向量的定義和要素即可進行判斷．【解答】解：A．向量是既有大小又有方向，||＝||表示有向線段的長度，＝表示長度相等，方向相同，所以A選項不正確；B．長度等于1的向量是單位向量，所以B選項不正確；C.＝k（k≠0）?∥，所以C選項正確；D．如果m＝0或＝，那么m＝0，不正確．故選：C．【點評】本題考查了命題與定理，解決本題的關鍵是掌握向量的定義和要素．5．如果兩個圓的圓心距為3，其中一個圓的半徑長為4，另一個圓的半徑長大于1，那么這兩個圓的位置關系不可能是（）A．內含 B．內切 C．外切 D．相交．【分析】首先利用一個圓的半徑為4，另一個圓的半徑大于1來求得兩圓的半徑之差的范圍，然后根據圓心距d與兩半徑的關系判斷即可．【解答】解：∵一個圓的半徑R為4，另一個圓的半徑r大于1，∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5即：R﹣r＜3，∵圓心距為3，∴兩圓不可能外切，故選：C．【點評】本題考查了圓與圓的位置關系，解題的關鍵是根據兩圓的半徑的大小或取值范圍求得兩圓的半徑之差，然后根據圓心距與半徑的關系確定本題的答案．6．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，對角線的交點為點O．如果梯形ABCD的兩底邊長不變，而腰長發生變化，那么下列量中不變的是（）A．點O到邊AB的距離 B．點O到邊BC的距離 C．點O到邊CD的距離 D．點O到邊DA的距離【分析】以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，根據梯形ABCD的兩底邊長不變，腰長發生變化，可以設AB＝3，DC＝2，AD＝b，得A（0，0），B（3，0），D（0，b），C（2，b），可得直線AC和BD解析式，然后求出交點O的坐標，進而可得結論．【解答】解：如圖，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，∵梯形ABCD的兩底邊長不變，腰長發生變化，∴設AB＝3，DC＝2，AD＝b，∴A（0，0），B（3，0），D（0，b），C（2，b），∴直線AC解析式為：yAC＝x，直線BD解析式為：yBD＝﹣x+b，∴，解得，∴點O到邊DA的距離為，所以點O到邊DA的距離不變．故選：D．【點評】本題考查了直角梯形，解決本題的關鍵是掌握直角梯形的性質．二．填空題（共12小題）7．如果視線與水平線之間的夾角為36°，那么該視線與鉛垂線之間的夾角為54或126度．【分析】根據題意畫出圖形進而求出即可．【解答】解：如圖所示：當俯角是36°時，∵視線AB與水平線AD之間的夾角為36°，∴視線AB與鉛垂線AC之間的夾角為90°﹣36°＝54°，如圖所示，當仰角是36°時，∵視線AB與水平線AD之間的夾角為36°，∴視線AB與鉛垂線AC之間的夾角為90°+36°＝126°，故答案為：54或126．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解決本題的關鍵是掌握仰角與俯角的定義．8．已知三角形的三邊長為a、b、c，滿足，如果其周長為36，那么該三角形的最大邊長為16．【分析】設＝k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k，根據周長的定義得到2k+3k+4k＝36，解得k＝4，然后計算出a、b、c，從而得到最大邊長．【解答】解：設＝k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵三角形的周長為36，∴a+b+c＝36，即2k+3k+4k＝36，解得k＝4，∴a＝8，b＝12，c＝16，即該三角形的最大邊長為16．故答案為16．【點評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．9．如圖，過△ABC的重心G作上ED∥AB分別交邊AC、BC于點E、D，聯結AD，如果AD平分∠BAC，AB＝6，那么EC＝8．【分析】連接CG并延長，交AB于F．根據三角形重心的定義及性質可得，AF＝BF＝AB＝3，CG：GF＝2：1，即＝．根據平行線分線段成比例定理得出＝＝，求出DG＝EG＝2，那么DE＝4．利用角平分線定義及平行線的性質得出∠ADE＝∠DAC，那么AE＝DE＝4．再根據平行線分線段成比例定理即可求出CE＝8．【解答】解：如圖，連接CG并延長，交AB于F．∵G為△ABC的重心，∴AF＝BF＝AB＝×6＝3，CG：GF＝2：1，即＝．∵ED∥AB，∴＝＝，即＝＝，解得DG＝EG＝2，∴DE＝DG+EG＝2+2＝4．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠DAC，∴AE＝DE＝4．∵ED∥AB，∴＝＝，即＝，解得CE＝8．故答案為：8．【點評】本題考查了三角形重心的定義及性質，三角形的重心是三角形三邊中線的交點．重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定與性質，平行線的性質等知識．求出AE是解題的關鍵．10．已知線段MN的長為4，點P是線段MN的黃金分割點，那么較長線段MP的長是2﹣2．【分析】根據黃金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝4代入計算即可．【解答】解：∵線段MN的長為4，點P是線段MN的黃金分割點，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案為：2﹣2．【點評】本題考查了黃金分割的概念：如果一個點把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點；較長線段是整個線段的倍．11．已知一個銳角的正切值比余切值大，且兩者之和是3，則這個銳角的正切值為3．【分析】設這個銳角的正切值為t，根據余切的定義得到這個銳角的余切值為，則t+＝3，解分式方程得到t1＝3，t2＝，然后利用銳角的正切值比余切值大確定t的值．【解答】解：設這個銳角的正切值為t，則這個銳角的余切值為，根據題意得t+＝3，整理得3t2﹣10t+3＝0，解得t1＝3，t2＝，經檢驗t1＝3，t2＝都為原方程的解，因為一個銳角的正切值比余切值大，所以t＝3．即這個銳角的正切值為3．故答案為3．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．銳角A的鄰邊b與對邊b的比叫做∠A的余切，記作cotA．12．已知二次函數圖象經過點（3，4）和（7，4），那么該二次函數圖象的對稱軸是直線x＝5．【分析】根據二次函數圖象具有對稱性，由二次函數的圖象經過（0，3）、（4，3）兩點，可以得到該二次函數的圖象對稱軸．【解答】解：∵二次函數圖象經過點（3，4）和（7，4），∴該二次函數的圖象對稱軸為直線：x＝＝5，故答案為：x＝5．【點評】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是明確二次函數的性質，二次函數的圖象關于對稱軸對稱．13．如果拋物線y＝x2+（b+3）x+2c的頂點為（b，c），那么該拋物線的頂點坐標是（﹣1，1）．【分析】根據二次函數的頂點公式求出b、c的值即可．【解答】解：根據頂點公式：b＝﹣，解得：b＝﹣1，c＝＝，解得：c＝1．所以拋物線的頂點坐標是（﹣1，1）故答案為：（﹣1，1）．【點評】此題主要考查了根據二次函數的頂點公式求值，熟練記憶二次函數頂點公式是解題關鍵．14．已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為3和6，則該三角形的重心到其直角頂點的距離是．【分析】先根據勾股定理求出斜邊的長度，再利用重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1求解可得答案．【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊長分別為3和6，∴斜邊的長度為＝3，∴該三角形的重心到其直角頂點的距離是××3＝，故答案為：．【點評】本題主要考查三角形的重心和勾股定理，解題的關鍵是掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1及勾股定理．15．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，則△ABC的面積是10．【分析】首先作過AAH⊥BC，再利用∠B＝60°，AB＝5，求出AH＝，即可得出結果．【解答】解：過A作AH⊥BC于H，如圖所示：在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠B＝60°，AB＝5，∴sinB＝，∴AH＝AB?sinB＝5×sin60°＝5×＝，∴S△ABC＝AH?BC＝××8＝10，故答案為：10．【點評】本題考查了解直角三角形以及三角形面積熟練掌握銳角三角函數定義是解題的關鍵．16．已知點P位于第二象限內，OP＝5，且OP與x軸負半軸夾角的正切值為2，則點P的坐標是（﹣，2）．【分析】過點P作PA⊥x軸于點A，根據OP＝5，tanα＝2可求出OA、AP的數量關系，再根據勾股定理可求出PA，由此即可得出點P的坐標．【解答】解：過點P作PA⊥x軸于點A，如圖所示．∵tanα＝2，∴＝2，則AP＝2AO．∵OP＝5，∴AO＝，∴PA＝2，∴點P的坐標為（﹣，2）．故答案是：（﹣，2）．【點評】本題主要考查了勾股定理和解直角三角形，通過解直角三角形得到AP＝2AO是解題的關鍵．17．如圖，一個管道的截面圖，其內徑（即內圓半徑）為10分米，管壁厚為x分米，假設該管道的截面（陰影）面積為y平方分米，那么y關于x的函數解析式是y＝πx2+20πx．（不必寫定義域）【分析】根據圓環面積等于大圓面積減去小圓面積，求解即可．【解答】解：由題意，y＝π?（10+x）2﹣π?102，∴y＝πx2+20πx．故答案為：y＝πx2+20πx．【點評】本題考查圓的面積，函數關系式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，點P在邊AC上，⊙P的半徑為1．如果⊙P與邊BC和邊AB都沒有公共點，那么線段PC長的取值范圍是1＜CP＜．【分析】根據勾股定理得到AC＝4，當⊙P與AB相切時，設切點為D，如圖，連接PD，則PD⊥AB，根據相似三角形的性質可得到結論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，當⊙P與AB相切時，設切點為D，如圖，連接PD，則PD⊥AB，∴∠C＝∠ADP＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴，∴＝，∴PA＝，∴PC＝AC﹣PA＝，∴線段PC長的取值范圍是1＜CP＜，故答案為：1＜CP＜．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．三．解答題（共7小題）19．將二次函數y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，求所得圖象的函數解析式；請結合以上兩個函數圖象，指出當自變量x在什么取值范圍內時，上述兩個函數中恰好其中一個的函數圖象是上升的，而另一個的函數圖象是下降的．【分析】根據平移的規律得到平移后的解析式，然后根據二次函數的性質即可求得．【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴將二次函數y＝x2+2x+3的圖象向右平移3個單位，得到函數y＝（x+1﹣3）2+2，即y＝（x﹣2）2+2，∵二次函數y＝（x+1）2+2的圖象在x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，二次函數y＝（x﹣2）2+2的圖象在x＜2時，y隨x的增大而減小，∴當﹣1＜x＜2時，兩個函數中恰好其中一個的函數圖象是上升的，而另一個的函數圖象是下降的．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．20．在平面直角坐標系中，將拋物線C1：y＝x2﹣2x向左平移2個單位，向下平移3個單位得到新拋物線C2．（1）求新拋物線C2的表達式；（2）如圖，將△OAB沿x軸向左平移得到△O′A′B′，點A（0，5）的對應點A′落在平移后的新拋物線C2上，求點B與其對應點B′的距離．【分析】（1）根據平移規律“左加右減，上加下減”解答；（2）把y＝5代入拋物線C2求得相應的x的值，即可求得點A′的坐標，根據平移的性質，線段AA′的長度即為所求．【解答】解：（1）由拋物線C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1知，將其向左平移2個單位，向下平移3個單位得到新拋物線C2的表達式是：y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3，即y＝（x+1）2﹣4；（2）由平移的性質知，點A與點A′的縱坐標相等，所以將y＝5代入拋物線C2，得（x+1）2﹣4＝5，則x＝﹣4或x＝2（舍去）所以AA′＝4，根據平移的性質知：BB′＝AA′＝4，即點B與其對應點B′的距離為4個單位．【點評】考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法確定函數解析式，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．并用規律求函數解析式．21．如圖，一個3×3的網格，其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網格點．（1）在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構成的三角形與△ABC相似？請說明理由；（2）＝，＝，寫出向量關于、的分解式．【分析】（1）利用勾股定理求出三角形的邊長，再利用三邊成比例兩三角形相似證明即可．（2）利用三角形法則求解即可．【解答】解：（1）△NAB∽△ACB．理由：∵AB＝，BC＝1，AC＝，BN＝2，AN＝，∴＝＝＝，∴△NAB∽△ACB．（2）如圖，向量關于、的分向量分別為，，則＝﹣3，＝2．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，平面向量等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．22．如圖，是小明家房屋的縱截面圖，其中線段AB為屋內地面，線段AE、BC為房屋兩側的墻，線段CD、DE為屋頂的斜坡．已知AB＝6米，AE＝BC＝3.2米，斜坡CD、DE的坡比均為1：2．（1）求屋頂點D到地面AB的距離；（2）已知在墻AE距離地面1.1米處裝有窗ST，如果陽光與地面的夾角∠MNP＝β＝53°，為了防止陽光通過窗ST照射到屋內，所以小明請門窗公司在墻AE端點E處安裝一個旋轉式遮陽棚（如圖中線段EF），公司設計的遮陽棚可作90°旋轉，即0°＜∠FET＝α≤90°，長度為1.4米，即EF＝1.4米．試問：公司設計的遮陽棚是否能達到小明的要求？說說你的理由．（參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈3.16，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝）．【分析】（1）通過作輔助線，利用斜面的坡比為1：2，求出DH，進而求出DG即可；（2）過點S作MN的平行線交AB于R，過E作EQ⊥SR，在Rt△QES中，求出QE，比較QE與EF的大小即可得出答案．【解答】解：（1）連接EC，則四邊形ABCE是矩形，過點D作DH⊥AB，垂足為H，交EC于點G，∵斜坡CD、DE的坡比均為1：2，∴＝＝，又∵EG＝CG＝AH＝BH＝AB＝3，∴DG＝1.5，∴DH＝1.5+3.2＝4.7（米），即屋頂點D到地面AB的距離為4.7米；（2）公司設計的遮陽棚能夠達到小明的要求，理由如下：過點S作MN的平行線交AB于R，過E作EQ⊥SR，垂足為Q，則∠QES＝∠SRA＝∠MNP＝∠β＝53°，在Rt△QES中，ES＝AE﹣AS＝3.2﹣1.1＝2.1，∠QES＝53°，∴QE＝ES?cos∠QES＝2.1×cos53°＝1.26（米），∵1.26＜1.4，即QE＜EF，∴公司設計的遮陽棚能夠達到小明的要求，答：公司設計的遮陽棚能夠達到小明的要求．【點評】本題考查解直角三角形，理解坡比的意義、構造直角三角形是解決問題的關鍵．23．某班級的“數學學習小組心得分享課”上，小智跟同學們分享了關于梯形的兩個正確的研究結論：①如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，過對角線交點的直線與兩底分別交于點M、N，則；②如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，過兩腰延長線交點P的直線與兩底分別交于點K、L，則．接著小明也跟同學們分享了關于梯形的一個推斷：過梯形對角線交點且平行于底邊的直線被梯形兩腰所截，截得的線段被梯形對角線的交點平分．（1）經討論，大家都認為小明所給出的推斷是正確的．請你結合圖示（見答題卷）寫出已知、求證，并給出你的證明；（2）小組還出了一個作圖題考同學們：只用直尺將圖3中兩條平行的線段AB、CD同時平分．請保留作圖過程痕跡，并說明你作圖方法的正確性（可以直接運用小智和小明得到的正確結論）．（注意：請務必在試卷的圖示中完成作圖草稿，在答題卷上直接用2B鉛筆或水筆完成作圖，不要涂改．）【分析】（1）寫出已知，求證，證明即可．（2）連接CA，DB，延長CA交DB延長線于點F，連接AD，BC交于點F，作直線EF交AB于點M，交CD于點N，點M，N即為所求作．【解答】解：（1）已知：如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AC與BD交于點O，EF經過點O，且EF∥BC，求證：OE＝OF．證明：∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴＝，＝，∵AD∥BC，∴＝，∴＝，∴EO＝OF．（2）如圖3中，點M，N即為所求作．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，梯形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24．在平面直角坐標系xOy中，如果拋物線y＝ax2+bx+c上存在一點A，使點A關于坐標原點O的對稱點A′也在這條拋物線上，那么我們把這條拋物線叫做回歸拋物線，點A叫做這條拋物線的回歸點．（1）已知點M在拋物線y＝﹣x2+2x+4上，且點M的橫坐標為2，試判斷拋物線y＝﹣x2+2x+4是否為回歸拋物線，并說明理由；（2）已知點C為回歸拋物線y＝﹣x2﹣2x+c的頂點，如果點C是這條拋物線的回歸點，求這條拋物線的表達式；（3）在（2）的條件下，所求得的拋物線的對稱軸與x軸交于點D．聯結CO并延長，交該拋物線于點E，點F是射線CD上一點，如果∠CFE＝∠DEC，求點F的坐標．【分析】（1）先求出點M坐標，M'的坐標，代入解析式可求解；（2）先求出點C坐標，C'的坐標，利用回歸點的定義可求解；（3）通過證明△CEF∽△CDE，可得，可求CF＝10，即可求解．【解答】解：（1）拋物線y＝﹣x2+2x+4是回歸拋物線，理由如下：∵點M在拋物線y＝﹣x2+2x+4上，∴y＝﹣4+4+4＝4，∴點M（2，4），∴點M關于坐標原點O的對稱點M'（﹣2，﹣4），當x＝﹣2時，y＝﹣4﹣4+4＝﹣4，∴點M'在拋物線上，∴拋物線y＝﹣x2+2x+4是回歸拋物線；（2）∵點C為回歸拋物線y＝﹣x2﹣2x+c的頂點，∴點C（﹣1，c+1），∴點C關于原點O的對稱點C'（1，﹣c﹣1），∵點