第一章 數制與編碼1第一章 數

制

與

編

碼進位計數制數制轉換編碼第一章 數制與編碼1數字設備及計算機存在兩種不同類型的運算：邏輯運算和算術運算。邏輯運算實際上是實現某種控制功能，而算術運算是對數據進行加工。算術運算的對象是數據，因此對數的基本特征和性質應有所了解。同時，數字設備中采用二進制數，因而，在數字設備中表示的數、字母、符號等等都要以特定的二進制碼來表示——這就是二進制編碼。所以本章將對數制的一些基本知識進行介紹，同時還將介紹一些常用的編碼。第一章 數制與編碼11.1

進位計數制目前計數通常采用進位計數法。進位計數法是將數劃分為不同的數位，按位進行累計，累計到一定數量之后，又從零開始，同時向高位進位。由于位數不同，因此同樣的數碼在不同的數位中所表示的數值是不同的，低位數值小，高位數值大。進位計數法使用較少的數碼就能表示較大的數。第一章 數制與編碼1每個數位規定使用的數碼符號的總數，稱為進位基數，又稱進位模數，用R表示。若每位數碼用ai表示，n為整數的位數，m為小數的位數，則進位計數制表示數的式子為N=an－1an－2…ai…a1a0a－1a－2…a－m當某位的數碼為1時所表征的數值，稱為該數位的權值。第一章 數制與編碼1權值隨數位的增加呈指數規律增加，最低位的權值為1，第i位的權值為Ri。這樣，第i

位數碼ai所表示的絕對值就是數碼ai乘上該位數的權值，即ai×Ri。故上式可寫成下述按權展開式N=an－1Rn－1+…+aiRi+…+a0R0+a－1R－1+…+a－mR－m該式對任何進位制均是適用的。第一章 數制與編碼11.1.1

十進制十進制是人們最熟悉的一種數制，它的進位規則是

“逢十進一”。每位數碼用下列十個符號之一表示，即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。例如一個多位十進制數為N=(1989.524)D下標D表示十進制數。根據位權的概念寫出按權展開式：N=1×103+9×102+8×101+9×100+5×10－1+2×10－2+4×10－3第一章 數制與編碼11.1.2

二進制二進制是目前數字設備、計算機采用的數制。它的進位規則是“逢二進一”，

每位數碼只有下列兩個符號：

0，1。

而表示兩種狀態的電路是很容易實現的，

例如，

三極管的導通與截止，

節點電位的高與低，

繼電器的閉合與斷開等。 一個多位二進制數表示如下：N=（1101.01)B第一章 數制與編碼1下標B表示為二進制。其按權展開式為N=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2－1+1×2－2為便于理解和熟悉二進制，下面列出十進制數和二進制數的關系式：(1101.01)B=1×23+1×22+1×20+1×2－2=8+4+1+0.25=(13.25)D第一章 數制與編碼1二進制書寫起來太長，故在數字設備和計算機中，常采用八進制或十六進制，可有效地縮短字長。因8=23，16=24，故一位八進制數相當于三位二進制數，一位十六進制數相當于四位二進制數，這樣就分別將字長縮短為原來的1/3和1/4。第一章 數制與編碼11.1.3

八進制和十六進制八進制的進位規則是“逢八進一”，每位數碼用下列八個符號之一表示：0，1，2，3，4，5，6，7。一個多位八進制數表示如下：N=（37.4)O下標O表示為八進制。其按權展開式為N=3×81+7×80+4×8－1=24+7+0.5=(31.5)O第一章 數制與編碼1為便于比較，表1-1列出不同數制的對照關系。由表可以十分方便寫出二進制與八進制、十六進制的關系：10101100.1001=(254.44)O=(AC.9)H由于二進制機器實現起來十分容易，而十進制為人們熟悉，八進制和十六進制可壓縮字長，因此，這幾種數制都會用到，這樣必然會遇到不同數制之間的轉換問題。第一章 數制與編碼1第一章 數制與編碼1.2

數制轉換1.2.1

其它進制數與十進制數相互轉換11.其它進制數轉換為十進制數其它進制數轉換為十進制數用加權法，即將其它進制數寫成按權展開式，然后各項相加，則得相應的十進制數。［例1］

N=(1011.011)B=(?)D按權展開N=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2－1+1×2－2+1×2－3=8+2+1+0.25+0.125=(11.375)D今后數碼為0的那些項可以不寫。第一章 數制與編碼1［例2］

N=(153.07)O=(?)DN=1×82+5×81+3×80+7×8－2=64+40+3+0.109

375=(107.109

375)D［例3］

N=（E93.A)HN=14×162+9×161+3×160+10×16－1=3584+144+3+0.625=(3731.625)D第一章 數制與編碼12.十進制數轉換為其它進制數十進制數分為整數和小數兩部分，它們的轉換方法不同。整數轉換，采用基數除法，即將待轉換的十進制數除以將轉換為新進位制的基數，取其余數，其步驟如下：第一章 數制與編碼1將待轉換十進制數除以新進位制基數R，其余數作為新進位制數的最低位（LSB）；將前步所得之商再除以新進位制基數R，記下余數，作為新進位制數的次低位；重復步驟（2），將每次所得之商除以新進位制基數，記下余數，得到新進位制數相應的各位，直到最后相除之商為0，這時的余數即為新進位制數的最高位(MSB)。第一章 數制與編碼1［例4］

(241)D=(？)B=(？)O=(？)H即第一章 數制與編碼1當得到二進制數后，可直接通過二進制數寫出八進制和十六進制數。純小數部分的轉換，采用基數乘法，即將待轉換的十進制的純小數，逐次乘以新進位制基數R，取乘積的整數部分作為新進位制的有關數位。第一章 數制與編碼1步驟如下：將待轉換的十進制純小數乘以新進位制基數R，取其整數部分作為新進位制純小數的最高位；將前步所得小數部分再乘以新進位制基數R，取其積的整數部分作為新進位制小數的次高位；重復前一步，直到小數部分變成0時，轉換結束。或者小數部分雖未變成0，但新進位制小數的位數已達到預定的要求（如位數的要求或者精度的要求）時，轉換也可

結束。第一章 數制與編碼1［例5］

(0.875)D=(?)B即(0.875)D=(0.111)B第一章 數制與編碼1［例6］

(0.39)D=(?)B即第一章 數制與編碼1此例中不能用有限位數實現準確的轉換。轉換后的小數究竟取多少位合適呢？實際中常用指定轉換位數，如指

定轉換為八位，則（0.39)D=(0.01100011)B；也可根據轉換精度確定位數。如此例要求轉換精度優于0.1%，即引入一個小于1/210=1/1024的舍入誤差，則轉換到第十位時，轉

換結束。如果是一個有整數又有小數的數，則整數小數應分開轉換，再相加得轉換結果。第一章 數制與編碼1［例7］

（52.375)D=(?)B整數為52，按整數轉換方法——基數除法進行轉換。即(52.375)D=(110100.011)B第一章 數制與編碼11.2.2 二進制數與八進制數、十六進制數的相互轉換由于二進制數與八進制數和十六進制數之間正好滿足23和24關系，因此它們之間的轉換十分方便。二進制數轉換為八進制數、十六進制數時，將二進制數由低位向高位每三位或每四位一組，若最高位一組不足位，則整數在有效位左邊加0，小數在有效位的右邊加0，然后按每組二進制數轉換為八進制數或十六進制數。第一章 數制與編碼1［例8］

(111010101.110)B=(?)O=(?)H(111010101.110)B=111/010/101.110=(725.6)O=0001/1101/0101.1100=(1D5.C)H八進制數、十六進制數轉為二進制數是上述的逆過程，分別將每位八進制數或十六進制數用二進制代碼寫出來，

然后寫成相應的二進制數。第一章 數制與編碼［例9］

(563)O=(?)B,(563)H=(?)B(563)O=101/110/011=(101110011)B1(563)H=0101/0110/0011=(10101100011)B當要求將八進制數和十六進制數相互轉換時，可通過二進制來完成。第一章 數制與編碼1［例10］

(8FC)H=(？)O(8FC)H=1000/1111/1100=(100011111100)B=100/011/111/100=(4374)O第一章 數制與編碼11.3

編

碼在數字設備中，任何數據和信息都是用代碼來表示的。在二進制中只有兩個符號，如有n位二進制，它可有2n種不同的組合，即可以代表2n種不同的信息。指定某一組合去代表某個給定的信息，這一過程就是編碼，而將表示給定信息的這組符號叫做碼或代碼。實際上，前面討論數制時，我們用一組符號來表示數，這就是編碼過程。由于指定可以是任意的，故存在多種多樣的編碼方案。本節將討論幾種常用的編碼。第一章 數制與編碼11.3.1

二—十進制（BCD）碼由于二進制機器容易實現，所以數字調和中廣泛采用二進制。但是，人們對十進制熟悉，對二進制不習慣。兼顧兩者，我們用一組二進制數符來表示十進制數，這就是用二進制碼表示的十進制數，簡稱BCD碼（Binary

CodedDecimal的縮寫）。它具有二進制數的形式，卻又具有十進制數的特點。它可以作為人與數字系統聯系的一種中間表示。第一章 數制與編碼1一位十進制數有0~9十個數符，必須用四位二進制數來表示，而四位二進制數有十六種組態，指定其中的任意10個組態來表示十進制的十個數，其編碼方案是很多的，即而目前使用的編碼還未到十種。

BCD編碼大致分為有權BCD碼和無權BCD碼。從十六種組合中取出10種組合，組成BCD碼，余下的6種組合對應的代碼為非法碼，不允許出現，否則將產生錯誤。第一章 數制與編碼11.有權BCD碼在有權BCD碼中，每一個十進制數符均用一個四位二進制碼來表示，這四位二進制碼中的每一位均有固定權，即表示固定的數值。常見的有權BCD碼如表1-2前三列所示。第一章 數制與編碼1第一章 數制與編碼1表中所列權值就是該編碼方式相應各位的權，如8421BCD碼，它們的權值由高到低各位權值為8、4、2、1。代碼為1001，其值為8+1=9。而同一代碼1001，對應其它代碼所表示的數就不同。

5421碼為6；2421碼為3，其原因是權值不同。有權碼的按權展開式為N=a3W3+a2W2+a1W1+a0W0第一章 數制與編碼1式中a3~a0為各位的代碼，W3~W0為各位的權值。按上式可以由給定編碼方案，求出各位的權值；也可由給定的權值，求出其編碼方案。有權BCD碼中用得最多的是8421BCD碼，因為它最直觀，取四位二進制的前十種代

碼，能很容易地實現8421BCD到十進制數的相互轉換。如十進制數586.13用8421BCD碼表示為586.13=0101

1000

0110.0001

0011第一章 數制與編碼1同樣地，要將8421BCD碼轉換為十進制數，則只要從最低位開始，將BCD碼按四位一組，然后按8421BCD碼的權值寫出十進制數即可。如(0011011110010110)8421BCD=0011/0111/1001/0110=3796如要將BCD碼轉為十進制數、八進制數、十六進制數，則首先應將BCD碼轉為十進制數，然后再按前節所講的十進制與其它進制的轉換方法進行轉換。第一章 數制與編碼12.無權BCD碼余3代碼是一種無權碼，四位二進制中每一位均無固定的權位，它與8421BCD有如下的關系：余3BCD=8421BCD+3如余3BCD的1100所代表的十進制數為8+4－3=9。第一章 數制與編碼11.3.2

可靠性代碼代碼在產生和傳輸的過程中難免發生錯誤。為減少錯誤的發生，或者在發生錯誤時能迅速地發現或糾正，廣泛采用了可靠性編碼技術。利用該技術編制出來的代碼叫可靠性代碼，最常用的有格雷碼和奇偶校驗碼。第一章 數制與編碼11.格雷(Gray)碼具有如下特點的代碼叫格雷碼：任何相鄰的兩個碼組(包括首、尾兩個碼組)中，只有一個碼元不同。在編碼技術中，把兩個碼組中不同碼元的個數叫做這兩個碼組的距離，簡稱碼距。由于格雷碼的任意相鄰的兩個碼組的距離均為1，故又稱之為單位距離碼。另外，由于首、尾兩個碼組也具有單位距離特性，因而格雷碼也叫循環碼。格雷碼屬于無權碼。第一章 數制與編碼1下面列出二、三、四位格雷碼，從中可找出一定的規律。第一章 數制與編碼1其規律如下：以虛線為界，將高位0改為1，其余各位倒著往上數，順著往下寫，即得格雷碼。按此規律可以寫出更多位的格雷碼。格雷碼的單位距離特性可以降低其產生錯誤的概率，并且能提高其運行速度。例如，為完成十進制數7加1的運算，當采用四位自然二進制碼時，計數器應由0111變為1000，由于計數器中各元件特性不可能完全相同，因而各位數碼不可能同時發生變化，可能會瞬間出現過程性的錯碼。第一章 數制與編碼1變化過程可能為0111→1111→1011→1001→1000。雖然最終結果是正確的，但在運算過程中出現了錯碼1111、1011、1001，這會造成數字系統的邏輯錯誤，而且使運算速度降低。若采用格雷碼，由7變成8，0100→1100只有一位發生變化，就不會出現上述錯碼，而且運算速度會明顯提高。格雷碼也可組成BCD碼，如表1-2所示。第一章 數制與編碼12.奇偶校驗碼奇偶校驗碼是一種可以檢測一位錯誤的代碼，它由信息位和校驗位兩部分組成。信息位可以是任何一種二進制