2.4線段、角的軸對稱性（4）分層練習考查題型一角平分線的性質定理和判定定理的綜合運用1．（2022秋·全國·八年級專題練習）我們知道：三角形的三條角平分線交于一點．如圖，要證明三角形的三條角平分線交于一點，慧慧、明明同學分別進行了如下分析：慧慧分析：要證明三角形的三條角平分線交于一點，只需證明其中的兩條角平分線的交點一定在第三條角平分線上就可以了．明明分析：明明用下面框圖分析如下，下面四個選項中說法正確的是（

）A．慧慧分析正確，明明分析錯誤． B．慧慧分析錯誤，明明分析正確．C．慧慧、明明的分析都正確． D．慧慧、明明的分析都錯誤．【答案】C【詳解】解：根據題意，兩人的分析方法一致，故都正確故選C2．（2022秋·北京西城·八年級校考期中）小明在沒有量角器和圓規的情況下，利用刻度尺和一副三角板畫出了一個角的平分線，他的做法是這樣的：如圖，（1）利用刻度尺在∠AOB的兩邊OA，OB上分別取OM=ON：（2）利用兩個三角板，分別過點M，N畫OM，ON的垂線，交點為P；（3）畫射線OP，則射線OP為∠AOB的平分線，小明這種畫法的依據是（

）A．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等B．角及夾邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等C．一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上D．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等；全等三角形的對應角相等【答案】D【分析】A．此選項所說是角平分線的性質，本題是要求證OP為∠AOB的平分線，此選項錯誤．B．由題意可知OM=ON，OP＝OP，∠OMP=∠ONP，不是“邊角邊”判定，且不能證明全等，此選項錯誤．C．此選項所說為角平分線的判定，本題由題意不能直接使用角平分線的判定，可間接證PM=PN后可使用角平分線的判定，不符合題意．D．題意可知，OM=ON，OP=OP，可用HL判定△OMP≌△ONP，可證得∠MOP=∠NOP，此選項正確．利用斜邊直角邊判定兩直角三角形全等．【解析】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中OP=OP∴△OMP≌△ONP∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠AOB．故選D3．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考期中）在學習完角平分線性質與角平分線逆定理后，我們只在三角形內部研究，如果延伸到三角形的外角會發什么變化呢？請同學們完成以下題目()知識回顧知識延伸已知點O為∠ABC與∠ACB的角平分線交點，通過證明，可得點O在∠A的角平分線上．已知點P為△NMK兩外角角平分線的交點，若∠NPK=50°，則∠PMK=()A．50° B．55° C．45° D．40°【答案】D【解析】解：過點P作PE⊥MN于點E，PF⊥MK于點F，∵點P為△NMK兩外角角平分線的交點，∴PE=PQ=PF，∴MP平分，∵PE⊥MN于點E，PQ⊥NK于點∴∠PEN=∠PQN=90°，∵PN平分∠ENK，∴∠ENP=∠QNP，∴∠EPN=∠QPN，同理，∠FPK=∠QPK，∴∠NPK=1∵∠NPK=50°，∴∠EPF=100°，∵PE⊥MN于點E，PF⊥MK于點∴∠PEN=∠PFK=90°，∴∠NMK=80°，∴∠PMK=1故選：D．4．（2021秋·廣東中山·八年級校聯考期中）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，，則①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S

【答案】①②③④【解析】解：①如圖，過點P作PD⊥AC于D，

∵BP平分∠ABC，PM⊥BE，，∴PM=PN，∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC，，∴PN=PD，∵PN⊥BF，PD⊥AC，∴CP平分∠ACF，①結論正確；②∵PM⊥BE，PD⊥AC，，∴∠PMA=∠PDA=∠PNB=90°，在Rt△PAM和PM=PDPA=PA∴Rt，同理可得，Rt△，∴∠MPN=∠APM+∠APD+∠CPD+∠CPN=2∠APD+∠CPD∵∠ABC+∠PNB+∠MPN+∠PMA=360°，∴∠ABC+∠MPN=360°-∠PNB-∠PMA=180°，，②結論正確；③∵AP平分∠EAC，∴∠CAE=2∠MAP，∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，∴∠ABC+∠ACB=2∠ABP+∠APB∵BP平分∠ABC，，∴2∠ABP+∠ACB=2∠ABP+2∠APB，，③結論正確；④由②可知，∴Rt△PAM≌∴S△PAM=∵S∵∴S△APM+∴正確的結論是①②③④，故答案為：①②③④5．（2023秋·八年級課時練習）如圖，于點C，PD⊥OB于點D，PC=PD．Q是OP上一點，QE⊥OA于點E，QF⊥OB于點F．求證：QE=QF．【解析】證明：∵，PD⊥OB，PC=PD，∴OP是∠AOB的平分線，∵QE⊥OA，QF⊥OB，∴QE=QF．考查題型二垂直平分線與角平分線的綜合應用1．（2022秋·云南文山·八年級校考期末）以下四個命題中：①等腰三角形的兩個底角相等；②角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；③對頂角相等；④線段垂直平分上的點與這條線段兩個端點的距離相等．原命題與逆命題都是真命題的個數有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，原命題與逆命題同時成立；②“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”的逆命題是“角的平分線上的點到角的兩邊距離相等”，原命題與逆命題同時成立；③“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”，原命題成立，逆命題不成立；④“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”的逆命題是“到線段兩個端點的距離相等的點在線段垂直平分線上”，原命題與逆命題同時成立．故選：C.2．（2022秋·江蘇徐州·八年級校考階段練習）如圖，每一個小方格的邊長都是1，五邊形的每一個頂點都在格點上．(1)利用網格，作出∠BCD的角平分線；(2)連接AD，利用網格作AD的垂直平分線，與∠BCD的角平分線交于點O．【解析】（1）解：如圖，CF即為∠BCD的角平分線；（2）解：如圖，直線EO即為AD的垂直平分線．3．（2023秋·山東聊城·八年級校考期末）如圖，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，連接DE．(1)求證：∠CDE=∠CED；(2)猜想DE與OC的位置關系？并說明理由．【解析】（1）證明：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE，∴∠CDE=∠CED；（2）解：OC是線段DE的垂直平分線，理由如下，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵CD=CE，OC=OC，∴Rt△∴OD=OE，又∵CD=CE，∴OC是線段DE的垂直平分線．4．（2023春·全國·八年級開學考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點Q，交AC于點G，QM⊥BC于點M，求MC的長度．【解析】（1）證明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：連接AQ，CQ，過點Q作BA的垂線交BA的延長線于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．考查題型三結合尺規作圖解決實際問題1．（2023春·山東棗莊·八年級校考階段練習）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發現，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據是（

）A．角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．B．角平分線上的點到角兩邊的距離相等．C．三角形三個內角的平分線交于同一個點．D．三角形三個內角的平分線的交點到三條邊的距離相等．【答案】A【解析】解：如圖，過點P作PE⊥AO于E點，PF⊥BO于F點，∵兩把長方形直尺完全相同，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選：A．2．（2023·全國·八年級假期作業）如圖，三條公路兩兩相交于A、B、C三點，現計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，則可供選擇的地方有處?(陰影部分不能修建超市)【答案】3【解析】解：如圖所示，ΔABC的內角平分線的交點O1，外角平分線的交點O∵陰影部分不能修建超市，O4不能修建超市，故滿足條件的修建點共有3處，即點O1故答案為：3．3．（2023春·山東淄博·七年級統考期末）如圖，某地有兩個村莊M，N，和兩條相交的公路OA，OB，現計劃在∠AOB內修建一個物資倉庫P，希望倉庫到兩個村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請你確定物資倉庫P的位置．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）【解析】連接MN，作線段MN的垂直平分線，與∠AOB的平分線交于點P，則點P到點M，N的距離相等，到OA，OB的距離相等，作圖如下，點P即為所求，

（2022秋·江蘇南京·八年級統考期中）我們在學習《2.4線段、角的對稱性（4）》這節課的時候，課本中的例2證明了“三角形的三條角平分線相交于一點”，我們再重溫一遍證明過程．(1)請補全課本例2的證明過程；例2

已知：如圖，△ABC的角平分線相交于點P．求證：點P在∠C的平分線上．證明：過點P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC，垂足分別為F、M、N．∵AD平分∠BAC，點P在AD上，∴．同理．∴．∴點P在∠C的平分線上．(2)運用上述結論解決下面的問題：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AH⊥BC，垂足為H，點D、E在AH上，且∠CBD=∠DBE=∠EBA，連接CD并延長，交AB于點F，連接EF．求證：【答案】(1)PF=PN；PM=PF；PM=PN【解析】（1）證明：過點P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC，垂足分別為F、M、N．∵AD平分∠BAC，點P在AD上，∴PF=PN，同理PM=PF．∴PM=PN．∴點P在∠C的平分線上．故答案為：PF=PN；PM=PF；PM=PN（2）證明：如圖，連接CE，∵∠BAC=90°,AB=AC,AH⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=45°，AH垂直平分BC，∴∠CBD=∠DBE=∠EBA=15°，BE=CE，∴∠DCH=∠DBH,∠ECH=∠EBH,∠A