_空間向量期末復(fù)習(xí)知識(shí)要點(diǎn):空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。感謝閱讀注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。感謝閱讀空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。感謝閱讀OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)運(yùn)算律：⑴加法交換律：abba⑵加法結(jié)合律：(ab)ca(bc)⑶數(shù)乘分配律：(ab)ab3.共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作a//b。當(dāng)我們說向量a、b共線（或a//b）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b≠0），a//b存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λ。共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。精品文檔放心下載說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)x,y使pxayb。謝謝閱讀5.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使pxaybzc。感謝閱讀若三向量a,b,c不共面，我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空感謝閱讀間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)精品文檔放心下載x,y,z，使OPxOAyOBzOC。精品文檔放心下載6.空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量 a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作謝謝閱讀_OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb,a；若a,b2，則稱a與b互相垂直，記作：ab。感謝閱讀（2）向量的模：設(shè)OAa，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a|。（3）向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則|a||b|cosa,b叫做a,b的數(shù)量積，記感謝閱讀作ab，即ab|a||b|cosa,b。謝謝閱讀（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①ae|a|cosa,e。②abab0。③|a|2aa。感謝閱讀（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：(a)b(ab)a(b)。②abba（交換律）。感謝閱讀③a(bc)abac（分配律）。謝謝閱讀7.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1).向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)則謝謝閱讀123123(1)a＋b＝(ab,ab,ab)；(2)a－b＝(ab,ab,ab)；112233112233(3)λa＝(a,a,a)(λ∈R)；(4)a·b＝ababab；123112233(2).設(shè)A(x,y,z)，B(x,y,z)，則ABOBOA=(xx,yy,zz).111222212121(3).設(shè)a(x,y,z)，b(x,y,z)，則111222|a|2aa=x2y2z2111abab(b0)；abab0xxyyzz0.(4).夾角公式設(shè)a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)，121212123123則cosa,bababab.112233a2a2a2b2b2b2123123(5)．異面直線所成角cos|cosa,b|ab||xxyyzz|.|=121212|a||b|x2y2z2x2y2z2111222(6).直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為精品文檔放心下載|ne|φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝|n||e|.謝謝閱讀(7). 二面角的求法_(1)如圖①，AB，CD是二面角α l β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小謝謝閱讀θ＝〈AB，CD〉．(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角αlβ的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．感謝閱讀coscosn,nnn1212nn12練習(xí)題：1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，則x的值是()A．3B．4C．5D．62．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，則()15A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝215C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝23．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝→→3，且a分別與AB，AC垂直，則向量a為()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)4．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，則|a－2b|＝________.感謝閱讀5．如圖所示，1 1已知正四面體ABCD中，AE＝4AB，CF＝4CD，則直線DE和BF所成角的余弦值為精品文檔放心下載________．258解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，∴|a－2b|＝ 82＋ －5 2＋132＝ 258.精品文檔放心下載45.13_解析因四面體ABCD是正四面體，頂點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.設(shè)正四面體的棱長為4，精品文檔放心下載→→→→→→則BF·DE＝(BC＋CF)·(DA＋AE)→→→→＝0＋BC·AE＋CF·DA＋0＝4×1×cos120°＋1×4×cos120°＝－4，BF＝DE＝42＋12－2×4×1×cos60°＝13，所以異面直線DE與BF的夾角θ的余弦值為：cosθ＝4＝13.6.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AA＝a，AB＝b，AD＝c，M，感謝閱讀1N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：感謝閱讀AP；AN；1MP＋NC.1解：(1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，AP＝AA＋AD＋DP1 1 1 11＝a＋AD＋2D1C11＝a＋c＋2AB1＝a＋c＋2b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，1A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC精品文檔放心下載1 1＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c._(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，1MP＝MA＋AP＝2A1A＋AP1111＝－a＋a＋c＋b＝a＋b＋c，2222又NC＝NC＋CC1＝BC＋AA11211 1＝2AD＋AA1＝2c＋a，111∴MP＋NCa＋b＋c＋a＋c22123 1 3＝2a＋2b＋2c.7.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)．精品文檔放心下載(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：B1F⊥平面AEF.證明：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空謝謝閱讀間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)B＝AA1＝4，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，謝謝閱讀A1(0,0,4)，(1)DE＝(－2,4,0)，平面ABC的法向量為AA＝(0,0,4)，謝謝閱讀1_DE·AA＝0，DE平面ABC，1∴DE∥平面ABC.BF＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，謝謝閱讀1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，謝謝閱讀1∴BF⊥EF，B1F⊥EF，1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，感謝閱讀1∴BF⊥AF，∴B1F⊥AF.1∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.8.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在精品文檔放心下載四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，精品文檔放心下載PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證：謝謝閱讀(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角謝謝閱讀坐標(biāo)系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°，∵PC＝2，∴BC＝2 3，PB＝4，3∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(2322∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)，_33CM＝2，0，.2(1)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，謝謝閱讀－y＋2z＝0，由即DA·n＝0，23x＋3y＝0，令y＝2，得n＝(－3，2,1)．∵n·CM＝－333×2＋2×0＋1×2＝0，∴n⊥CM.又CM平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)如圖，取AP的中點(diǎn)E，連接BE，則E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE⊥DA.∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)．感謝閱讀(1)求直線AD和直線B1C所成角的大??；(2)求證：平面EB1D⊥平面B1CD._解：不妨設(shè)正方體的棱長為2個(gè)單位長度，以DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.精品文檔放心下載根據(jù)已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)．精品文檔放心下載(1)∵DA＝(2,0,0)，CB＝(2,0,2)，∴cos〈DA，CBDA·CB2〉＝1＝.11|DA||CB|21π∴直線AD和直線B1C所成角為4.(2)證明：取B1D的中點(diǎn)F，得F(1,1,1)，連接EF.謝謝閱讀∵E為AB的中點(diǎn)，∴E(2,1,0)，EF＝(－1,0,1)，DC＝(0,2,0)，感謝閱讀EF·DC＝0，EF·CB＝0，1∴EF⊥DC，EF⊥CB1.∵DC∩CB1＝C，∴EF⊥平面B1CD.又∵EF平面EB1D，∴平面EB1D⊥平面B1CD.謝謝閱讀10．如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平謝謝閱讀面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.精品文檔放心下載(1)求證：AB⊥DE；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；感謝閱讀_EF(3)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使EC∥平面FBD？若存在，求出EA；若不存在，請說明感謝閱讀理由．解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，DO.感謝閱讀因?yàn)镋B＝EA，所以EO⊥AB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形．AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四邊形OBCD為正方形，所以AB⊥OD.因?yàn)镋O∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.(2)因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，感謝閱讀所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O感謝閱讀xyz.因?yàn)槿切蜤AB為等腰直角三角形，所以O(shè)A＝OB＝OD＝OE，OB＝1，所以O(shè)(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，感謝閱讀D(0,1,0)，E(0,0,1)．所以EC＝(1,1，－1)，感謝閱讀平面ABE的一個(gè)法向量為OD＝(0,1,0)．感謝閱讀設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ，|EC·OD|3所以sinθ＝|cos〈EC，OD〉|＝|EC||OD|＝3，精品文檔放心下載3即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為3.謝謝閱讀11._(12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中點(diǎn)．感謝閱讀(1)求證：平面PDC⊥平面PAD；(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離．21.(1)證明如圖，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)．感謝閱讀→ → →∴PD＝(4,0，－2)，CD＝(0，－2,0)，PA＝(0,0，－2)．感謝閱讀設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，感謝閱讀y＝0y?則14x－2＝0x＝，21所以平面PCD的一個(gè)法向量為，0，1.2∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.精品文檔放心下載→∴平面PAD的法向量為AB＝(0,2,0)．→ →∵n·AB＝0，∴n⊥AB.∴平面PDC⊥平面PAD.n52(2)解由(1)知平面PCD的一個(gè)單位法向量為5＝，0，.|n|555245∴＝54，0，0·，0，＝，5555∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為5._12．如圖所示，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上、下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD精品文檔放心下載互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.感謝閱讀(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；精品文檔放心下載(2)已知F是AD的中點(diǎn)，求證：FB1⊥平面BCC1B1；精品文檔放心下載(3)在(2)的條件下，求二面角FCC1B的余弦值．精品文檔放心下載解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所精品文檔放心下載示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，精品文檔放心下載B1(a，a，a)，C1(0，a，a)．(1)∵AB＝(－a，a，a)，DD＝(0,0，a)，謝謝閱讀11∴|cos〈AB·DD3AB11＝，|AB|·|DD|31111∴異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為3.3(2)證明：∵BB＝(－a，－a，a)，BC＝(－2a,0,0)，F(xiàn)B＝(0，a，a)，謝謝閱讀1 1·BB＝0，∴11FB·BC＝0，1∴FB1⊥BB1，F(xiàn)B1⊥BC.∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1.(3)由(2)知，F(xiàn)B為平面BCC1B1的一個(gè)法向量．謝謝閱讀1_設(shè)n＝(x1，y1，z1)為平面FCC1的法向量，精品文檔放心下載CC＝(0，－a，a)，F(xiàn)C＝(－a,2a,0)，謝謝閱讀1n·CC＝0，－ay＋az＝0，11∴1得n·FC＝0，－ax＋2ay＝0.11令y1＝1，則n＝(2,1,1)，∴cos〈FB，n〉＝FB·n31＝3，1|FB|·|n|1∵二面角FCC1B為銳角，∴二面角FCC1B的余弦值為33.13．如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面謝謝閱讀ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為謝謝閱讀棱AA1的中點(diǎn)．(1)證明：B1C1⊥CE;(2)求二面角B1CEC1的正弦值．2(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為6，求線謝謝閱讀段AM的長．解：法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題精品文檔放心下載意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．精品文檔放心下載(1)證明：易得BC＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是精品文檔放心下載1 1BC·CE＝0，所以B1C1⊥CE.1 1BC＝(1，－2，－1)．1設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，_m·BC＝0，x－2y－z＝0，消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一則11即m·CE＝0，－x＋y－z＝0.個(gè)法向量為m＝(－3，－2,1)．由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故BC＝(1,0，－1)為謝謝閱讀1 1平面CEC1的一個(gè)法向量．m－427于是cos〈m，BC〉＝11＝14×＝－7，11|m|·|BC|211從而sin〈m，BC21〉＝7.11所以二面角B1CEC1的正弦值為217.(3)AE＝(0,1,0)，EC＝(1,1,1)．設(shè)EM＝λEC＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM＝AE感謝閱讀1 1＋EM＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB＝(0,0,2)為平