教案系列對話、建構、熏陶教案及反思對話、建構、熏陶

《倒數的熟悉》課堂教學實錄與評析、反思

1．揭示課題

師：今日我們學習倒數的熟悉。(板書：倒數的熟悉)你們看了這個課題后，想知道什么？

生1：倒數是什么東西？

師：倒數不是什么東西，而應當是什么學問？(同學們輕輕地笑了)

生2：數怎樣倒法？

生3：是不是只有分數有倒數？

師：也就是說，同學們想知道倒數的意義和關于方法。

老師板書：意義、方法。

師：倒數的意義和關于方法課本上都有，我們一看就知道了。重要的是我們在學習中要有自己的發覺。我信任你們。

老師板書：發覺(用另一種顏色的粉筆寫)。

［評析：一上課就揭示課題，開門見山，有利于在一節課的最佳時域直奔重點，突破難點。老師只有確立以同學為本的理念，充分了解同學的學習起點和學習疑難癥結，把握同學跳動的脈搏，才能有針對性地下功夫。］

［反思：課始直奔主題，一是可節省教學時間，把更多的時間讓給同學去思索、去爭論。二是對本節課的舊學問同學幾乎不存在什么計算上的問題。同時，由于是借班上課，我想降低課始的起點，使同學造成或產生平安的心理，全身心投入學習。］

2．初步理解倒數的意義

(1)自學課本。

師：請大家在課本上找到倒數的意義，讀一讀。

同學打開課本，查找倒數的意義，用筆劃詞句。

(2)復述意義。

師：請同學們合上書，誰能說說什么是倒數？

生1：乘積是1……

師：看來只讀一遍就要記住有肯定的難度，誰再來說說？

生2：乘積是1的兩個數互為倒數。

老師板書：乘積是1的兩個數

師：后面是什么，張老師忘了，誰來幫忙？

生3：互為倒數。

老師接著板書：互為倒數。

［評析：老師恰到好處地設置疑問，有利于同學層層深化地思索。同時，高超的老師有時假裝糊涂，把“聰慧”讓給同學，“張老師忘了，誰來幫忙？”短短的話語滿意了同學求知探新的勝利欲，這是促進同學有效學習的基本策略。這也是張老師課堂教學的一大特點，在下面的教學中還有不少類似的對話。］

(3)初步剖析意義。

師：我們讀的時候可以把這句話分成兩部分，你認為該怎么讀？

生1：乘積是1的兩個數／互為倒數。

生2：乘積是1的／兩個數互為倒數。

師：這兩種讀法究竟哪一種讀法好？同桌同學爭論一下，并說說你的想法。

生3：乘積是1的兩個數／互為倒數。

師：為什么這樣讀？

生3：這樣讀很順。

師：你是怎樣讀的？

生4：乘積是1的／兩個數互為倒數。

師：同意這樣讀的同學請舉手。看來，女同學都支持第一種，男同學都支持第二種。我也支持第二種的讀法。

老師邊說邊板書：條件(在“乘積是1”的下面劃上紅線)、結論(在“兩個數互為倒數”的下面劃上紅線)。

師：因為有了“乘積是1”的條件，才有“兩個數互為倒數”的結論。

［反思：對倒數概念的兩種讀法，事后細想，還是第一位同學的讀法為好，因為“乘積是1”是“兩個數”的定語，把它們隔開不好，另外，這句話是省略了“它們”兩個字，完整的應當是“乘積是1的兩個數，它們互為倒數”，前面是條件，后面是結論。］

3．深化探究倒數的意義

(1)示范舉例。

師：現在老師寫一個算式，大家看看是不是符合這句話的意義？

老師板書：4/5×5/4=1。（生：符合）

師：那你有什么結論？

生：4/5和5/4互為倒數。

老師板書：4/5和5/4互為倒數。

師：在條件前加兩個字……

老師板書：因為板書在4/5×5/4=1的前面。

師：有了因為，就有

同學齊聲回答“所以”，老師板書：所以板書在4/5和5/4互為倒數的前面。

師：誰來把條件、結論完整地說一說？

生：因為4/5×5/4=1，所以4/5和5/4互為倒數。

［評析：常常發覺六班級同學做作業寫倒數時，用這樣的形式表示“2/3=3/2”，誤認為等號左邊是已知條件的數據，等號右邊是所求的結果數據。老師的示范表述在這里顯得很有必要，這是規范同學表述的重要環節。］

(2)同學舉例。

師：每個同學寫一個這樣的算式，然后讓同桌的同學照樣子說一說。(同學練習)

師：你是怎么寫的，說說看？

生：因為2/7×7/2=1，所以2/7和7/2互為倒數。

(3)深化剖析意義。

①剖析“互為”的含義。(注：以下幾個層次都是以同學為主提出爭論的，老師僅起到穿針引線的作用。小瓣題是在整理課堂實錄后另外加上去的。)

師：我們現在對倒數的意義有了肯定的理解，不過還不夠深化。現在請大家再認真讀一讀、想一想，你能對這句話中的某個字或某個詞理解得更深刻些，向大家說明得更清晰一些嗎？

［反思：對于概念的教學，我們的老師大多比較輕視，認為讓同學讀一二遍記住就達到目的了。其實，這都是表面現象，根本未能促使同學數學思維品質的提高。所以，讓同學關注基礎學問自身，這是我們數學課未能丟的根本，也是實現新課程提出的三維目標的關鍵，重要的是讓同學在把握概念的過程中，學會數學思索，體會解決問題所帶來的勝利體驗。］

過了幾分鐘，間續有五六位同學舉手。

師：已經有同學想來為大家說明了，臨時沒有思索出結果的同學不要急，過一會兒在聽別人發言的時候，你肯定會有所發覺的。現在誰來貢獻自己的成果？

生：“互為”就是分數的分子與分母是互質數。

師：是這樣嗎？我剛才觀看有一位同學寫了這樣一個算式：4/6×6/4=1，分數中的4和6就不是互質數啊？但4/6與6/4是互為倒數，說明這位同學理解的”互為”不準確。不過這位同學能聯想到以前的舊學問，這是一種學習的方法，你還記得什么叫互質數嗎？

生：公約數只有1的兩個數是互質數。

老師板書：公約數只有1的兩個數是互質數。

［反思：同學提出“互為”就是“互質數”的意思，這是我始料不及的。既然這是同學的直觀想法，那我們未能回避，所以我從另一個角度來“表揚”他，因為同學敢回答，就說明他在思索。另外，我們老師的提問，并不都是為了求得準確答案啊！不同的回答，甚至是錯誤的回答，我們處理好了，這就是教學中一種不行多得的資源。］

師：誰對“互為”有不同的說明？

生：“互為”是相互成為一個關系，互為倒數是指這兩個數相互成為倒數關系。

師：你

能依據具體的例子說一說嗎？

生：4/5是5/4的倒數，5/4是4/5的倒數。

老師板書：就是

師：哎呀！老師忘了，怎么說？

生：4/5是5/4的倒數，5/4是4/5的倒數。

老師接著板書：4/5的倒數就是5/4，5/4的倒數就是4/5。

老師出示卡片：推斷：2和1/2都是倒數。()

師：誰來推斷一下這句話的正誤，請說明理由。

生1：錯了，1/2倒過來是2/1。

生2：對的，因為2可以化成2/1

師：剛才這兩位同學爭辯的是這兩個數的形式，請大家再想一想，推斷一句話說得是否準確，應當怎樣想？

生3：應依據倒數的意義去推斷。

師：說得好。推斷一句話的準確與否，主要看實質，未能僅看表面形式。

生3：錯了。未能說“都是”，應當說出誰是誰的倒數。

生4：錯了，應當是2和1/2互為倒數。

②剖析“乘積是1”的含義。

師：誰再來說明？

生：我想為大家說明“乘積是1”，就是一個數乘一個數。

師：“我想為大家說明”，這位同學特殊好，情愿把自己的才智貢獻出來與大家共享。

老師出示卡片：推斷：因為1/3+2/3=1，所以1/3和2/3互為倒數。()

生：錯了，因為不是乘積是1，而是和是1。

(4)探究求倒數的方法。

師：誰想再說明嗎？

生：我想說明4/5的倒數的分子就是4/5的分母，4/5的倒數的分母就是4/5的分子。

師：你的意思就是互為倒數的兩個數，分子、分母的

生：分子、分母的位置對調一下。

老師板書：分子、分母調換位置。

師：你叫什么名字？(生齊說：陳瀟雨)你真了不起，有了自己的發覺。

老師板書：陳瀟雨發覺(板書在分子、分母調換位置的后面，用紅色粉筆書寫)。

老師板書：

師：你對老師畫的兩個箭頭，有什么想法？

生：5/4是4/5的倒數，但4/5也是5/4的倒數，所以未能只畫兩個箭頭。

師：所以，還要

生：還要畫兩個箭頭。

老師在原來的線上加了兩個從右到左的箭頭。

師：你叫什么名字？（生齊說：周宇明）

老師板書：周宇明發覺(板書在有箭頭式子的右邊)。

［反思：在原來的教學設計中，求倒數的方法是在后面的，但現在同學提出來了，我就把這個環節提上來了，并從中得到啟發，再一次讓同學體會“互為”的意思。其實我們只要信任同學，給他們信念，農村孩子的表現照樣會令老師意想不到，這就是教學相長。］

(5)探究倒數的特例。

師：誰情愿把自己的才智連續與大家一起共享？

生1：我想說明“兩個數”，就是兩個因數。

師：哈！“互為倒數”被別人說明了，“乘積是1”也給別人說明了，只有這“兩個數”了。這位同學的發言讓大家的留意力集中在“兩個數”了。誰有不同的想法？

生2：這兩個數是兩個分數，不是分數的可以化成分數，是整數的或小數的都可以化成分數。

師：成倒數的兩個數中，應當有幾個整數？

生3：兩個整數，不！不對，應當是一個整數。

師：誰能舉個例子？

生4：4×1/4=1。

生5：12×1/12=1。

師：他剛才先說兩個整數，有可能嗎？

生6：不行能，比如5×5=25。

師：(觀看同學舉手，想發表不同建議或意見，于是指名回答)你說呢！

生7：那1×1不是等于1嗎？的確是兩個整數啊。

(對方同學啞口無言，其他同學也很驚異：哎！1×1是等于1。)

師：那你是什么意思？

生7：乘積是1的兩個數互為倒數(1除外)。

師：請大家找一找，課本上這句話的旁邊有”1除外”嗎？

(同學打開課本，沒有這句話。)

師：1×1=1符合這句話嗎？（生齊答：符合）那你有什么新的想法？

生7：1的倒數是1。

師：你叫什么名字？（生：王晨）

老師板書：王晨發覺(板書在“1的倒數是1”的右邊)。

師：明顯1是一個特殊的數，還有沒有特殊的數？

生齊答：0

生1：0除外。

師：課本上在倒數的意義中，為什么不加“零除外”呢？

生2：因為0×0=0，所以0未能互為倒數。

生3：0乘任何數都是0，不行能得到乘積是1。

師：你有什么想法？

生3：……(一時語塞)

師板書：(邊板書邊說：我板書兩個字，你確定說得出了)沒有。

生3：0沒有倒數。

老師：“0沒有倒數”這個發覺好，說明白并不是全部的數都有倒數。

師：這個結論也有張老師一半的才智哦！(老師的幽默引來了同學善意的笑聲)你叫什么名字？（生：池靜宜）

這時，有同學提議：讓池靜宜來寫。

師：你的字肯定很美麗，好吧，請！

該同學上黑板板書：0沒有倒數。池靜宜突然停筆，面對老師問：“老師，你的名字要寫嗎？”(同學都笑了)

師：不要了。感謝你！你寫的字真美麗，下了課，你能寫幅書法作品給我嗎？

生：好的！(師生握手，生快樂地走下臺。)

［評析：上面的幾個環節，聽課老師課后回味說：“是一幕精彩的話劇，又如嘗到了一道道鮮美的佳肴。”為了深層次地剖析倒數的意義、方法與特例，確立以同學為主體，讓同學主動探究，深化爭論??，老師因勢利導地板書，恰到好處地表揚與鼓舞。在這樣的對話中，同學不僅受到數學的熏陶，而且更為重要的是情感態度價值觀的確立，學會了終身受用的本領，即對一些概念的深層次的理解、內化及運用，深刻理解倒數概念的內涵與外延，同時培育了同學擅長發覺問題的力量。老師在與同學的心理溝通方面自然親切，在落實建立新型的師生關系方面為我們作了示范。］

［反思：對于兩個特例“1”和“0”，本課沒有特地由老師提出，而是在同學的深化思索中得出的，這就是同學學習的成果。當下面有同學提議讓池靜宜來寫時，我順水做了一個人情，因為屯村學校是以寫字為教學特色的，多次被朱永新教授作為例子介紹。同學在與老師的對話中受到熏陶，有了情感的體驗，真情地流露出：“老師，要不要寫上你的名字？”同時，對于高班級同學來說，那種單一的語言上的表揚“你真棒！”“不錯！”“了不起！”已激發不起同學的連續的學習激情，重要的是使同學感受到學習的樂趣與勝利感。在我第二次去屯村學校聽課時，正好遇到了池靜宜同學，她不僅與我主動打招呼，還問我是否收到她的

作品，我想這就是作為老師的幸福。］

4．綜合練習

(1)老師出示卡片①：推斷并說出理由：0.25的倒數是4。()

生：對的。因為0.25×4=1，所以0.25的倒數是4。(下略)

老師出示卡片②：2/3×()=1。

同學樂觀舉手，想說答案。

師：老師知道大家都能很快說出答案，我想問的是，這道填空題是什么意思？

生1：求2/3的倒數是多少。

生2：2/3的倒數是3/2。

老師出示卡片③：1÷2/3=()。

師：這個算式又是什么意思？

生1：求2/3的倒數是多少。

生2：2/3的倒數是3/2。

卡片④：7×()=1。

生：7的倒數是1/7。

卡片⑤：1÷7=()。

生：7的倒數是。

師：你能換句話說說嗎？

生：1/7是7的倒數，7和1/7互為倒數。

卡片⑥：1/9×()=1。

生：1/9的倒數是9。

(2)老師出示卡片⑦：一個數與它的倒數的和是8(1/8)，這個數是()。

生：這個數是8。

［反思：在這里由于自己的疏忽，同學回答了8后，沒有讓同學連續思索“還有沒有其他答案”，而正因為倒數的“互為”關系，這題還有另一個答案1/8。教學真是一門圓滿的藝術。我們老師要盡量削減這種圓滿。］

(3)老師出示：填空：3×()=6×()=9×()=1。

(同學說，老師寫出答案。)

師：你有發覺嗎？

生：整數的倒數就是分母為整數自身，分子為1的分數。

師：也就是說，整數的倒數是一個分數單位。

師：原來的3、6、9越來越--？

生：越來越大！

師：那它的？

生：它的倒數越來越小。

(4)老師出示：3/4×()=2/5×()=4/7×()=1。

(同學說，老師寫答案。然后老師擦去1。)

師：現在擦去”1”后，你認為有幾種填法？

生：還可以讓它們的積等于2、3、……，所以有許多種填法。

師：但是依據倒數的意義來填是最簡單考慮的，是吧？

(5)老師出示：填符號或數字。

①8÷2○8×1/2；②10÷5○10×1/5；

(同學說答案，老師寫。)

③20÷()○20×()；

生：20÷(5)=20×1/5。

生：20÷(2)=20×1/2。

……

5．總結延長

出示卡片：7÷2/3○7×3/2。

師：你猜一下，7÷2/3○7×3/2能劃等號嗎？(生：能)那究竟為什么呢？我們下一節數學課再作爭論??，好嗎？(生：好)

師：今日我們熟悉了倒數，同學們有許多發覺。剛才有同學記起了公約數只有1的兩個數是互質數，現在我們又知道乘積是1的兩個數互為倒數，看來數學中有不少這樣的規律，希望以后大家制造更多的發覺。感謝大家，下課。

［反思：學習倒數，直接的作用是為學習下面分數除法打基礎，所以在課尾作了這樣的孕伏。同時對于教學中像“公約數只有1的兩個數是互質數”“乘積是1的兩個數互為倒數”這樣的概念，是不是還有？自己心里也拿不準，深感自身數學學問的不足。］

總評：建構主義