2022年江西省高考理科數學第一次聯考試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合尸=30?不忘3},Q={xEN|lWxW4},則PGQ=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3)C.{1,2)D.{2,3,4}

2.（5分）已知復數z滿足（1+z）z=（3+i）,貝屹的虛部為（

C.-1

3.（5分）函數/（x）=/-2與均單調遞減的一個充分不必要條件是（）

A.(0,2)B.[0,1)C.[1,2)D.(1,21

4.（5分）江西某中學為測試高三學生的數學水平，組織學生參加了聯考，共有1000名學

生參加，已知該校上次測試中，成績X（滿分150分）服從正態分布N（100,。2）,已

知120分及以上的人數為160人，假設這次考試成績和上次分布相同，那么通過以上信

息推測這次數學成績優異的人數為（成績140分以上者為優異）（）

P（廠。<X<|i+o）^0.68,P（|i-20VXVR+2。）^0.95,P（廠3。VXVR+3。）

*0.99.

A.20B.25C.30D.40

x+y-1>02y

5.（5分）已知實數x,y滿足2x—y—2W0,求二的最小值（）

（x-2y+2>08

1111

A.-B.—C.—D.一

816324

6.（5分）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，系統地總結了戰國、秦、漢

時期的數學成就.書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”,

若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網格紙上小正方形的邊長為1）,則該“陽馬”最長的

棱長為（）

A.5B.V34C.V41D.5近

第1頁共25頁

7.（5分）若圓（x+1）2+（y-1）2=5上存在兩點關于直線2ov-力+3=0（〃>0,b>2）

11

對稱，則丁+7—的最小值是（）

2ab-2

A.3B.4C.5D.8

8.（5分）/（x）,g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且/G）+g（x）=2022、

-sin%-25x,則下列說法錯誤的是（）

A.g（0）=1

B.g（x）在［0,1］上單調遞減

C.g（x-1101）關于直線x=1101對稱

D.g（x）的最小值為1

X2V2

9.（5分）設Q,F2是雙曲線丁-匕=l（a>0,b>0）的左、右兩個焦點，若雙曲線右支

上存在一點「，使（辰+。力2>&=0（0為坐標原點），且|P&|二遮上孫，則雙曲線

的離心率為（）

V2+1LV3+1y—

A.-----B.V2+1C.-----D.V3+1

22

10.（5分）在平行四邊形ABCQ中，AB=AD=AC=2V3,現沿著AC將平面AOC折起，E,

F分別為AC和8。的中點，那么當四棱錐Q-ABC的外接球球心不在錐體內部時，EF

的最大值為（）

L3L

A.1B.V2C.-D.V3

2

11.（5分）設橢圓C：。+［=1的左、右焦點分別為F”同，直線/過F1且與C交于A,

8兩點，則△ABF2內切圓半徑的最大值為（）

1V33

A.一B.—C?一D,1

224

12.（5分）已知函數/（x）=（x2-1）lnx+X（x-1）2（入W0）的三個零點分別為r,%2,

X3，其中％1>X2>X3，則入°（X1+X2）（X2+X3）（X3+X1）的取值范圍為（）

A.（-64,-32）B.（-32,0）C.（-8,-64）D.（…，-32）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上.

13.（5分）若（2/—64a為常數）的展開式中第三項為常數項，則該常數項為.

14.（5分）已知（x）=sin（u）x+（p）,其中OV3V5,|<p|<-今為/（x）的一個零點,

第2頁共25頁

n

且/(x)W/(一)恒成立，則滿足條件的整數3取值集合為______.

4

15.(5分)校園某處并排連續有6個停車位，現有3輛汽車需要停放，為了方便司機上下

車，規定：當有汽車相鄰停放時，車頭必須同向；當車沒有相鄰時，車頭朝向不限，則

不同的停車方法共有種(用數字作答).

16.(5分)在△ABC中，內角A,B,C所對的邊為a,6,c,點P是其外接圓。上的任意

一點，若a=2遮，b=c=由,則/CP+而2+晶2的最大值為

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

17.(12分)已知數列｛a”｝滿足:a\—\j。3=5,-](”eN,”22),數列｛〃”｝

2

的前〃項和%滿足：-Sn=bn-l(nG/V*).

(1)求數列｛斯｝和｛尻｝的通項公式；

(2)求數列｛(-1)%疝”｝的前“項和Tn.

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18.（12分）2022年2月1日是春節，百節年為首，春節是中華民族最隆重的傳統佳節，它

不僅集中體現了中華民族的思想信仰、理想愿望、生活娛樂和文化心理，而且還是祈福

攘災、飲食和娛樂活動的狂歡式展示.為調查某地從外地工作回來過年的市民（以下稱

為“返贛人員”）人數情況，現對某一區域的居民進行抽樣調查，并按年齡（單位：歲）

分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中年齡在［20,25）內的人數為10.

（1）請根據樣本數據補充完成2X2列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為是否是從

外地回來過年與性別相關；

（2）據了解，該地區今年返贛人員占點現從該社區居民中隨機抽取3人進行調查，記

X為這3人中今年是返贛人員的人數，求X的分布列與數學期望.

2

參考公式：依=（用）（黑渭c）@+d），其中〃=4+%+比

參考數據:

P（心》履）0.100.050.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

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19.(12分)在AAOB中，已知乙408=需ZBAO=AB=4,。為線段AB的中點，△

LO

4OC是由△AOB繞直線AO旋轉而成，記二面角B-AO-C的大小為0.

(1)當平面C。。，平面AOB時，求。的值；

(2)當。=會1時一，求二面角B-8-C的余弦值.

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20.(12分)已知A是拋物線C：^=2px(p>0)上一點，B(1,0)是x軸上的點，以A

為圓心且過點B的圓與y軸分別交于點E、F,且當圓A與x軸相切時，A到拋物線焦點

3

的距離為一.

2

(1)求拋物線C的標準方程；

/2I/2

(2)設線段BE、B尸長度分別為八、12,求1…2的取值范圍.

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21.(12分)已知函數/(x)=(x+1)(/-I).

(1)求/(x)在點(-1,/(-1))處的切線方程；

(2)若方程f(x)=b有兩個實數根xi，X2,且xi<x2,證明：X2-…第+魯

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選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計分.［選修4-4：坐標系與參數方程］（10分）

22.（10分）在以直角坐標原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系下，曲線Ci

的方程是p=l,將G向上平移1個單位得到曲線C2.

（I）求曲線C2的極坐標方程；

（II）若曲線C）的切線交曲線C2于不同兩點M,N,切點為T,求17Ml?|孫的取值范圍.

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［選修45不等式選講］(10分)

23.已知函數/(x)=\x-a\-\x-1|.

(1)當a=2時，求不等式0</(x)W1)的解集；

(2)若Vxe(0,+8),f(x)Wo2-3,求”的取值范圍,

第9頁共25頁

2022年江西省高考理科數學第一次聯考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合「=同0忘》?3},0={x€N|lWxW4},則尸AQ=（）

A.{I,2,3,4}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{2,3,4）

解：：Q={xeN|lWxW4}={l,2,3,4},P={x|0WxW3},

；.PnQ={l,2,3},

故選：B.

2.（5分）已知復數z滿足（1+i）z=（3+i）,則2的虛部為（）

A.1B.iC.-1D.-/

解:V（1+i）z=（3+力,

"z~T+l~（l+t）（l-i）-2-1,

：.z=2+i,

的虛部為1.

故選：A.

3.（5分）函數/（X）=/一2與g（x）=均單調遞減的一個充分不必要條件是（）

A.（0,2）B.[0,1）C.[1,2）D.（1,2]

解：???/（X）=/一2與g（x）=均單調遞減，

a-2<0

Aa，?'"0<a<2,

V[l,2）是（0,2）,

二函數f（x）與g（x）=（今-x均單調遞減的一個充分不必要條件是[I,2）,

故選：C.

4.（5分）江西某中學為測試高三學生的數學水平，組織學生參加了聯考，共有1000名學

生參加，已知該校上次測試中，成績X（滿分150分）服從正態分布N（100,。2）,已

知120分及以上的人數為160人，假設這次考試成績和上次分布相同，那么通過以上信

息推測這次數學成績優異的人數為（成績140分以上者為優異）（）

第10頁共25頁

「（|i-。<X<p+o）弋0.68,尸（口-2。VX<R+2。）^0.95,尸（R-3。<X<p+3o）

20.99.

A.20B.25C.30D.40

解：成績X（滿分150分）服從正態分布N（100,。2）,

又；120分及以上的人數為160人,

???80分及以下的人數也為160人，

：.P(80<X<120)=I。。。：：；；f。=0.68,由此可知,o=20,即X-N（100,2（）2）,

：.P（60<X<140）=0.95,

1000-1000X0.95

故140分及以上的人數為25.

2

故選：B.

%+y—1z°2y

5.（5分）已知實數-y滿足2x-y—2W0,求才的最小值（）

（x-2y+2>08

1

4

%4-y-120

解：畫出不等式組2%-y-2W0表示的平面區域，如圖所示:

%-2y+2>0

平移目標函數，當y=3x+z過點A時，z取得最小值，由解得4(2,2),

2y1

所以z的最小值為-4,此時族取得最小值為2一4=

故選：B.

6.(5分)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，系統地總結了戰國、秦、漢

第11頁共25頁

時期的數學成就.書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”,

若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網格紙上小正方形的邊長為1）,則該“陽馬”最長的

C.V41D.5V2

解：由三視圖知：兒何體是四棱錐，且四棱錐的一條側棱與底面垂直，如圖:

B

其中平面ABC。，：.PA=3,AB=CD=4,AD=BC=5,

:.PB=，32+42=5,

PC=>/32+42+52=5V2,

PD=V32+52=V34.

該幾何體最長棱的棱長為：5V2.

故選：D.

7.(5分)若圓(x+1)2+(y-1)2=5上存在兩點關于直線2or-by+3=0(a>0,b>2)

對稱，則h+的最小值是()

2ab-2

A.3B.4C.5D.8

解：：圓(x+1)2+(y-1)2=5上存在兩點關于直線2ax-力+3=0(tz>0,b>2)對稱，

二直線經過圓心(-1,1),即2ax(-1)-feX1+3=0,即為+〃=3,

：.2a+b-2^\,

1111h—22alh—2~2a

2ab-22ab-22ab-2\2ab-2

當且僅當?=會，即a=［，匕=今時，等號成立，

2ab-242

第12頁共25頁

故最小值為4.

故選：B.

8.(5分)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且/(x)+g(x)=2022、

-sinx-25x,則下列說法錯誤的是()

A.g(0)=1

B.g(x)在［0,1］上單調遞減

C.g(x-1101)關于直線x=1101對稱

D.g(x)的最小值為1

解：因為/I),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且/(x)+g(x)=2022、

-sirtr-25x,

所以/(-無)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2022A+sinx+25x,

/、2022”+2022T

所以g(x)=---------2---------，

則g(0)=1,A正確；

g(0)=1,g(1)=2022裝22」,則g(1)>g(0),顯然8錯誤；

由g(x)為偶函數，圖象關于x=0對稱可知g(x-1011)的圖象關于x=1101對稱，C

正確；

由基本不等式得，g(x)=2°.22^29.22->2,當且僅當x=0時取等號，此時函數取得

最小值1,0正確.

故選：B.

9.(5分)設Q,F2是雙曲線"-三=l(a>0,b>0)的左、右兩個焦點，若雙曲線右支

a2b2

上存在一點尸，使(而3+。%2)，尸〉=0(。為坐標原點)，且|PFJ=8仍尸2|，則雙曲線

的離心率為()

V2+1LV3+1L

A.-------B.V2+1C.-------D.V3+1

22

解：V(OP+加2).&=0,：.{OP+。每)?(OP-0氏)=0,

—>—>2

2

：.OP-OF2=0,OP=OF2=C=OF\,：.PF\LPF2,

中，

RtAPFiF2V|PFi|=V3|PF2|,ZPFIF2=30".

由雙曲線的定義得PF\-PF2=2a,：.PF2=

第13頁共25頁

2a

sin300=5=.'.2a—c（A/3—1）,

2%七2cC（73-1）

=V3+1,

a

故選：D.

10.（5分）在平行四邊形ABC。中，AB=AO=AC=2W,現沿著AC將平面AOC折起，E,

F分別為AC和8。的中點，那么當四棱錐Q-ABC的外接球球心不在錐體內部時，EF

的最大值為（）

r-3廠

A.1B.V2C.-D.V3

2

解：；平行四邊形A8CO中，AB=AD=AC=2y[3,

：.△AQC與△ABC都是邊長為2我的正三角形，

當折起平面ADC時，四棱錐D-ABC的外接球球心是過△AOC的中心平面ADC的垂線

與過△ABC的中心平面ABC的垂線的交點，

VE,尸分別為AC與8。的中點，.?.由對稱性可知球心在E尸或其延長線上，

?.?四棱錐Q-ABC的處接球球心不在錐體內部，

若球心與點尸重合，連接8E,DE,AF,CF,

根據題設可知雨=/8=尸。=尸￡>,CE=AE=\[3,BE=DE=3,

J.EFLBD,EFLAC,根據勾股定理有（^5+￡：/2=（7產=。尸=。片-后產，

.\EF2=3,：.EF=V3,

VV3>|>V2>1,排除ABC.

故選：D.

11.（5分）設橢圓C：[+[=1的左、右焦點分別為F1，尸2,直線/過F1且與C交于A,

第14頁共25頁

5兩點，則△A3F2內切圓半徑的最大值為（）

1V33

A.—B.—C.-D.1

224

解：設A（xby\）?B（X2，>2），

因為448乃的面積5=/（明+|g|+|B尸2|”，=如一時尸匹I，

所以4a?「=”-”|?2c,即4?2?r=|yi-）,2卜2,所以，=$yi-y2|,

設直線A8的方程為x=（y-1,

x=ty-1

聯立］/y2,得（3p+4）y2-6）-9=0,

（T+T=1

所以）計"=品，）儀=-&'

2

所以W-"1=7（yi+y2）-w2=J（^^）2+4x^^=

令m=3+121,則W-”1==3，當且僅當加=1時，等號成

'm

立，

所以四和

12.（5分）已知函數/G）=（7-1）lnx+入（x-1）2（入NO）的三個零點分別為加，物

X3，其中X1>X2>X3，則入3（X1+X2）（X2+X3）（X3+X1）的取值范圍為（）

A.(-64,-32)B.(-32,0)C.(-8,-64)D.(…，-32)

解：f(x)=(X-1)[(x+1)lnx+X(X-1)],顯然/(I)=0,

令(x+1)[wc+入(x-1)=0,(x>0),即仇x+=0(x>0),

第15頁共25頁

令g(%)=仇%+，幻_；),(x>0),貝！Jg(1)=0,

，/、1.2AX24-(2A+2)X+1

g(%)=—H------7=--------與---(x>0),

x(x+1)x(x+l)

令h(x)=/+(2入+2)x+1,(x>0),

要想g（x）除1外再有兩個零點，則g（x）在（0,+8）上不單調,

則4=（2入+2）2-4=4入2+8入＞0,解得：入V-2或入＞0,

當人＞0時，g'（x）＞0在（0,+8）恒成立，則g（x）在（0,+8）單調遞增，不可能

有兩個零點，舍去；

當入V-2時，設g（x）=0即〃（x）=0的兩根為〃，b,且

則有[2。+1）＞。，故。＜。＜9，

令g（x）＞0,解得xV〃或令/（尤）＜0,解得a〈x〈b,

所以g（x）在（0,a）,（b,+8）上單調遞增，在（小b）上單調遞減,

因為xi>X2>X3，所以OVx3VaVl=X2VbVxi，

入，1、i1,1).,A(l—x)/、

又因為g(0=In-+—1=-Inx+在=_g(%)，

若g(x)=0,則g(3=0,因為g(XI)=g(X3)=0,所以%3=看，

所以(％i+%2)(X2+久3)(%3+久1)=(%1+D(1+4)(/+4)=(2+%1+白)(汽1+

因為入V-2,所以入3V-8,故入3(X1+X2)(R2+X3)(X3+X1)<-64.

檢驗：當入=-2時，g(%)=Inx+在(x>0),g'(x)=------y=(%—1)?>0,

%+1x(x+1)x(x+l)

此時g(X)在(0,+°°)上單調遞增，又g(1)=0,即X1=X2=X3=1，

此時為臨界情況，入3（X|+X2）（X2+X3）（X3+X!）=-64,

綜上，入3（x]+x2）（X2+X3）（X3+X1）的取值范圍為（-8,-64）.

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上.

13.（5分）若（2”—1）4（A為常數）的展開式中第三項為常數項，則該常數項為24.

解：由已知得△=（一1產?22.廢?X2k~2,

令2A-2=0得k=1,

所以該常數項為22?廢=24.

第16頁共25頁

故答案為：24.

14.(5分)已知/(x)=sin(3x+(p),其中0<3<5,|<p|<J一與為f(x)的一個零點，

且f(x)Wf(巴)恒成立，則滿足條件的整數3取值集合為U,31.

4

解：?，//(%)的一個零點，且fG)巧(，恒成立，

??/(一1)=sin(一與3+9)=0,一與3+口=k17r①，k\WZ,

/(^)=sin(^a)4-(p)=1,—a)+(p=2k2n+foEZ,

①+②可得，2<p=k1n+2k2n+貨

V|(p|<J,2|(p|^n,

.??2(p=，或2<p=_/,解得(p=/或口=_1

當(p=今時，一加+a=七兀，3=1-4抬,

V0<a)<5,

???0<1-4心<5,解得一1<心</，心=0,

??3=1,

當<p——4時，一彳3—彳=k1Tt,3--1-4k\?

V0<o)<5,

.*.0<-1-4ki<5,解得一、RVkiVj1,ki=-1,

3=3,

故滿足條件的整數3取值集合為{1,3}.

故答案為：{1,3}.

15.(5分)校園某處并排連續有6個停車位，現有3輛汽車需要停放，為了方便司機上下

車，規定：當有汽車相鄰停放時，車頭必須同向；當車沒有相鄰時，車頭朝向不限，則

不同的停車方法共有528種(用數字作答).

解：根據題意，分3種情況討論：

①，若三輛汽車互不相鄰，有/U3=24種情況，

又由車頭朝向不限，則有23=8種情況，

此時有24X8=192種停車方法；

第17頁共25頁

②，若三輛汽車中有2輛相鄰，鹿x廢XA?=72種情況，

車頭朝向有2X2=4種情況，

此時有72X4=288種停車方法；

③，若三輛汽車全部相鄰，有4X433=24種情況，

又由車頭必須同向，有2種情況，

此時有24X2=48種停車方法；

則一共有192+288+48=528種停車方法；

故答案為：528,

16.(5分)在△ABC中，內角A,B,C所對的邊為a,b,c,點P是其外接圓。上的任意

->TT91

一點，若a=2?b=c=小,貝”爐+P”+PC2的最大值為一.

-4-

解：以BC的中點0'為原點，以0；C所在方向為x軸的正方向，0%所在的方向為y軸

的正方向，建立平面直角坐標系，

則：A(0,2),B(-V3,0),C(V3,0),

17

可得外接圓的圓心為：(0,半徑為：:

44

所以圓。的方程為：7+00)2=黑，

771

設尸(-cosa,-sina+彳)，

444

則：PA=(—^cosa,一[sina+]),PB=(—^cosa—V3,—.sina—/),PC=(—^cosa+V3,

~--*77*7771r

所以：PA24-PB24-PC2=(-cosa)2+(-sina-7)2+(-cosa+V3)2+(-sina+彳)2+

44444q

7B、MJ.114735.1147,3591

Q-cosa-V3)+(-sma+y)2=-5----o-sina<

4400OO

91

故答案為：—.

4

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

17.(12分)已知數列｛斯｝滿足：ai=l,如=5,2an=an+i+an-i("WN*,〃》2),數列｛為｝

2

的前〃項和S“滿足：-Sn=bn-l(neW).

(1)求數列｛a“｝和｛m｝的通項公式；

第18頁共25頁

(2)求數列｛(-1)〃?〃/〃｝的前〃項和T〃.

解：(1)因為2斯=斯+什斯一1(於N*,〃22),所以｛為｝是等差數列,設其公差為d,則

〃3-a\=2d=4,解得d=2,

所以斯=。1+(〃-1)d=1+(??-1)X2=2n-1,

22

當n=\時，-S1=b1—1=-/?i,所以〃i=3,

221

-3

當時，-bn=-(Sn-S“_i)=bn-bn_v所以=Vr即7=(〃22),

所以%=3%

nn

(2)(-l)-anbn=(2n-l)(-3),

2

所以Tn=l<-3)1+3所-3)+—+(2n-1)?(-3)”,

-37),=1?(-3)2+3<-3)3+-+(2〃-3)?-3)"+(2n-1)?(-3)n+,,

兩式相減得，4T”=(-3)5+2?(-3)2+2*(-3)3+-+2?(-3)"-(2?-1)?(-3),,+1

=-3+2?9[1-(-3)--1-(2〃-1)?(-3)/1=，-寫-3)"+1,

1-(-3)22

故〃=3-(4底?(-3嚴

18.(12分)2022年2月1日是春節，百節年為首，春節是中華民族最隆重的傳統佳節，它

不僅集中體現了中華民族的思想信仰、理想愿望、生活娛樂和文化心理，而且還是祈福

擦災、飲食和娛樂活動的狂歡式展示.為調查某地從外地工作回來過年的市民(以下稱

為“返贛人員”)人數情況，現對某一區域的居民進行抽樣調查，并按年齡(單位：歲)

分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中年齡在[20,25)內的人數為10.

(1)請根據樣本數據補充完成2X2列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為是否是從

外地回來過年與性別相關；

(2)據了解，該地區今年返贛人員占現從該社區居民中隨機抽取3人進行調查，記

X為這3人中今年是返贛人員的人數，求X的分布列與數學期望.

參考公式.《2=--------n(ad-bc)----------ttdj—+h+c+d

々有"3K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'夬什n"a+o+c+a.

參考數據:

P(啟如)0.100.050.0100.001

to2.7063.8416.63510.828

第19頁共25頁

解：(1)由頻率分布直方圖可知年齡在［20,25)上的占比為1-(0.02X2+0.06+0.075)

X5=0.125,

根據已知人數為10計算可得總人數為80,列聯表如下：

返贛人員本地人員合計

男251540

女103040

合計354580

27

2_80x(25x30-15x1。)/_80x60(/n47q>w

,K~35x45x40x40-35x45x16x100-H-429>10,828.

...有99.9%的把握認為是否是從外地回來過年與性別相關.

(2)由題意可得，X的取值可為0,1,2,3,

p(x=o)=($3=含

P(X=l)=Ci(1)2(1)1=g,

P(X=2)=C(》i(32=^,

P(X=3)=^)3=去,

故分布列為：

X0123

P272791

64646464

痂~八27.18.3483

故9(*)=瓦+亂+短=而=4.

19.(12分)在AAOB中，已知/AOB=,ZBAO=AB=4,￡>為線段AB的中點，△

Zo

AOC是由△AOB繞直線AO旋轉而成，記二面角B-AO-C的大小為。.

(1)當平面CO￡?_L平面AOB時，求。的值；

第20頁共25頁

(2)當9=|n時，求二面角B-0￡>-C的余弦值.

在平面40B內過B作0。的垂線，垂足為H,

二?平面C0DJ_平面A0B,平面CO。。平面408=00,

又BHLOD,8H_L平面A08,

則平面COD.

又由OCu平面COD,BHLCO,

又?；OCJ_AO,和04相交，

。。_1平面4。艮

又08u平面AOB,從而0CL08,即0=J；

(2)在平面BOC中，過。作Ox_LOy,以。為原點建立如圖所示的空間坐標系,

則0(0,0,0),D(0,1,V3),

V0=|n,求得：C(V3,-1,0),

設平面OC。的一個法向量為￡=(x,y,z),

由［；9=°，得忙得=°,令產男,得4=(1,V3,-1).

3,0C=0tV3x-y=0

第21頁共25頁

又平面的一個法向量為薪=(1,0,0),

.J-、m-n1/5

??cos<m，ri>=———=-----==-.

|m|-|n|lxV55

，二面角B-OD-C的余弦值為一雪.

20.(12分)已知A是拋物線C：)2=2*(/?>0)上一點，B(1,0)是x軸上的點，以A

為圓心且過點8的圓與y軸分別交于點E、F,且當圓A與x軸相切時，A到拋物線焦點

3

的距離為一.

2

(1)求拋物線C的標準方程；

/2?/2

(2)設線段3區BF長度分別為八、12,求」一馬一的取值范圍.

1口2

解：(1)當軸時，圓A與x軸相切，由題意可知此時點A的橫坐標為1,

3

TA到拋物線焦點的距離為一，

2

3

???A到拋物線準線的距離為一，

2

n31

故準線與y軸之間的距離為=--1=-,

解得：p—1?

???拋物線C的標準方程為夕=入；

2

(2)設A的坐標(m號，m),

由垂徑定理可知EF=2及2-(苧)2=21(苧-I)2+m2-(苧/=2,

設E(0,機-1),F(0,m+1),

+⑺—l2)/0=+(巾+I?)，

.存+-_l+(m-l)2+l+(m+l)220n2+2)2g2+2)

224

［血yJm+2-2m-yJm+2+2mJ(m2+2)2―4m2Vm+4

/m4+4m2+414m2

21m4+4yi+^+T

當機=0時，則第1=2；

當〃2W0時，則十:工=21+、4,

、m2+—2

4

,?*ni2oH-7之4,

第22頁共25頁

此時—+*-G(2,2V2/].

lll2

12112

綜上所述，2G[2,2V2].

21.(12分)已知函數f(x)=(x+1)(^-1).

(1)求/(x)在點(-1,/(-1))處的切線方程；

(2)若方程f(x)=b有兩個實數根加，如且xi<x2,證明：犯-xiW1+霎;+獸.

1

解:(1)f(x)-(x+2)--1,貝爐(一1)=?1,/(-1)=0,

由點斜式可得切線方程為y=亍"+1)；

(2)證明：由(1)知/(x)在點(-1,/(-1))處的切線方程為丁=亍(x+1),

設SQ)=+1).構造函數F(x)=/(x)-i^(x+1)=(x+l)(ex-1),則尸(x)=

(x+2)ex-i,F"(x)=(x+3)ez,

：.F'(x)在(-8,-3)上單調遞減，在(-3,+8)上單調遞增，

又叫—3)=一今1一1sV0,1〃(-1)=0,

：.F(X)在(-8,-1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增，

：.F(x)(-1)=0,即f(x)NSQ)=?(%+1),當且