【下載后獲高清完整版】全等三角形-必考點專題詳解什么是全等三角形能夠重合的兩個三角形叫做全等三角形三角形全等的判斷定理SSS（邊邊邊）:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形相等的兩個三角形全等ASA（角邊角）:兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等SAS（邊角邊）:兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等AAS（角角邊）:兩角及其中一個角的對邊相等的兩個三角形全等S:side,邊；A：ankle,角注意：沒有ASS,為了不弄錯，給如下記憶方法：如果有2個S，必須是2個S夾1個邊，或者夾1個角。通過等邊（等腰）三角形構(gòu)造全等——例題一等邊三角形ABC,DE//BC,延長E，使EF=EC，證明：△ABE≌△AFD證明思路：條件（等邊三角形ABC和DE//BC）可得AD=AE，∠ADF=∠BAE=60°，可得△ADE為等邊三角形。條件（EF=EC），可得AC=DF=AB根據(jù)SAS（AD=AE,∠ADF=∠BAE,DF=AB）,證明得：△ABE≌△AFD通過等邊（等腰）三角形構(gòu)造全等——例題二△ABE和△ACF均為等邊三角形,證明：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°證明思路：條件（△ABE和△ACF均為等邊三角形）可得AE=AB,AC=AF,∠EAB=∠CAF（兩邊已在還差一角）∠EAC=∠EAB+∠BAC,∠BAF=CAF+BAC,可得

∠EAC=∠BAF

（相等角+公共角自然相等）根據(jù)SAS易證△ABF≌△AEC因為全等，∠AEC=∠ABF，令A(yù)B和EO交于點G，∠AEC+∠AGE+∠EAG=180°,∠ABF+∠BGO+∠BOE=180°,易得∠B0E=∠BAE=60°（利用三角和為180°，其中2個角相等，則剩下的角自然相等）通過等邊（等腰）三角形構(gòu)造全等——例題三△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，證明：（1）BE=CD（2）BE⊥CD證明思路：根據(jù)SAS易得△BAE≌△DAC,所以BE=CD要證BE⊥CD，也就是∠DOB=90°，因為全等，∠EBA=∠CDA,通過：三角和為180°，其中2個角相等，則剩下的角自然相等，可得∠DOB=∠BAD=90°。通過等邊（等腰）三角形構(gòu)造全等——例題四如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在一條直線上，AD與BE、AD與BC、BE與CD分別交于點O、點P、點Q．求證：（1）、AD=BE（2）、∠AOB=∠ACB=60°（3）、△PCQ為等邊三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、OA=OB+OC（1）有前面幾個例題的練習(xí)，易證△ACD≌△BCE,所以AD=BE（2）因為全等，∠DAC=∠EBC,易得∠AOB=∠ACB=60°（三角和為180°，其中2個角相等，則剩下的角自然相等）（3）要證全等三角形，要么證3邊相等，要么證2邊相等且有1角為60°，條件（點A、C、E在一條直線上和∠BCA=60°，∠DCE=60°）可得∠PCQ=60°，那么只要證PC=QC即可。發(fā)現(xiàn)直接證明不行，那就找與這兩邊有關(guān)的三角形是否有全等關(guān)系，也就是△PCD和△QCE是否相等。通過（1）中的全等，可得∠PDC=∠QEC,又因為∠PCD=∠QCE=60°,CD=CE，可得△PCD≌△QCE，所以PC=QC，所以△PCQ為等邊三角形（兩條邊相等,一個角為60°）。（4）因為△PCQ為等邊三角形，所以∠PQC=60°,因為∠DCE=60°，PQ∥AE(內(nèi)錯角相對兩直線平行)（5）在（3）中已經(jīng)證明，△PCD≌△QCE，所以PD=QE，因為（1）中證，AD=BE,所以AP=AD-PD,BQ=BE-QE,所以AP=BQ（相等邊減去同長邊相等）（6）要證OA=OB+OC，總得把OB和OC整到一條線上去，這樣可以通過兩條線段相等得出等式成立。所以作CG=CO，交BE于點G。發(fā)現(xiàn)△OAC和△GBC應(yīng)該全等（因為OC=GC，AC=BC，兩邊已有，還差一個夾角）。所以只要證明∠ACO=∠BCG，即∠OCG=∠ACB=60°即可。CG是自己做出來的，很難證明∠OCG或者OGC為60°，那么只能通過證明∠COG=60°，證明△OCG為正三角形來得到∠OCG=60°。如果∠OCG=60°，之前已經(jīng)證明∠AOB=60°，所以只要證明∠AOC=60°就行，觀察△APB和△CPO，如果它們相似，就可以得到∠AOC=∠ABC=60°。因為之前已經(jīng)證明，△BPO和△APC中的相應(yīng)角都對應(yīng)相等，所以△BPO∽△APC，即PB:PO=PA:PC,因此△BPA∽△OPC(相似判斷定理：兩邊對應(yīng)成比例，其夾角相等的兩個三角形相似)，所以∠AOC=∠ABC=60°，最后反推上去，得到△OAC≌△GBC,最后可得OA=OB+OC。通過構(gòu)造等腰三角形，找全等三角形，在證明全等的過程中，通過相似解決了全等三要素中的一個要素，也就是解決了一個角相等的問題。（6）是一個特別好的題目，綜合全等和相似。通過等邊（等腰）三角形構(gòu)造全等——總結(jié)①等腰、等邊中有一對邊和一對角，只要再找一角或者一邊就能證明全等。②有時候沒有等邊等腰三角形，自己要學(xué)會構(gòu)造等腰、等邊三角形來找全等三角形倍長中線法構(gòu)造全等倍長中線法介紹：將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，對頂角+2對等邊，即SAS可證全等。倍長中線法構(gòu)造全等——基礎(chǔ)模型△ABC中，AD是BC邊中線。模型1：延長AD到E，AD是BC邊中線，使DE=AD，連接BE。通過SAS易證△ADC≌△EDC模型2：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E，連接BE。通過ASA易證△FDC≌△EDB模型3：延長MD到N，使DN=MD，連接CN。通過SAS易證△BDM≌△CDN倍長中線法構(gòu)造全等——例題一已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是解題思路：延長AD到E，使DE=AD。易證△ADC≌△EDC，AB+AC=AB+BE=5+3=8,通過三角形兩邊和大于第三邊和兩邊差小于第三邊可得，5-3<2AD<5+3,可得1<AD<4。倍長中線法構(gòu)造全等——例題二如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，D是中點，DE⊥DF，比較BE+CF與EF的大小.例題二解題思路：延長ED到G，使ED=DG，連接GC。易證△BDE≌△CDG，可得BF=CG。因為ED⊥FD可得∠EDF=FDG=90°。連接FG，通過SAS易證△EDF≌△GDF，所以FG=EF，可得BE+CF=CG+CF>FG=EF,即BE+CF>EF倍長中線法構(gòu)造全等——例題三已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF證明思路：延長AD到G，使AD=DG，易證△ADC≌△GDB，可得BG=AC,∠G=∠EAF。因為BE=AC，所以BG=BE，即∠G=∠BEG，所以∠EAF=∠BEG=∠AEF，所以AF=EF。倍長中線法構(gòu)造全等——例題四已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE證明思路：延長AE到F，使EF=AE，連接FD，F(xiàn)C。易證△ABE≌△EFD，得AB=FD，∠B=∠EDF?？吹健鰽DC和△ADF有種莫名的親切感，因為CD=AB=FD,AD=AD(兩邊已在差1個夾角就有全等)，所以接下去的關(guān)鍵就是∠ADC=∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠EDF,而∠B=∠EDF,∠BDA=∠BAD,所以∠ADC=∠ADE，然后通過SAS證明△ADC≌△ADF，可得∠AFD=∠C=∠BAE。倍長中線法構(gòu)造全等——例題五在四邊形ABCD中，AB//DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系。解題思路：延長AE和DF交于點G（注意這時候AE暫時不等于EG），因為AB//DC，可得∠BAE=∠G,因為∠BAE=∠EAF，所以∠G=∠EAF，即AF=FG因為E為BC邊的中點，可得BE=EC，∠AEB=∠GEC(對等角)，根據(jù)AAS易得△ABE≌△GEC，所以AB=GC=FG+CF=AF+CF,反思：看似是倍長中線法，實際上不是。因為延長AE的時候，我們沒有作AE=EG，雖然可以證明它們相等。為了方便使用AB//DC這個條件，我們選擇作AE和DC的延長線，而不是作AE=EG，為何？自行體會！截長補短法構(gòu)造介紹若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時，通?？紤]截長補短法，構(gòu)造全等三角形。①截長：在較長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；②補短：將一條較短線段延長，延長部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段截長補短法構(gòu)造全等——例題一在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°要證∠BAD+∠BCD=180°，想辦法把這兩個角整到一起，比如同在三角形中，或者同在一條直線上。在BC線段上截取BE，連接DE，這樣∠BAD和∠BCD就有辦法聯(lián)系在一起了。BD平分∠ABC.+公共邊+等邊（SAS）可以證得△ABD≌EBD，得∠BAD=∠BED,AD=DE因為AD=DC，可得△DEC是等腰三角形，即∠DEC=∠BCD?！螧ED+∠DEC=180°,很自然得到∠BAD+∠BCD=180°截長補短法構(gòu)造全等——例題二如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC。證明思路：方法一：通過“截長”構(gòu)造全等AB截取線段AF，使AF=AD。AF=AD+EA平分∠DAB+AE公共邊，易證△AEF≌AED（SAS），可得AF=AD,∠AFE=∠DAD//BC可得∠D+∠C=180°,∠BFE+∠AFE=∠BFE+∠D=180°,可得∠BFE=∠C然后根據(jù)AAS易證明△FBE≌CBE,可得FB=BC，最后得出AB=AF+FB=AD+BC方法二：通過“補短”構(gòu)造全等延長BC到G，使CG=AD。根據(jù)SAS易證△ABE≌GBE,得AB=BG，∠BAE=∠GAE平分∠BAD,可得∠BAE=∠EAD,所以∠EAD=∠G,AD//BC可得∠D=∠ECG2個角1個邊，就可以通過ASS證明△ADE≌GCE,可得AD=CG最后可得，AB=BG=BC+CG=AD+BC截長補短法構(gòu)造全等——例題三五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE證明思路：BC+DE=CD，要利用這個條件，得想辦法把它們整到一條線或者同個三角形中?！螦BC+∠AED=180°，平角和是180°，三角形和是180°（需要3只角）。所以很自然相到延長DE或者CB，把所有條件整到一條線上去。延長DE到F，使EF=BC，連接AF。觀察△ACD和△AFD,AD公共邊，CD=DE+EE=DF，兩邊已在，只要再有1邊或者1夾角就有全等。但是角相等是要我們證明的，所以找AB=AF。而AB=AE，BC=EF，∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°（平角和），自然可得∠ABC=∠AEF，根據(jù)SAS可以證明△ABC≌△AEF,可得AB=AF最后根據(jù)SSS證明△ACD≌△AFD，∠ADC=∠ADE，也就是AD平分∠CDE截長補短法構(gòu)造全等——例題四已知四邊形ABCD中，AD//BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連結(jié)BE，且BE恰好平分∠ABC，判斷AB的長與AD＋BC的大小關(guān)系并證明.要比較AB和AD＋BC的大小關(guān)系，就要把三條邊整到同個三角形或者同一條線上。很自然想到“截長補短”。“補”很難找到全等三角形，那就"截"。線段AB上做BF=BC，連接EF解題思路：BF=BC+BE平分得角相等+BE為公共邊可得△BCE≌△BFE，可得∠BFE=∠BCEAD//BC可得∠D+∠BCE=180°,而∠AFE+∠BFE=180°（平角和），所以∠AFE=∠DAE平分∠DAB，可得∠FAE=∠DAE，根據(jù)AAS可得△FAE≌△DAE，可得AF=AD最后，AB=BF+AF=BC+AD截長補短法構(gòu)造全等——例題五△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．很自然想到“截長”，在AB上取AE=AC。易證△AED≌△ACD,可得AE=AC，∠AED=∠C因為∠AED=∠B+∠3，所以∠C=∠B+∠3，因為∠C＝2∠B，所以∠B＝∠3,可得EB=ED最后，AB＝AE+BE=AC+CD總結(jié)：截長、補短的目的就是把線段整到同一條線上或者同一個三角形中。然后根據(jù)三角形和直線的一些性質(zhì)解題。如何構(gòu)造全等三角形方法一：找一對邊，即OC=OD,那么根據(jù)SAS易證△COG≌△DOG，方法二：找一對角，往往是直角，因為直角容易做。比如OP上找一點G,過G做OP的垂線，交OB于點C，交OA于點D，那么∠OGC=∠OGD，然后根據(jù)ASA易證△COG≌△DOG方法三：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角兩邊的距離相等。過點G做OB的垂線交于點C，做OA的垂線交于點D，CG=DG，可以根據(jù)HL（斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等），證△COG≌△DOG，也可以根據(jù)AAS證全等。練習(xí)題一如圖，△ABC的角平分線AD與BE交于點I，求證：點I在∠ACB的平分線上．解題思路：這個題其實就是在證明，三角形的角平分線交于一點。所以，作IH⊥AB，IG⊥AC，IF⊥BC，AD平分∠BAC，可得兩角相等，通過AAS可證△AHI≌△AGI，可得IH=IG，同理可得IH=IF，所以IF=IG（等量代換）然后連接，IC，△IFC和△IGC是直角三角形，根據(jù)HL就可以證明△IFC≌△IGC,可得∠ICA=∠ICB,也就是點I在∠ACB的平分線上練習(xí)題二PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F．求證：BP為∠MBN的平分線．證明思路：有角平分線，有垂直，很自然的想到過P作AC的垂線有角平分線，有垂直，我們很自然想到，做垂線。過點P作AC的垂線，垂足為E，易證△PMA≌△PEA，可得PM=PE。同理可證△PEC≌△DOG，可得PF=PE,所以PM=PF，所以P在BP上。角平分線的基本性質(zhì)，點到兩邊距離相等，點在角平分線上為何要通過90°,180°找等角證全等證三角形全等，主要是找3對全等，有時候題目會給1對等邊，這時候我們就要找2對等角。因為垂直，就多了一對等角，因為A+B=C+B=90°，就會有A=C的關(guān)系，這樣又多了一對角。2對角+1對邊，全等自然有了。為什么是90°,180°，不是60°,120°，那是因為90°是垂直，180°是平角，是直線，90°和180°易得也易作，所以通過90°,180°就能容易證明全等。圖1如圖1：有3條垂線，一條直線MN，對于△ACD和△BEC,很容易通過角和180°，角和90°得出對應(yīng)角相等。這時候，如果再給一對邊相等，比如AC=BC，那么就能證明△ACD和△BEC全等。這種圖形就是常說的“K”線圖、三垂圖，而在我看來，數(shù)學(xué)不需要這些花里花哨的稱呼，所以我把這種圖形，或者模型，叫做：通過90°,180°找相等角證全等然后做一些練習(xí)題，來體會一下，什么叫做通過90°,180°找相等角證全等。練習(xí)題一已知，AD⊥MN,BE⊥MN,AC⊥BC,AC=BC證明△ACD≌△CBE,證明思路：已知，AD⊥MN，可得∠DAC+∠DCA=90°，AC⊥BC可得∠ECB+∠DCA=90°，所以∠ECB=∠DCA，又因為AC=BC，根據(jù)AAS可以證明△ACD≌△CBE。利用了三角形三角和為180°，一只角為90°，那么另外兩角和為90°。也利用了平角和為180°，其中一只角為90°，那么另外兩角和為90°。所有的關(guān)系都是通過90°和180°得到的，這就是證明全等過程中最重要的環(huán)節(jié)。例題二已知，AD⊥MN,BE⊥MN,AC⊥BC,AC=BC，證明DE=AD-BE證明思路：要證DE=AD-BE，就得想辦法把它們整到一條線、一個三角形或者一對全等三角形中。那么，問題就變成了如果AD=CN=CD+DN,CD=BN,我們就可以證明它們的關(guān)系。所以想辦法證明，△ADC≌△CEB。三個垂線就有3個直角，可以得出∠ADC=∠CNB,AC=BC，一角一邊已在，再找一角或一邊，很顯然這里我們要找角。因為∠CAD+∠ACD=90°,∠BCN+∠ACD=90°,可得∠CAD=∠BCE，另一對已經(jīng)找到，那就可以通過AAS證明，△ADC≌△CEB，也可以得到，AD=CD+DE=BE+DE,即DE=AD-BE例題三：在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點D，作AE//BD、CE⊥AC，且AE、CE相交于點E，求證AD=CE。證明思路：要證AD=CE很自然得想到即證△ABD≌△CAE，然后找邊，找角。AD⊥AB，CE⊥AC可得∠BAD=∠ACE,又因為AB=AC，再找一對角就行。因為AE//BD，可得∠E=∠ECD，而AB=AC可得∠B=∠ACB,AB垂直AD可得∠B+∠D=90°,AC垂直CE可得∠ACB+∠ECD=90°,三個等式就可以得出∠D=∠ECD,最后得出∠E=∠D,根據(jù)AAS證明△ABD≌△CAE，所以AD=CE。通過三角形和為180°，其中一對角相等，一對角是對頂角也相等，就可以得到，∠D=∠E，然后根據(jù)AAS證得△ABD≌△CAE，即AD=CE?？偨Y(jié)：這個例題沒有三垂線，但是多了一個條件平行，我們通過平行，通過三角形內(nèi)角和為180°依然得出一對等角，所以借助90°,180°能讓解題更輕松。例題四：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.(1)求證：BE＝CF；(2)在AB上取一點M，使BM＝2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.求證：①ME⊥BC；②DE＝DN.證明思路：（1）AB=AC和AD⊥BC可以得出∠B=∠ACB=45°,FC⊥BC,又能得出∠ACF=45°,通過垂直，兩角和為90°，也能得出∠BAE=∠CAF,根據(jù)AAS，可以證得△ABE≌△ACF，所以BE＝CF（2）①要證①ME⊥BC，得想辦法證明∠BEM=∠DEM=90°,或者ME//AD或者其他。但是不能直接得到這些結(jié)論，所以從條件著手。AE平分∠BAD，AD⊥BC，條件反射，做EG⊥AB，可得GE=ED，也很容易得出∠BEG=90°-45°=45°,所以△BEG是等腰直角三角形（注意這里的等腰是2個45°得出的,），那么BG=GE=DE因為BM＝2DE，所以GM=2DE-BG=GE，所以△MEG是等腰直角三角形，所以∠GEM=45°,所以∠BEM=45°+45°=90°，即ME⊥BC②要證DE＝DN,其實很容易想到證明△AED≌CND,AD=DC和垂直得到直角，所以只要再找一對角就行，這里選擇找∠EAD=∠NCD,為什么？因為角在直角中，可以用題目中的相關(guān)條件。當(dāng)然，如果不行，再考慮其他角。要證∠EAD=∠NCD，如果AE⊥MC我們就能輕易證明，但是題目沒給這個條件，那么就要想其他辦法。細(xì)想一下，通過之前的證明，我們都找出好多90°，45°角，那么嘗試一下能否把要證明的角算出來。AE平分∠BAD,∠BAD=45°,所以∠EAD=22.5°,但是∠NCD還是很難求。繼續(xù)思考，如果MC平分∠ACB，那么以∠EAD就是45°的一半，就可求了。突然發(fā)現(xiàn)，要證明△ACM≌ECM(已有公共邊和一對直角),需要一對角或者一條邊，等角好像找不到，那就找邊。感覺AC=EC，如果相等，也就是∠AED=∠EAC，然而∠AED=90°-22.5°=67.5°，同理：EAC=90°-22.5°=67.5°，居然通過兩個67.5°得到AC=EC，然后得到△ACM≌ECM（HL），所以MC平分∠ACB，即∠NCD=22.5°然后再得出△AED≌CND，最后證明DE＝DN總結(jié)：例題四是很好的題，把通過90°,180°找相等角這個方法展現(xiàn)的淋漓盡致，不但有90°-45°=45°找等角，甚至還有90°-22.5°=67.5°找等角，找等邊。做明白這個題，也就明白了通過90°,180°找相等角證全等的精髓。借助正方形證全等三角形正方形的特殊之處都知道正方形有4條等邊，4個等角都是90°，對于證全等三角形來講，已經(jīng)有了1對等邊和1對等角，我們只要再找1對角或1對邊就能證全等。比如下面的圖，我們很容易證明，△BCG≌DCE。例題一：ABEF和ACHD均為正方形，證明：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CF解題思路：要證明（1）和（2），其實只要證明△BAD≌△FAC就行。因為2個正方形，可以得到BA=FA,AD=AC,還差一夾角。而∠BAD=90°+∠FAD,∠FAC=90°+∠FAD,利用了正方形的直角，很容易得到∠BAD=∠FAC，那么△BAD≌△FAC也就有了。所以BD=CF因為全等，∠BDA=∠FCA，而∠BD