2021高考數(shù)學必修四第一章知識點大全

數(shù)學是人類知識活動留下來最具威力的知識工具，是一些現(xiàn)象的根源。數(shù)學是

不變的，是客觀存在的，接下來小編在這里給大家分享一些關(guān)于數(shù)學必修四第

一章知識點，供大家學習和參考，希望對大家有所幫助。

數(shù)學必修四第一章知識點

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重點難點講解：

1.回歸分析：

就是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系形式進行測定，確定一個相關(guān)

的數(shù)學表達式，以便進行估計預測的統(tǒng)計分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的

數(shù)學表達式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。

2.線性回歸方程

設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應于n組觀測值的n個點

(xi,yi)(i=l,.............n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。

其中。

3.線性相關(guān)性檢驗

線性相關(guān)性檢驗是一種假設(shè)檢驗，它給出了一個具體檢驗y與x之間線性

相關(guān)與否的辦法。

①在課本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測值組數(shù))

相應的相關(guān)系數(shù)臨界值rO.05o

②由公式，計算r的值。

③檢驗所得結(jié)果

如果|r|Wr0.05,可以認為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，接受統(tǒng)計

假設(shè)。

如果|r|>rO.05,可以認為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立

的，即y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。

典型例題講解：

例1.從某班50名學生中隨機抽取10名，測得其數(shù)學考試成績與物理考試

成績資料如表：序號XXXX數(shù)學成績XXXX94,物理成績XXXX96試建立該10名

學生的物理成績對數(shù)學成績的線性回歸模型。

解：設(shè)數(shù)學成績?yōu)閄,物理成績?yōu)椋瑒t可設(shè)所求線性回歸模型為，

計算，代入公式得.?.所求線性回歸模型為=0.74X+22.28o

說明：將自變量x的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應的因變量

的估計值，由回歸模型知：數(shù)學成績每增加1分，物理成績平均增加0.74分。

大家可以在老師的幫助下對自己班的數(shù)學、化學成績進行分析。

例2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下

的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0

若由資料可知y對x成線性相關(guān)關(guān)系。試求：

（1）線性回歸方程；（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？

分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間成線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓練

公式的使用。

解：⑴列表如下：

112345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.Oxxxx于是b=,。

線性回歸方程為：=bx+a=l.23x+0.080

（2）當x=10時，=1.23X10+0.08=12.38（萬元）即估計使用10年時維修費用

是是38萬元。

說明：本題若沒有告訴我們y與x間是線性相關(guān)的，應首先進行相關(guān)性檢

驗。如果本身兩個變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著

時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的。

例3.某省七年的國民生產(chǎn)總值及社會商品零售總額如下表所示：已知國民

生產(chǎn)總值與社會商品的零售總額之間存在線性關(guān)系，請建立回歸模型。年份國

民生產(chǎn)總值（億元）

社會商品零售總額（億

元）xxxx.26205.xxxx.04227.xxxx.77268.xxxx.10337.xxxx.83366.OOxxxx.5437

5.xxxx.47413.18合計4333.012194.24

解：設(shè)國民生產(chǎn)總值為x,社會商品零售總額為y,設(shè)線性回歸模型為。

依上表計算有關(guān)數(shù)據(jù)后代入的表達式得：所求線性回歸模型為

y=0.xxxxx+37.4148,表明國民生產(chǎn)總值每增加1億元，社會商品零售總額將平

均增加4459.57萬元。

例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜每

年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份

xxxxxxxxx(kg)xxxxy(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份

xxxxxxxxx(kg)xxxx45y(t)11.511.Oil.812.212.512.813.0(1)求x與y之間的

相關(guān)系數(shù)，并檢驗是否線性相關(guān)；

(2)若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計

每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。

分析：(1)使用樣本相關(guān)系數(shù)計算公式來完成；(2)查表得出顯著水平0.05

與自由度15-2相應的相關(guān)系數(shù)臨界值rO.05比較，若r>rO.05,則線性相關(guān),

否則不線性相關(guān)。

解：(1)列出下表，并用科學計算器進行有關(guān)計算：

ixxxx415xixxxxxxxxyi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.Oil.812.212.512

.813.Oxiyixxxx.xxxx.xxxxxxxx.xxxx.41885,.故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關(guān)

系數(shù)：片由于n=15,故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表查出與顯

著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值rO.05=0.514,則r〉rO.05,從而說明

蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。

(2)設(shè)所求的回歸直線方程為=bx+a,則.?.回歸直線方程為

=0.0931X+0.7102o

當x=150時，y的估值=0.0931X150+0.7102=14.675(t)o

說明：求解兩個變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計算量較大，需

要細心謹慎計算，如果會使用含統(tǒng)計的科學計算器，能簡單得到，這些量，也

就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計算機中有關(guān)應用程

序也可以對這些數(shù)據(jù)進行處理。

【二】

問題提出

1.函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量,如

果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之

間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系.

2.在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學成績好,那么你的物理

學習就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之

間存在著某種關(guān)系,我們把數(shù)學成績和物理成績看成是兩個變量,那么這兩個變

量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

3.我們不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到

多少，學習興趣、學習時間、教學水平等，也是影響物理成績的一些因素,但這兩

個變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類似于這樣的兩個變

量之間的關(guān)系,有必要從理論上作些探討，如果能通過數(shù)學成績對物理成績進行

合理估計,將有著非常重要的現(xiàn)實意義.

知識探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系

思考1：考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系：

(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；

(2)糧食產(chǎn)量與施肥量；

(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.

這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越

高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?你能舉出

類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成語嗎？

思考3:上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,稱之為相關(guān)關(guān)系,那

么相關(guān)關(guān)系的含義如何？

自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)

系，叫做相關(guān)關(guān)系.

1、球的體積和球的半徑具有()

A函數(shù)關(guān)系B相關(guān)關(guān)系

C不確定關(guān)系D無任何關(guān)系

2、下列兩個變量之間的關(guān)系不是

函數(shù)關(guān)系的是()

A角的度數(shù)和正弦值

B速度一定時，距離和時間的關(guān)系

C正方體的棱長和體積

D日照時間和水稻的畝產(chǎn)量AD練:知識探究（二）：散點圖

【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組

樣本數(shù)據(jù)：

其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).

思考1：對某一個人來說,他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減

少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的

數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？

思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系,我們需要對數(shù)

據(jù)進行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象.以x軸表

示年齡,y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？

思考3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎？

在平面直角坐標系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱

為散點圖.

思考4:觀察散點圖的大致趨勢,人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)

關(guān)系？

思考5：在上面的散點圖中，這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于

兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān).一般地,如果兩個變量成正相

關(guān)，那么這兩個變量的變化趨勢如何？

思考6：如果兩個變量成負相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？

其散點圖有什么特點？

一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右

下角的區(qū)域.

一般情況下兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負相關(guān)，類似于函數(shù)的單

調(diào)性.

知識探究（一）：回歸直線

思考1:一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點圖中樣本點的

中心如何確定?它一定是散點圖中的點嗎？

思考2:在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點

圖中的點的分布有一定的規(guī)律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的

點的分布有什么特點？

這些點大致分布在一條直線附近.

思考3:如果散點圖中的點的分布,從整體上看大致在一條直線附近，則稱這

兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關(guān)關(guān)系

的兩個變量,其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？

思考4:對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù),你認為其回歸直線是一條還

是幾條？

思考5:在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準確畫出回歸直線?借助計算

機怎樣畫出回歸直線？

知識探究（二）：回歸方程

在直角坐標系中，任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為回

歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那

么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方

程對總體進行估計.

思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關(guān)系？

整體上最接近

思考2:對于求回歸直線方程，你有哪些想法？

思考4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為

選用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適?20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫

之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天

賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對照表：

如果某天的氣溫是-50C,你能根據(jù)這些

數(shù)據(jù)預測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？

實例探究

為了了解熱茶銷量與

氣溫的大致關(guān)系,我們

以橫坐標x表示氣溫，

縱坐標y表示熱茶銷量，

建立直角坐標系.將表

中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個數(shù)對

表示的點在坐標系內(nèi)

標出，得到下圖。

你發(fā)現(xiàn)這些點有什么規(guī)律？

今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).

建構(gòu)數(shù)學

所以,我們用類似于估計平均數(shù)時的

思想,考慮離差的平方和

當x=-5時，熱茶銷量約為66杯

線性回歸方程：

一般地，設(shè)有n個觀察數(shù)據(jù)如下：當a,b使2.三點(3,10),(7,20),(11,24)

的

線性回歸方程是()D11.69

二、求線性回歸方程

例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表：

求兩變量間的回歸方程解1：列表：

閱讀課本P73例1

EXCEL作散點圖

利用線性回歸方程解題步驟：

1、先畫出所給數(shù)據(jù)對應的散點圖；

2、觀察散點，如果在一條直線附近，則說明所給量具有線性相關(guān)關(guān)系

3、根據(jù)公式求出線性回歸方程，并解決其他問題。

(1)如果x=3,e=l,分別求兩個模型中y的值；(2)分別說明以上兩個模型是

確定性

模型還是隨機模型.

模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+e.

解⑴模型1：y=6+4x=6+4X3=18;

模型2：y=6+4x+e=6+4X3+1=19.C線性相關(guān)與線性回歸方程小結(jié)1、變量

間相關(guān)關(guān)系的散點圖

2、如何利用“最小二乘法”思想求直線的回歸方程

3、學會用回歸思想考察現(xiàn)實生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系

數(shù)學必修四學習方法

學會看題

高中比初中有更多的相關(guān)材料。高考是全社會關(guān)注的問題。因此，在高中

的實踐尤其多，一些學生購買更多的材料。因此，如何利用主題來掌握我們學

習的知識，擴大我們所學的知識是學習的關(guān)鍵。我認為我們應該看更多的話

題，更多的思考，看看解決材料中問題的方法，思考方法中的原因，這樣我們

就可以從更多的方法中學習。

有很多方法來消化它們。因此，我們將不得不選擇去做這個問題，用一半

的努力達到兩倍的結(jié)果。我建議每天練習一次，每周做一組完整的試題，看2

到3組試題，從中找出這段時間數(shù)學學習的關(guān)鍵知識，這些是我們常用來解決

問題的方法，以及可以用來優(yōu)化解題的方法。

課后鞏固

很多學生在課后的學習過程中不注重鞏固，只是覺得課堂上的一些知識就

足夠了，其實這是錯誤的。高中數(shù)學知識豐富，不像初中數(shù)學那么簡單，卻有

著豐富的內(nèi)涵。如果它不能進一步挖掘，那么它只是掌握這些知識的表面。因

此，我不知道如何理解，也不能使用這些知識時，我做我的練習。

做練習是必要的，但有些學生只是做練習，而不是鞏固這些知識，把知識

擴展到做練習，經(jīng)常是在練習完成后完成練習。這和中學問題沒有什么區(qū)別。

事實上，我們也應該把在這個練習中使用的知識聯(lián)系起來，這樣我們才能理解

正在使用的知識，并且能夠掌握更多的知識。也可以發(fā)現(xiàn)知識點是關(guān)鍵，也可

以發(fā)現(xiàn)如何鏈接相關(guān)知識的難題。

數(shù)學必修四學習技巧