1答案說明波形如圖1-4所示的各信號是連續信號還是離散信號。圖1-4答：連續時間信號是指它的自變量（時間變量t）是連續的，若時間變量的取值是離散的，則為離散時間信號。圖1-4中，（a）、（b）、（d）、（e）是連續信號，而（c）、（f）是離散信號。說明下列信號是周期信號還是非周期信號。若是周期信號，求其周期T。（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）提示：如果包含有個不同頻率余弦分量的復合信號是一個周期為的周期信號，則其周期必為分量信號周期（＝1,2,3，……，）的整數倍。即有＝或。式中為各余弦分量的角頻率，＝為復合信號的基波頻率，為正整數。因此只要找到個不含整數公因子的正整數使成立，就可判定該信號為周期號，其周期為：如復合信號中某兩個分量頻率的比值為無理數，則無法找到合適的；，該信號常稱為概周期信號。概周期信號是非周期信號，但如選用某一有理數頻率來近似表示無理數頻率，則該信號可視為周信號。所選的近似值改變，則該信號的周期也隨之變化。例如的信號，如令 1.41，則可求得＝100， ＝141，該信號的周期為＝200。如令 1.414，則該信號的周期變為2000。答：（a）sint、sin3t的角頻率之比 ，因此該信號為周期信號，其周期為、sin7t的角頻率之比，因此該信號為周期信號，周期。（c）①當、sinπt的角頻率之比，因此該信號為周期信號，周期；②當時，由于π是無理數，因此該信號為非周期信號。、sin2πt的角頻率之，因此該信號為周期信號，周期。（e），即 所以該信號是周期信號，周期（f） ，因此該信號為周期信號，周期。（g）[asin(2t)＋bsin(5t)]2由于，所以該信號為周期信號，周期T＝2π。算它們的能量或平均功率。(1)(2)答：（1）嚴格地講，周期信號應該是無始無終的，所以該信號應該算作非周期信號。但由于當時，信號呈周期性變化，故這樣的信號也稱為有始周期信號，此時，T＝2π/10π＝1/5率信號，平均功率：因 ，故f（t）為非周期信號，也為能量信號。其能量：因，故f（t）為周期信號，周期T＝2，該信號也為功率信號，平均功率：因，故f（t）為非周期信號，也為能量信號。其能量：，即，所以該信號為非周期信號，為功率信號，其平均功率為試判斷下列論斷是否正確：兩個周期信號之和必仍為周期信號；非周期信號一定是能量信號；能量信號一定是非周期信號；兩個功率信號之和必仍為功率信號；兩個功率信號之積必仍為功率信號；能量信號與功率信號之積必為能量信號；隨機信號必然是非周期信號。答：（1）錯誤。只有當兩個周期信號周期的比值為正整數時，其信號之和才是周期信號。若其周期的比值為無理數，則其信號之和為非周期信號。錯誤。例如，為非周期信號，但不是能量信號。的能量和周期個數的乘積，時間無窮大，能量也無窮大，所以能量信號一定是非周期信號。錯誤。例如 與 均為功率信號，但兩者之和 （門函數）卻是能量信號。錯誤。例如 與 均為功率信號，但兩者之積（門函數）卻是能量信號。錯誤。例如為功率信號，為能量信號，但兩者之積卻不是能量信號。正確。隨機信號是無法找到周期的，所以為非周期信號。粗略繪出下列各函數式表示的信號波形。（3）（4）答：波形圖如圖1-5（1）～（7）所示。圖1-5已知信號 波形圖如圖1-6所示，試繪出 、 、、 、、的形。圖1-6答：波形如圖1-7（1）～（6）所示。圖1-7改變例題1-2中信號處理的分步次序為：（1）反褶，時延，尺度變換；（2）時延；（3）尺度變換，時延，反褶。重繪的波形，并與例題1-2的結果相比較。答：波形如圖1-8（1）～（3）所示。圖1-8試判斷下列方程所描述的系統是否為線性系統，是否為時變系統。（1）（2）（3）（4）答：（1）設將代入方程左邊，可得：將代入方程右邊，可得：可知方程左右兩邊不相等，所以該系統是非線性的。又因為該系統方程為常系數微分方程，所以該系統是時不變的。同理，將代入方程左邊，可得：將代入方程右邊，可得：可知方程左右兩邊相等，所以該系統是線性系統。又因為該系統方程不是常系數微分方程，所以該系統是時變的。將代入方程右邊，可得：將代入方程左邊，可得：。可知方程左右兩邊不相等，所以該系統是非線性系統。又當激勵為 時，系統響應為 ，該系統是時不變系統。將代入方程左邊，可得：將代入方程右邊，可得：。可知方程左右兩邊不相等，所以該系統是非線性系統。又因為該系統方程不是常系數微分方程，所以該系統是時變的。證明線性時不變系統有如下特性：即若系統在激勵 作用下響應為 ，則當激勵為時響必為。證明：設根據時不變特性，有又由疊加性和均勻性取的極限，可得故響應為：即的響應為。一線性時不變系統具有非零的初始狀態，已知當激勵為時，系統全響應為；當初始狀態不變，激勵為時，系統全響應為。求在同樣始狀態條件下，當激勵為時系統的全響應。答：設零輸入響應為，零狀態響應為，則全響應當激勵為時，響應為：當激勵為時，響應為：所以當激勵為 時，響應為：一具有兩個初始條件、的線性時不變系統，其激勵為，輸出響應為，已知：當時，；當時，；當時， 求時的零狀態響應。答：設該線性時不變系統在激勵為系統零狀態響應為 該系統在無激勵，初始條件時的響應為；該系統在無激勵，初始條件時的響應為根據題意：解得：所以當 時，系統的零狀態響應為 。2答案寫出圖2-4中輸入和輸出及之間關系的線性微分方程，并求轉移算子。圖2-4答：（1）利用節點法來分析電路，可得對于節點1：①對于節點2：②由②式可得：③由①式可得：④將式③代入式④可得：即（2）整理得： 用微分算子表示為：即。寫出圖2-5中輸入 和輸出 之間關系的線性微分方程，并求轉移算子H(p)。圖2-5答：由圖2-5可得：整理得：用微分算子表示為：利用克萊姆法則求，可知:所以轉移算子為：其微分方程為：。分別求圖2-6(a)、(b)、(c)所示網絡的下列轉移算子：（1）對 ；（2）對 ；（3）對 。圖2-6答：（a）繪制圖2-6(a)的算子電路圖，如圖2-7(a)所示。列出網孔算子方程：對式①②兩邊同時乘以p(即求導)，再利用克萊姆法則可得：所以，對的轉移算子為：對的轉移算子為：對的轉移算子為：繪制圖2-6(b)的算子電路圖，如圖2-7(b)所示。（b）圖2-7列出算子方程：整理得：整理上述方程組，利用克萊姆法則，可得：所以，對的轉移算子為對的轉移算子為：對 的轉移算子為：。繪制圖2-6(c)的算子電路圖，如圖2-7(c)所示。圖2-7(c)利用等效阻抗的概念，可得：所以，對的轉移算子為對的轉移算子為：對 的轉移算子為：。已知系統的轉移算子及未加激勵時的初始條件分別為：（1）（2）（3）。求各系統的零輸入響應并指出各自的自然頻率。答：(1)由系統轉移算子可知其特征方程為：特征根為：故系統零輸入響應為：利用初始條件有：解得即系統零輸入響應為：其自然頻率即為特征根，為-1，-2。(2)特征根為：故系統零輸入響應形式為：代入初始條件，有：解得：即系統零輸入響應為：其自然頻率為。(3)系統的特征方程為：特征根為：故系統零輸入響應形式為：代入初始條件，有：解得：即系統零輸入響應為：其自然頻率為-1。已知系統的微分方程與未加激勵時的初始條件分別如下：（1）， ；（2）， 答：（1）由系統微分方程可得轉移算子為：其特征方程為：解得特征根：則系統零輸入響應形式：代入初始條件得：解得：故系統零輸入響應為：系統的自然頻率為0和-1（2）由系統微分方程可得轉移算子為：其特征方程為：解得特征根：則系統零輸入響應形式：代入初始條件得：解得：故系統零輸入響應為：系統的自然頻率為0，-1和-2。已知電路如圖2-8所示，電路未加激勵的初始條件為：。求上述兩種情況下電流 及 的零輸入響應。圖2-8答：由圖2-8可得：化為算子方程可得：根據上述方程組，可知系統的特征方程為：即解得：故的零輸入響應的形式分別為：對于 ，代入初始條件，可得：解得：故的零輸入響應為：對于，需要計算出它的初始條件令方程①中，求初始條件可得：。代入的初始條件得：故 的零輸入響應為：。已知初始條件，則有：③同理，將 代入下式解得：因為，所以有：，故和的零輸入響應為：利用沖激函數的取樣性求下列積分值：答：由沖激函數的抽樣特性可知：寫出圖2-9所示各波形信號的函數表達式。圖2-9答：(a)圖2-9(a)所示波形信號可表示為以下階躍函數之和(b)(c)求題2-9答：各波形的導數如下：所示。圖2-10已知信號f(t)波形如圖2-11所示，試繪出下列函數的波形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）。圖2-11答：波形如圖2-12(1)～(6)所示。由圖2-11可知信號f(t)的表達式為：將波形按時間軸壓縮一半得到，如圖2-12(1)所示；取波形當t＞0的部分得到，如圖2-12(2)所示；將波形沿x軸右移兩個單位，再取其t＞0的部分得到，如圖2-12(3)所示；中的波沿x軸右移兩個單位得，如圖2-12(4)所示；的波形沿x軸左移兩個單位得到f(2+t)波形，再對稱于坐標軸y軸反褶得到f(2－t)，如圖2-12(5)所示；的波形沿x軸右移兩個單位得到f(t-2)波形，再對稱于坐標軸y軸反褶得到f(-2－t)波形，取其t＜0的部分即得到 波形，如圖2-12(6)所示。圖2-12圖2-13所示電路，求激勵分別為及時的響應電流及響應電壓并繪其波形。圖2-13答：根據電路列方程：上式化為算子方程可得：將式②代入式①，消去可得：則轉移算子為：當激勵i(t)＝δ(t)時響應電壓為：響應電流為：其響應波形如圖2-14所示。圖2-14當激勵響應電壓為：響應電流為：其響應波形如圖2-15所示。圖2-15圖2-16所示電路，求激勵 分別為 及 時的響應電流 及響應電壓 并繪其波形。圖2-16答：由圖2-16可得：則轉移算子為特征根當激勵時響應電流為：響應電壓為：波形如圖2-17所示。當激勵響應電流為：響應電壓為：

圖2-17波形如圖2-18所示。圖2-18求圖2-19所示電路的沖激響應 。圖2-19答：(a)由圖2-19(a)可得：其中分別為流經的電流，則有：用微分算子表示為：則系統轉移算子為：故沖激響應為： 。(b)由圖2-19(b)列回路電壓方程，有：式①兩端對t求導，并將式②代入整理得：用算子表示為：當時，沖激響應：代入式①可得沖激響應為：。圖2-20所示電路中，元件參數為：響應為電流。求沖激響應及階躍響應。圖2-20答：設圖2-20中流經R1的電流為i1，方向向下，可得電路方程：整理得：消去得：故系統轉移算子為：沖激響應為：階躍響應為：圖2-21電路中，元件參數為，響應為電壓，求沖激響應與階躍應。圖2-21答：圖2-21中和的運算阻抗分別和則系統轉移算子于是沖激響應階躍響應求取下列微分方程所描述的系統的沖激響應。（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）。答：（1）由微分方程引入算子得：故系統轉移算子為：系統沖激響應：。由微分方程引入算子得：故系統轉移算子為：系統沖激響應：。由微分方程引入算子得：故系統轉移算子為：系統沖激響應：。由微分方程引入算子得：故系統轉移算子為：系統沖激響應：。由微分方程引入算子得：故系統轉移算子為：系統沖激響應：。線性系統由圖2-22的子系統組合而成。設子系統的沖激響應分別為。求組合系統的沖激響應。圖2-22答：由圖2-22可知組合系統在e(t)激勵下的響應為故組合系統的沖激響應為中各組信號的卷積，并繪出所得結果的波形。(a)(b)(c)(d)(e)圖2-23首先將的變量換為，得將為相乘再積分，得：和的波形如圖2-24（a）所示。可將t劃分為 五個時段分別考慮，其波形如圖2-24(b)～(f)所示。2-24綜上，可得卷積如圖2-24(g)所示。同理，和的波形如圖2-25（a）所示。可將t劃分為 五個時段分別考慮，其波形如圖2-25(b)～(f)所示。圖2-25綜上，可得卷積的波形如圖2-25(g)所示。同理，和的波形如圖2-26(a)所示。可將t劃分為五個時段分別考慮，其波形如圖2-26圖所示。圖2-26綜上，可得卷積的波形如圖2-26(g)所示。同理，和的波形如圖2-27(a)所示。可將t劃分為四個時段分別考慮，其波形如圖2-27(b)～(e)所示。圖2-27綜上，可得卷積的波形如圖2-27(f)所示。(e)因則其卷積波形如圖2-28所示。圖2-28由卷積的交換律，分別用及2-29所示信號的卷積。請注意積分限的確定。2-29答：由圖2-29可知 和 表達式為：用卷積的微分積分性質求下列函數的卷積。（1）；（2）；（3）；（4）。答：（1）由卷積性質，可得：由卷積性質，可得：由卷積性質，可得：由卷積性質，可得：已知某線性系統單位階躍響應為，試利用卷積的性質求下列波形(見圖2-30)號激勵下的零狀態響應。圖2-30答：由單位階躍響應與單位沖激響應的關系，可得零狀態響應為：由圖2-30(a)可知e(t)表達式為：故其零狀態響應為：由圖2-30(b)可知e(t)表達式為：故其零狀態響應為：由圖2-30(c)可知e(t)表達式為：故其零狀態響應為：由圖2-30(d)可知e(t)表達式為：的激勵為狀態響應為，則故其零狀態響應為：圖2-30(e)可知e(t)表達式為：對e(t)二次求導，有：由卷積的基本性質，可得其零狀態響應為：而所以。圖2-31所示電路，其輸入電壓 為單個矩形脈沖，求零狀態響應電流 。答：設i為流經R1的電流，由圖2-31

圖2-31引入算子得：消去i(t)，可得：故系統轉移算子為：沖激響應為：而激勵故零狀態響應為：即圖2-32所示電路，其輸入電壓為單個倒鋸齒波，求零狀態響應電壓 。圖2-32答：設電感支路的電流為，方向向下，由圖2-32所示電路可得：因，代入上式，整理可得：故可得系統的沖激響應為：由圖可知輸入電壓為：故零狀態響應為：圖2-33所示電路設定初始狀態為零，如電路參時，測得響應電求激勵電；如激勵電流 時，測得響應電壓 ，求電路元件參。圖2-33答：由圖2-33列電路方程可得：將代入上式，有：故激勵電流為：將激勵信號求導，則響應也為原來的導數。當時，響應為沖激響應，即。根據方程①可得算子方程：所以對照兩式，可得：2-34所示電路的初始狀態為零，求下列兩種情況下流過AB的電。激勵為電流源；激勵改為電壓源。圖2-34答：設上下兩個電容上的電壓分別為和，極性均為上正下負。當激勵源為電流源時，根據圖2-34可得節點方程：寫成算子形式為由此解得系統轉移算子為則系統單位沖激響應為于是在激勵下的響應為當激勵源為電壓源時，根據圖2-34可得方程：寫成算子形式為由此解得系統轉移算子為則系統單位沖激響應為于是在激勵下的響應為圖2-35所示電路中，元件參數為，激勵源分別為，求電上的電壓。圖2-35答：設上的電流為，方向自左向右，則可寫出如下方程：消去，得轉移算子所以沖激響應當激勵源分別為 時，電容上的電壓所示電路，在t＝0時合上開關經0.1s后又合上開關，求流過電阻的電流。圖2-36流過電感L的電流為，方向自左向右，則當 時，滿足方程：系統轉移算子系統單位沖激響應此時只有零狀態響應，且當時， 滿足方程：系統轉移算子系統單位沖激響應此時的響應包括零輸入響應和零狀態響應兩部分，且零狀態響應為再求零輸入響應，顯然由于 時，未發生突變，即所以于是最后由圖2-36可得已知圖2-37所示電路中，元件參數如下：，設t＝0時開關S斷開，求初級電壓 及次級電流 。圖2-37答：開關斷開前，電路已達穩態，可由此求出初、次級電路中的電流的初始值，即當t＝0時開關S斷開，次級回路滿足以下方程因為，于是所以次級回路方程為算子方程為初級電壓3答案3.1已知在時間區間 上的方波信號為號的表達式；證明此信號與同一時間區間上的余弦信(n為整數)正交。答：(1)設 在(0，2π)區間內以均方誤差最小為原則來逼近 ，則最佳系數c12為：所以，當時，均方誤差最小。（2）所以，在此區間內和余弦信號 (n為整數)正交已知，。求在上的分量系數及此二信號間的相關系數。答：（1）分量系數（2）相關系數證明兩相互正交的信號與同時作用于單位電阻上產生的功率，等于每一信號單獨作用時產生的功率之和。以與分別為下列兩組函數來驗證此結論。(2)證明：在單位電阻上產生的功率在單位電阻上產生的功率：同時作用于單位電阻上產生的功率：當相互正交時，所以，可證。當時，相互正交。二者單獨作用時，有同時作用時，有當時，相互不正交二者單獨作用時，有同時作用時，有命題得證。將圖3-7所示的三角形信號在時間區間上展開為有限項的三角傅里葉級數，使其與實際號間的均方誤差小于原信號總能量的1％。寫出此有限項三角傅里葉級數的表達式。圖3-7答：由在上的偶對稱特性知。又展開的時間區間為，故 ，從而 。面求系數和。直流分量：余弦分量：因此，信號可表示為：信號的總能量：只取有限項表示信號，均方誤差為：只取直流項時，均方誤差為：此時，有：取直流分量和基波分量時，均方誤差為：此時，有：滿足題意要求，所以可以用直流分量和基波分量來近似表示f(t)，即。求圖3-8(a)所示的周期性半波整流余弦脈沖信號及圖3-8(b)所示的周期性半波整流正弦脈沖信號的傅里葉級數展開式。繪出頻譜圖并作比較，說明其差別所在。圖3-8答：(1)由圖3-8(a)可知信號為偶函數，則當n=1時，歸納得，故的傅里葉展開式為：3-8(a)和圖3-8(b)，可得：故的傅里葉展開式為：頻譜圖如圖3-9所示。圖3-9比較兩圖可得，兩個傅里葉級數中的諧波項數及對應的諧波振幅值完全相同，只是諧波系數的符號有所不同。這也驗證了：時移能改變信號的相位特性，而不能改變信號的振幅特性。利用周期性矩形脈沖與周期性三角形脈沖的傅里葉級數展開式(3—30)及式(3—38)，求圖3-10形所示信號的傅里葉級數。圖3-10周期性矩形脈沖fl(t)和一個周期性三角脈沖f2(t)之差，，如圖3-11(a)、(b)所示。圖3-11是一個帶有直流分量的周期性方波，直流分量為，由教材式(3-30)可得，該信號的傅里葉級為：由教材式(3-38b)可直接得到周期性三角脈沖f2(t)的傅里葉級數：所以，f(t)的傅里葉級數：其中，。試判斷在時間區間 上展開的傅里葉級數是僅有余弦項，還是僅有正弦項，是二者都有。如展開時間區間改為 則又如何。答：如圖3-12(a)所示，只取時間區間上的波形進行周期延拓，可得如圖12(b)所示波形，只取時間區間 上的波形進行周期延拓，可得如圖3-12(c)所示波形。圖3-12圖3-12(b)波形關于原點對稱為奇函數，所以它只包含正弦項諧波分量 而無直流分量和余弦分量。圖3-12(c)波形關于y軸對稱為偶函數，所以它只包含余弦項諧波分量 ，且函數的平均值不為零，還存在直流分量，而沒有正弦波分量。已知周期信號前四分之一周期的波形如圖3-13所示，按下列條件繪出整個周期內的信號波形。t的偶函數，其傅里葉級數只有偶次諧波；t的偶函數，其傅里葉級數只有奇次諧波；是t的偶函數，其傅里葉級數同時有奇次諧波與偶次諧波；t的奇函數，其傅里葉級數只有偶次諧波；t的奇函數，其傅里葉級數只有奇次諧波；)是t的奇函數，其傅里葉級數同時有奇次諧波與偶次諧波。圖3-13是t的偶函數，其傅里葉級數只有偶次諧波，表明f(t)是偶諧函數，滿及，如圖3-14(a)所示；是t的偶函數，其傅里葉級數只有奇次諧波，表明f(t)是奇諧函數，滿及，如圖3-14(b)所示；（3）f(t)是t的偶函數，其傅里葉級數同時有偶次諧波和奇次諧波，表明f(t)是既不是偶諧函數，也不是奇諧函數，滿足，如圖3-14(c)所示；是t的奇函數，其傅里葉級數只有偶次諧波，表明f(t)是偶諧函數，滿及，如圖3-14(d)所示；是t的奇函數，其傅里葉級數只有奇次諧波，表明f(t)是奇諧函數，滿及，如圖3-14(e)所示；（6）f(t)是t的奇函數，其傅里葉級數同時有偶次諧波和奇次諧波，表明f(t)既不是偶諧函數，也不是奇諧函數，滿足 ，如圖3-14(f)所示。圖3-14試繪出圖3-15所示波形信號的奇分量及偶分量的波形。3-15答：因為一個信號可以分解成奇分量和偶分量即：其中，偶分量，奇分量所以分別對進行分解，結果如圖3-16所示。圖3-16利用信號的奇偶性，判斷圖3-17所示各信號的傅里葉級數所包含的分量。圖3-17答：（1）f1(t)是偶函數，且平均值為零，所以不含正弦項和直流分量，同時f1(t)又是奇諧對稱的，不包含偶次諧波，所以f1(t)只含有奇次余弦分量。f2(t)是奇函數，所以不含余弦項和直流分量，所以f2(t)只含有正弦分量。f3(t)是偶函數，且平均值不為零，所以不含正弦項，同時f3(t)波，所以f3(t)只含有偶次余弦分量和直流分量。f4(t)是非奇非偶函數，可以分解為正弦與余弦分量的疊加，無直流分量，同時f4(t)稱的，不包含偶次諧波，所以f1(t)只含有奇次分量。已知的頻譜函數為，與波形有如圖3-18的關系，試用的頻譜函數來表示的頻譜函數。圖3-18答：設因為所以由傅里葉變換的時延性和尺度變換，有。利用傅里葉變換的移頻特性求圖3-19所示信號的頻譜函數。圖3-19答：(1)由圖3-19可知圖示波形為：因為 ，所以由圖3-19可知圖示波形為：因為三角形脈沖函數的傅里葉變換為：所以由圖3-19可知圖示波形為：由傅里葉變換的時移性質，有：所以如時間實函數的頻譜函數，試證明的偶分量的頻譜函數為，奇分量的頻譜函數為。證明：若為實函數，則其頻譜函數的實部為偶函數，虛部為奇函數，即的偶分量其頻譜函數 的奇分量其頻譜函數命題得證利用對稱特性求下列函數的傅里葉變換。答：（1）因，故根據對稱性有：令，則有：，又由時延特性，有：即。因，根據對稱性，有。根據對稱性，有：令，則有整理得：求下列頻譜函數對應的時間函數。(1) (4)答：（1）已知則故。故已知指數函數則（頻域微分特性）故。則故。試用下列特性求圖3-20所示信號的頻譜函數。用延時與線性特性；用時域微分、積分特性。圖3-20答：（1）對于圖3-20(a)①用延時和線性特性求解因為門函數令，則有3-20(a)可得：根據延時特性，有：再由線性特性，可得：②用時域微分、積分特性求解因為所以。（2）對于圖3-20(b)①用延時和線性特性求解所示可得：由頻域卷積定理可得：②用時域微分、積分特性求解因為所以f(t)的傅里葉變換為：。試用時域微分、積分特性求圖3-21波形信號的頻譜函數。圖3-21答：(a)由圖3-21(a)所示波形可知：則因（時移特性）故由傅里葉變換的積分特性，可得：所以。對圖3-21(b)的f(t)求二次導，有：其傅里葉變換為：由積分特性，有：所以。由圖3-21(c)所示波形可知：則由積分特性，有：故由原教材中的表3-1中的第13號矩形脈沖的頻譜函數導出第17(1)用時域微分、積分特性；(2)用時域卷積定理。答：設f(t)為矩形脈沖，g(t)為三角形脈沖。利用微積分特性由教材表3-1第17號三角形脈沖求導，可得：由積分特性，有：利用卷積定理因為，所以由時域卷積定理，可得：利用頻域卷積定理，由的傅里葉變換及的傅里葉變換導出的傅里葉變換。答：因，由卷積特性可得：由沖激函數的頻譜函數求圖3-22所示波形信號的頻譜函數。圖3-22答：（1）由圖3-22可得：求導得：由時移性質，可得：所以，f1(t)的傅里葉變換為：（2）由圖3-22可得：求導得：由時移性質，可得：所以，f2(t)的傅里葉變換為：。（3）由圖3-22可得：二次求導得：由線性和時移性質，可得：又由積分性質，可得：所以，f3(t)的傅里葉變換為：。（4）由圖3-22可得：由時移特性，可得：已知 的頻譜函數為 ，求下列時間信號的頻譜函數。答：（1）（尺度變換特性）（頻域微分特性）所以 的傅里葉變換為：。（2）（頻域微分特性）所以 的傅里葉變換為：。（3）（時域微分特性）（頻域微分特性）所以的傅里葉變換為：。（4）（尺度變換）所以的傅里葉變換為：。（5）由（4）可知：所以（頻域微分）即的傅里葉變換為：。（6）（尺度變化）（延時特性）所以 的傅里葉變換為：。證明下列函數的頻譜函數，當 時俱逼近于的頻譜函數1。即這些函數在 時都可為單位沖激函數。雙邊指數函數；取樣函數(4)答：（1）因為所以當時，。因為，由傅里葉變換的對稱性，令，則所以當時，。查教材表3-1可知，對于三角形脈沖函數，有：所以當時，。查教材表3-1，可知：所以當時，。已知的頻譜函數為，將按圖3-23的波形關系構成周期信號，求此周期信號的頻譜函數。圖3-23答：f2(t)在一個周期內的信號為f(t)，T=2則因為 ，所以而的傅里葉級數系數為故根據周期信號的傅里葉變換式（3-67），可得三角形周期脈沖的電流如圖3-24所示。，求此周期電流的平均值與均方值；果。圖3-24答：（1）電流的平均值：因為所以，電流的均方值：（2）直流功率：交流功率：因為i(t)是偶函數，所以bn=0，則有：故，符合帕塞瓦爾定理。求圖3-25所示三角形周期信號的沃爾什級數中不為零的前三項。圖3-25答：由圖3-25可知：因f(t)是偶函數，故bs=0，則有：其中，沃爾什系數為：所以。證明沃爾什級數展開時，帕塞瓦爾定理關系式成立。證明：f(t)的沃爾什級數為：則有：由于沃爾什級數具有正交完備性，因此：所以命題得證。4答案正弦交流電壓，經全波整流產生圖4-13(b)所示的周期性正弦脈沖信號。求此信號通過圖4-13(a)所示的RC電路濾波后，輸出響應中不為零的前三個分量。圖4-13答：由圖4-13(b)所示波形可知，整流后的信號為偶函數，則直流分量：余弦分量：所以，e(t)的傅里葉級數為：由圖4-13(a)所示RC電路可知其系統函數為所以，前三項響應分量分別是：直流：一次諧波：二次諧波：所以，輸出的前三個分量為：圖4-14(b)所示的周期性矩形脈沖信號，其脈寬為周期的一半，其頻率f=10kHz，加到一諧振頻率為=30kHz的并聯諧振電路上，以取得三倍頻信號輸出。并聯諧振電路的轉移函數為如要求輸出中其他分量的幅度小于三次諧波分量幅度的l％，求并聯諧振電路的品質因數Q。圖4-14答：設矩形脈沖寬度為τ，周期為T，由傅里葉級數可求得其各次諧波分量的振幅為：的1%即可。設，則基波、三次諧波的響應分量幅度分別為：由題意應滿足：解得：如圖4-14(b)所示的周期性矩形脈沖信號，加到一個90°相移網絡上，其轉移函數為試求輸出中不為零的前三個分量，并疊加繪出響應的近似波形。與激勵中前三個分量疊加的波形做比較。答：(1)將周期矩形脈沖信號展開為傅里葉級數，有因為相移函數為所以，有系統響應為表達式中不為零的前三個分量分別為：三個分量波形圖如下圖4-15虛線所示，響應近似波形為實線所示。圖4-15激勵為：前三個分量的波形如下圖4-16虛線所示，激勵近似波形為實線所示。圖4-16設系統轉移函數為試求其單位沖激響應、單位階躍響應及時的零狀態響應答：取傅里葉反變換，可得單位沖激響應為2求單位階躍響應，有3當激勵為時，因為所以取反變換，可得零狀態響應為設系統轉移函數為，試求其沖激響應及 時的零狀態響應答：1因為系統函數為取傅里葉反變換，可得沖激響應為2當激勵時，故零狀態響應為4-17（a）所示，若此信號通過如圖4-17(b)所示系統。試繪出A、B、C、各點的信號頻譜的圖形。系統中兩個理想濾波器的截止頻率均，通帶內傳輸值為1，相移均為0，>。圖4-17答：A、B、C、D各點的頻譜圖如圖4-18(a)～(d)所示。圖4-18理想高通濾波器的傳輸特性如圖4-19所示，亦即其轉移函數為求其單位沖激響應。圖4—19答：高通濾波器的轉移函數可用一個全通濾波器和一個低通濾波器的轉移函數表示，即由于所以其單位沖激響應為求的信號通過圖4—20(a)的系統后的輸出。系統中理想帶通濾波器的傳輸特性如圖4所示，其相頻特。圖4—20答：輸入信號的頻譜為載波頻譜所以經濾波器之前的信號頻譜為對于帶通濾波器，只允許的分量經過所以，輸出頻譜為經傅里葉反變換，可得輸出為有一調幅信號為其中：，A=100V。試求：部分調幅系數；(3)此調幅信號加到1kΩ電阻上產生的平均功率與峰值功率、載波功率與邊頻功率。答：（1）已知調幅信號形式為則其調幅系數為mn。由題目可知部分調幅系數為：。調制信號的頻譜為頻譜圖如圖4-21(a)所示。（a） 圖4-21調幅信號的頻譜為頻譜圖如圖4-21(b)所示。即調幅波中含有五個頻率分量，即振幅為100V的載頻分量；振幅為15V率分別在振幅為5V的一對上下邊頻分量，其頻率分別。調幅信號的頻帶寬度：峰值功率：載波功率：邊頻功率：圖4-22為相移法產生單邊帶信號的系統框圖。如調制信號e(t)為帶限信號，頻譜如圖所示。其中，信號過90°移相網絡后的輸出為。試寫出輸出信號a(t)的頻譜函數表達式，并繪其頻圖。圖4-22答：設其中故其頻譜圖如圖4-23所示：圖4-23證明希爾伯特變換有如下性質；的能量相等，即正交，即若 是偶函數，則 為奇函數； 為奇函數；則 是偶函數。【證明】（1）因為希爾伯特變換式為故其頻譜能量為而由上述兩式可證因為故即可證f(t)為偶函數，則即為奇函數；②如果f(t)為奇函數，則即為偶函數證畢。試分析信號通過圖4—24所示的斜格型網絡有無幅度失真與相位失真。圖4-24答：設，其戴維南定理等效電路圖如圖4-25所示。圖4-25從電阻R兩端看進去的等效電阻z0和等效電壓分別為：所以系統函數其中，該系統為全通系統，無幅度失真。對于相位，若無失真，則根據無失真傳輸條件，應與成性關系，即，展開上式有當x很小時，有 ，即當很小時，有此時，有總之，當 時，即輸入信號頻率遠小于系統的固有頻率 時，才滿足相位不失真條件，時其輸出電壓 的幅度不變，僅有時延。寬帶分壓器電路如圖4-26所示。為使電壓能無失真地傳輸，電路元件參數R1、C1、R2、C2滿足何種關系。圖4-26答：寫出電路的系統轉移函數表達式有整理得由題意，為保證無幅度失真，必須使（k為常數)。即上式對于所有均成立，所以，即所以，R1、C1、R2、C2應滿足R1C1=R2C2的關系。在圖4-27所示電路中，為使輸出電壓與激勵電流i(t)波形一樣，求電阻R1、R2的數值。圖4-27答：由電路圖可知系統函數將元件值代入整理得由題意要求，有即上式對于所有均成立，則有5答案標出下列信號對應于s平面中的復頻率。；(2)sin(-5t)：(1)，所以s1=2，-l為重頻率，s1=s2=-1，所以s1=j2，s2=-j2，所以s1=-1+j5，s2=-1-j5寫出下列復頻率對應的時間函數模式。答：(1)求下列函數的拉普拉斯變換，并注明收斂區。答：(1)因為所以收斂域：(2)所以收斂域：(3)所以收斂域：所以收斂域：所以收斂域：所以則收斂域：所以收斂域：所以收斂域：用部分分式展開法求下列函數的拉普拉斯反變換。 答：部分分式展開拉氏逆變換，有部分分式展開拉氏逆變換，有部分分式展開取拉氏逆變換，有部分分式展開取拉氏逆變換，有部分分式展開取拉氏逆變換，有用部分分式展開法求下列函數的拉普拉斯反變換。答：(1)取拉氏逆變換部分分式展開，得取拉氏逆變換部分分式展開取拉氏逆變換部分分式展開取拉氏逆變換用留數法求下列函數的拉普拉斯反變換。答：(1)s1=0，s2=-12s34。各極點留數：所以，(2)有一個單極點s1=-3和一個二重極點s2=-2。各極點留數分別為：所以，(3)有三個單極點。各極點留數分別為：所以(4)有兩個單極點s1=0，s2=-4。各極點留數分別為：所以，用尺度變換性質求下列函數的拉普拉斯變換。答：(1)由復頻域微分性質，有再由尺度變換特性，可得因為尺度變換特性，可得因為尺度變換特性，可得因為尺度變換特性，可得畫出圖5-2時間函數的波形，并求其拉普拉斯變換答：各函數的波形圖如圖5-3(1)～(4)所示。圖5-3，則而由時間平移特性，可得(2)因為由時間平移特性，可得，因由復頻域微分特性，有再由時間平移特性，可得用拉普拉斯變換的性質求圖5-4各波形函數的拉普拉斯變換。圖5-4答：(a)由圖5-4(a)可知而由拉式變換的時間平移與線性特性，可得由圖5-4(b)可知而由圖5-4(c可知求導，有所以根據時域積分性，故由圖5-4(d)可知由拉氏變換的時間平移特性，可得從單位階躍函數的變換出發，求圖5-5所示波形函數的拉普拉斯變換。圖5-5答：由圖5-15(a可知由時域微分特性，有，所以由圖5-5(b)可知由復頻域微分特性，有；所以由圖5-5(c可知由上題可知所以由圖5-5(d)可知所以求圖5-6所示波形的單邊周期函數的拉普拉斯變換。圖5-6答：(a)由圖5-6(a)可寫出一個周期內的表達式則周期信號（T=2）可表示成因所以，周期序列f(t)的拉氏變換為(b)由圖5-6(b)可寫出一個周期內的表達式故周期序列f(t)（T=2）的拉氏變換為應用拉普拉斯變換性質，證明下列變換對成立。答：(1)根據復頻域微分特性，有(2)根據復頻域微分特性，有(3)根據尺度變換特性，有再根據頻率平移特性，有(4)由題(3)可知根據頻率平移特性，有(5)根據復頻域積分特性，有(6)由題(5)可知根據時域積分性質，有求下列函數的拉普拉斯反變換。答：(1)取拉氏反變換，可得(2)因為所以因為令T=1，則所以同理，因為根據拉氏變換時域卷積定理，有所以因為所以已知系統函數與激勵信號分別如下，求零狀態響應的初值和終值。答：初值定理：終值定理：(1)所以其初值為：終值為：所以其初值：終值：其初值：終值：用拉普拉斯變換分析法求下列系統的響應。答：(1)微分方程兩邊進行拉氏變換，有代入初始條件，整理得取拉氏反變換，響應為微分方程兩邊進行拉氏變換，有代入及初始條件，整理得取拉氏反變換，響應為對微分方程組進行拉氏變換，有代入及初始條件，整理得解得取拉氏反變換，響應為求微分方程是的系統，在如下激勵信號時的零狀態響應。答：對微分方程兩邊取拉氏變換，有整理得系統函數為(1)故零狀態響應為(2)故零狀態響應為(3)故零狀態響應為故零狀態響應為故零狀態響應為電路如圖5-7所示，激勵為e(t)，響應為i(t)，求沖激響應與階躍響應。圖5-7答：①由圖5-7所示電路可得系統的復頻域等效電路如圖5-8所示。圖5-8由圖5-8可列出s域回路方程代入參數，整理得系統函數為取拉氏反變換，可得沖激響應為2當時，取拉氏變換，可得階躍響應為已知圖5-9電路參數為，激勵為2V直流。設開關S在t=0時斷開，斷開前電路已達穩態，求響應電壓u(t)響應與穩態響應。圖5-9答：(1)由圖5-9可知，開關S斷開前電路處于穩態，求初始條件，開關斷開后，電路的s域模型如圖5-10圖5-10則可列出方程整理得求得故輸出為取拉氏反變換，可得全響應為因為全響應[u(t)]=零輸入響應[uzi(t)]+零狀態響應[uzs(t)]由于故則零狀態響應零輸入響應受迫響應：自由響應：瞬態響應： 穩態響應：,圖5—11中激勵信號 ，電路參量為 .求零狀態響應u(t)。,圖5-11 圖5-12答：根據圖5-19所示電路可得系統的復頻域等效電路如圖5-12所示，則系統轉移函數當激勵時，有故取拉氏反變換，得圖5—13所示電路中，已知電路參數為L1=L2=1H，R=2E=10V。設開關S在t=0時斷開，求響應。圖5-13答：開關斷開前電路穩定，求得初始條件s5-14所示圖5-14列出方程，有整理得取拉氏反變換，得又因為故圖5—15所示電路中，已知電路參數為R=1，C1=C2=1F，E1=E2=1V。設開關S在t=0時由①倒向②，求電容C1上的電壓 及電流i(t)。圖5-15答：當t<0時，開關處于①位置，電路處于穩態，此時系統初始條件為當t=0時，開關S由①倒向②，此時電路s域模型圖如圖5-16所示圖5-16故可列出方程組代入參數整理得故取拉氏反變換，可得又因為電容上的電壓取拉氏反變換，可得示電路中，已知R1=4,L1=L2=M=1H，響應為i2(t)。求單位沖激響應與單位階躍響應。圖5-17答：根據圖5-17，電路的s域模型如圖5-18所示圖5-18列出方程，有整理得，系統函數為故單位沖激響應為當激勵為時，有故單位階躍響應為求圖5-19（a）所示方波電壓作用下，RC電路的響應電壓u（t）.圖5-19答：由圖5-19(a)，可得激勵在一個周期內的表達式為故因為所以由圖5-19(b)可知系統函數為所以令則令因為所以T=2時，有則已知系統的沖激響應為,零狀態響應為 ,求激勵信號e(t)答：沖激響應則系統函數而零狀態響應的拉氏變換故取拉氏反變換已知某系統在作用下全響應為,在作用下全響應為 ，求階躍電作用下的全響應。答：當激勵時，全響應當激勵時全響應聯立12，可得，當激勵時，此時全響應拉氏變換為取拉氏反變換，可得下列函數是否有雙邊拉普拉斯變換，如有求其Fd(s)并標注收斂區。答：(1)右邊函數的拉氏變換左邊函數的拉氏變換有公共收斂域，存在雙邊拉氏變換為右邊函數拉氏變換左邊函數拉氏變換有公共收斂域，存在雙邊拉氏變換為因為右邊函數的收斂域，左邊函數的收斂域，二者沒有公共部分，所以原函數不存在雙邊拉氏變換。求下列Fd(s)的時間原信號。答：(1)由收斂域可知，左側極，右側極。對應右邊函數對應左邊函數所以原時間信號為由收斂域可知，左側極，右側極。對應右邊函數對應左邊函數所以原時間信號為由收斂域可知均為右側極點。對應左邊函數所以原時間信號為由收斂域可知，左側極點 ，右側極。對應右邊函數對應左邊函數所以原時間信號為求對應于不同收斂區時的原時間函數。答：有三個極點，-3，-1,1。應用部分分式法化簡得到當收斂域時，三個極點均為右側極點，對應左邊函數。當收斂域為 時，-3為左側極點，-1,1為右側極點。對應右邊函數對應左邊函數當收斂域時，-3，-1為左側極點，1為右側極點。對應右邊函數對應左邊函數當收斂域時，三個極點均為左側極點，對應右邊函數。求激勵為 的系統時的響應答：當激勵時，對應左邊函數，系統函數，有公共收斂區域，所以由收斂區域可知，1為左側極點，2為右側極點對應右邊函數對應左邊函數響應為試繪出下列算子方程描述的系統直接模擬框圖。答：(1)系統直接模擬框圖如圖5-20(a)所示。（a） 圖5-20(2)系統直接模擬框圖如圖5-20(b)所示。已知二系統框圖如圖5-21所示，試求其系統函數，說明此二系統框圖對應的是同一系統。圖5-21答：(1)設第一個加法器的輸出為 ，則由圖5-21(a)所示的系統框圖可列出方程消去中間變量，可得系統函數為設第一個加法器的輸出，則圖5-21(b)所示的系統框圖可列出方程消去中間變量，可得系統函數為因為所以此二系統框圖對應的是同一系統。設系統函數H(s)如下，試繪其直接模擬框圖、并聯模擬框圖及級聯模擬框圖。，可畫出直接模擬框圖如圖5-22所示。圖5-222對系統函數部分分式分解，有，故其并聯模擬框圖如圖5-23所示。圖5-233因為，故其級聯模擬框圖如圖5-24所示。圖5-241由 ，可畫出直接模擬系統框圖如圖5-25所示。圖5-252對系統函數進行部分分式分解，有，故其并聯模擬框圖如圖5-26所示。圖5-263因為，故其級聯模擬框圖如圖5-27所示。圖5-27，可畫出直接模擬系統框圖如圖5-28所示。圖5-282對系統函數進行部分分式分解，有，故其并聯模擬系統框圖如圖5-29所示。圖5-293因為，故其級聯模擬框圖如圖5-30所示。圖5-30一反饋系統如圖5-31所示。由框圖求系統函數(2)由流圖化簡求H(s)。圖5-31答：(1)引入兩個中間變量，如圖5-32所示。圖5-32故可列出方程組消去Y1(s)、Y2(s)整理得系統函數為(a)原信號流圖消去結點I1消去自環消去結點I2、I3故化簡后的系統函數為試由圖5-33所示系統模擬框圖作信號流圖，并從流圖化簡或用梅森公式求系統函數H(s)。圖5-33答：(1)1原信號流圖消去結點x2消去并聯支路消去結點x1消去自環消去結點x3系統函數為2用梅森公式二條正向路徑的傳輸值為不存在與G1G2不接觸部分的環路，即利用梅森公式，可得(2)1原信號流圖消去結點x1消去并聯支路消去結點x2消去自環消去結點x3消去自環和結點x4所以系統函數為2該流圖有三條閉環，其環路傳輸值為兩兩接觸，所以圖行列式為有一個正向路徑且由梅森公式可得6答案求圖6-7中電路的系統函數。圖6-7答：(a)由圖6-7(a)可知，系統函數為(b)由圖6-7(b)可知，系統函數為求圖6-8中電路的系統函數，并繪其零極點分布圖。圖6-8答：(a)根據圖6-8(a)，可畫出其等效s域電路圖如圖6-9所示圖6-9列寫s域方程組整理得故系統函數為零點：-60；極點：-110，-20，如圖6-10(a)所示。圖6-10由圖6-8(b)，可畫出其等效s域電路圖如圖6-11所示圖6-11可列出s域方程整理，可得故系統函數為二階極點：－1，零極點圖如圖6-10(b)所示設圖6-8(c)所示電路中電容與電阻并聯支路兩端的電壓為u(t)，極性上正下負，則有取拉氏變換，有整理得系統函數為極點：-25×105，無零點，如圖6-12(a)所示。(a) (b)圖6-12(d)由于IT為理想變壓器，所以三個電容為串聯，圖6-8（d）電路等效為圖6-13所示圖6-13所以系統函數為零點：0；極點：-4/R0C，零極點圖如圖6-12(b)所示求圖6—14電路的電壓傳輸函數。如果要求響應中不出現強迫響應分量，激勵函數應有怎樣的模式?圖6-14答：由圖6-14畫出s域電路圖如圖6-15所示圖6-15則可列出方程故系統函數為因為 ，要使響應中不出現強迫響應分量，即要求傳輸函數的分子能約掉激勵分母部分，則激勵函數應為 ，即。已知系統函數極零圖如圖6—16所示，且有 ，求H(j4)的值。圖6—16答：由圖可知其零極點為故可設系統函數為因，則解得又因為所以故系統函數為當 時，有求圖6—17電路的系統函數，并粗略繪其頻響曲線．圖6-17答：(a)由圖6-17(a)可得令，有所以幅頻響應曲線和相頻響應曲線如圖6-18所示。圖6-18(b)由圖6-17(b)可得電壓傳輸函數令，有則幅頻響應曲線和相頻響應曲線如圖6-19所示。圖6-19用矢量圖解法繪出圖6—7(a)電路輸入導納的頻響，如電路中R改為無窮大，則頻響曲線又如何答：(1)由圖6-7(a)所示，可得系統函數為由系統函數作出矢量圖如圖6-20所示.圖6-20由矢量圖解法可得頻響曲線如圖6-21所示.圖6-21(2)當電阻無窮大時，此時系統函數為作出矢量圖，如圖6-22所示。圖6-22則所得頻響曲線如圖6-23所示圖6-23系統的極零圖如圖6-24所示，如 ,用矢量做圖法粗略繪出該系統的幅頻響應曲線。答：(a)由零極點圖可知系統函數作出矢量圖如圖6-25（a）所示

圖6-24（a）（b）圖6-25系統幅頻特性為系統的幅頻響應曲線如圖6-25（b）所示由零極點圖可知系統函數為作出矢量圖如圖6-26（a）所示（a） 圖6-26系統幅頻特性為系統的幅頻響應曲線如圖6-26（b）所示。由零極點圖可知系統函數為作出矢量圖如圖6-27（a）所示圖6-27系統幅頻特性為系統的幅頻響應曲線如圖6-27（b）所示。由零極點圖可知系統函數為作出矢量圖如圖6-28（a）所示（a） 圖6-28系統幅頻特性為系統的幅頻響應曲線如圖6-28（b）所示。設系統函數如下，試用矢量作圖法繪出粗略的幅頻響應曲線與相頻響應曲線。答：(1)由系統函數可知極點為作矢量圖如圖6-29所示.圖6-29則系統頻率特性為故其幅頻響應曲線、相頻響應曲線如圖6-30(a)和如圖6-30(b)所示。（a）（b）圖6-30由系統函數可知極點，零點。作矢量圖如圖6-31(a)和圖6-31(b)所示.（a）（b）圖6-31則系統頻率特性為故其幅頻響應曲線、相頻響應曲線如圖6-32(a)和如圖6-32(b)所示。（a）（b）圖6-32由系統函數可知極點，零點作矢量圖如圖6-33所示.圖6-33則系統頻率特性為故其幅頻響應曲線、相頻響應曲線如圖6-34(a)和如圖6-34(b)所示。（a） 圖6-34由系統函數可知極點，零點作矢量圖如圖6-35所示.圖6-35則系統頻率特性為故其幅頻響應曲線、相頻響應曲線如圖6-36(a)和如圖6-36(b)所示。（a） （b）圖6-36已知系統函數的極點為，，零點為，如該系統沖激響應的終值為一10，試求系統函數。答：根據題意可設，系統函數為由拉氏變換的終值定理，有解得故系統函數為電路的輸入阻抗的零極點分布如圖6-37(b)所示，且有。求電路參數R，L，C。圖6-37答：由圖6-37(a)電路可知輸入阻抗其極點為6-37(b)可知系統極點為故因，即所以解得作出圖6-17答：(a)系統函數令，有則對數增益為由于零點在原點處，所以增益頻率特性 ，它是過處斜率為6dB的直線。令當時，當時，為折斷頻率處。作出波特圖如圖6-38(a)，圖6-38(b)所示。（a） （b）系統函數令，有則對數增益為當時，當時，為折斷頻率處，

圖6-38作出波特圖如圖6-39(a)，圖6-39(b)所示。（a） （b）圖6-39系統函數的極零圖如圖6-40所示，且其幅頻特性的最大值為l。畫出系統函數的波特圖。圖6-40答：(a)設系統函數為令，則解得，所以系統函數為則對數增益為相角作出波特圖如圖6-41(a)，(b)所示。（a） （b）設系統函數令，則當 時， 最大，

圖6-41解得，所以系統函數為對數增益為相角作出波特圖如圖6-42(a)，(b)所示。（a） （b）設系統函數為令，則解得，故系統函數對數增益相角

圖6-42作出波特圖如圖6-43(a)，圖6-43(b)所示。（a） （b）圖6-43有源濾波器如圖6—44所示，設電路元件參數為，運算放大器設為理想的，試作出K分別為0.5、1、1.4三種情況下電壓傳輸函數的波特圖。圖6—44答：(a)令A，B點電位分別為，，則有節點電壓方程將，代入化簡得（1）當K=0.5時令 ，得則對數增益波特圖如圖6-45(a)所示。當K=1時令，得則對數增益波特圖如圖6—45(b)所示。（b）(3)當K=1.4時，則波特圖如圖6-46(a)所示。

圖6-45(b)圖6-46令A,B點電位分別為，，則有節點電壓方程代入數值化簡得(1)當K=0.5時，則對數增益波特圖如圖6-46(b)所示。(2)當K=1時，則對數增益波特圖如題圖6-47(a)所示。（a） （b）(3)當K=1.4時，

圖6-47則對數增益波特圖如題圖6-47(b)所示。個數。(1)(2)(3)(4)(5)(6)答：(1)R-H陣列為R-H陣列第一列系數無符號變化，系統穩定，無正實部根，有四個負實部特征根。(2)R-H陣列R-H陣列第一列系數有兩次變化，系統不穩定，存在兩個正實部特征根，和兩個負實部特征根。(3)R-H陣列由于R-H陣列第一列數列沒有符號變化，說明該系統在右半平面沒有極點，但出現全零行，說明軸上有極點。解輔助多項式，其根為 就是在虛軸上的極點。因此系統在虛上有2個單極點，有2個負實部特征根，系統為臨界穩定。R-H陣列由于R-H陣列有兩次符號改變，所以系統不穩定，且有2個正實部的特征根和3個負實部的特征根。當 時，為負值，為正值，此時R-H陣列有兩次符號改變，所以該系統不穩定，有2個正實部特征根和3個負實部特征根。R-H陣列中第一列元素有兩次符號變化，系統不穩定，有2個正實部特征根和4個負實部特征根。系統的特征方程如下，求系統穩定的K值范圍。(3)(1)R-H陣列由羅斯-霍維茨判據可知，要使系統穩定，則R-H陣列由羅斯-霍維茨判據可知，要使系統穩定，則R-H陣列由羅斯-霍維茨判據可知，要使系統穩定，則圖6—48所示的有源反饋網絡，已知元件參數為，，L=1H，求保證該網絡穩定工作的K值范圍。圖6-48答：設C1兩端電壓為u(t)，由圖6-48可列出方程取拉氏變換，可得整理，消去、可得代入元件值，得系統函數為其R-H陣列為由羅斯一霍維茨判據可知，系統穩定條件為當且僅當所以當時，網絡穩定工作。圖6-49(a)為一反饋系統框圖，P6—49(b)為其在K>0時作出的ω≥0部分的開環轉移函數的復軌跡。如K可取負值，試用奈奎斯特判據確定系統穩定的Ｋ值范圍，并通過羅斯－霍維茨判據校核。圖6-49答：因奈奎斯特圖的從0到部分被與從 到0部分在GH平面中關于實軸成鏡像對稱，所以K>0的奈奎斯特圖如圖6-50(a)所示圖6-50圖中K>0時的奈奎斯特圖不包含，故此時系統穩定又由圖P6-49(a)可知系統開環傳遞函數為當K取負值時，奈奎斯特圖由圖6-50(a)繞原點順時針方向旋轉180o得到，如圖6-50(b)當時，，位于負實軸上。①當時，即，奈奎斯特圖不包含點，此時系統穩定。②當時，即，奈奎斯特圖包含點，且點被圍繞一次，此時系統不穩定所以系統穩定的K取值范圍為K>-2。一反饋系統如圖6—51所示，作出奈奎斯特圖，并確定K>0時系統穩定的K一霍維茨判據校核。圖6—51答：由圖6-51得，開環轉移函數由于在處有一極點，因此當s沿軸變化時，該點在附近的路徑要用一小的半圓從右邊，這樣，s變化的閉區域不包含極點，如圖6-52(a)所示。令小的半圓上的，其中r為任意小的半徑，當s變化由極點旁繞過時，變到π/2，當時，可得的奈奎斯特圖如圖6-52(b)所示。當時，為實數。可作出另一部分的奈奎斯特圖如圖6-52(b)。（a） 圖6-52當時，且K為正時，奈奎斯特圖不包圍-1點，此時系統穩定，K的取值范圍為0<K<30當時，奈奎斯特圖包圍-1點，且圍繞-1點兩次，系統不穩定。所以系統穩定的K值范圍為0<K<30。已知反饋系統開環傳輸函數如下，試作其奈奎斯特圖。(1)則開環頻響特性為當時，；當 時，；當 時，；當時， 。所以K>0時奈奎斯特圖如圖6-53(a所示.。當K<0時，其奈奎斯特曲線與圖6-53(a)所示關于原點對稱，如圖6-53(b)所示。（a） （b）開環頻響特性為

圖6-53由于在處有一極點，因此當s沿 軸變化時，該點在附近的路徑要用一小的半圓從右邊繞過，這樣，s變化的閉區域不包含極點。令小的半圓上的，其中r為任意小的圓半徑，當s變化由極點旁繞過時，由-π/2變到π/2，此時奈奎斯特圖為一半徑為的半圓，當 時，奎斯特圖的半徑于無窮大，包括GH右半平面。當 時，為實數，可得K>0時的奈奎斯特圖如圖6-54(a)所示。當K<0時，其奈奎斯特曲線與圖6-54(a)所示關于原點對稱，如圖6-54(b)所示。（a）（b）則當時，；當 時，；當 時， ；

圖6-54當時，。所以K>0時奈奎斯特圖如圖6-55(a)所示.。當K<0時，其奈奎斯特曲線與圖6-55(b)所示關于原點對稱，如圖6-55(b)所示。（a）（b）圖6-55則當時，；當 時，；當時，；所以K>0時奈奎斯特圖如圖6-66(a)所示.。當K<0時，其奈奎斯特曲線與圖6-66(b)所示關于原點對稱，如圖6-66(b)所示。（a） 圖6-66一反饋系統如圖6-67所示，試判斷系統穩定的K值范圍。圖6-67答：由圖6—67可得系統函數此反饋系統的特征方程為R—H陣列據羅斯一霍維茨判據可知，要使系統穩定，須有故當5<K<8時，系統穩定。如在圖6—67圖上反饋支路中加人一個轉移函數為H(s)=2s+1善的情況。若要使系統穩定，即是根軌跡都位于s平面的左半平面，系統閉環特征式為答：系統開環傳遞函數為①，有三條根軌跡分支；②根軌跡起始于開環極點 ，一條終止于開環零點，另兩條止于無窮零點；[-1/2,1]為實軸上的根軌跡區間；③軌跡漸近線與實軸夾角為可知漸近線重心坐標④離點方程為系統不存在分離點；⑤起始角由對稱性根軌跡如圖6-68所示圖6-68由可得系統特征函數為則R-H陣列由羅斯霍維茨判據可知，系統穩定當且僅當解得。即在開環傳遞函數中加入一零點后，系統穩定的K值范圍放寬。6.23一反饋系統如圖6—69所示，試用羅斯-霍維茨判據和奈奎斯特判據兩種方法確定系統穩定的K值范圍。圖6—69答：圖6-69可知，系統的開環傳遞函數羅斯-系統特征方程為則R-H陣列若使系統穩定，須使上表第一列元素為正，即解得奈奎斯特判據當時，當時，當時，當時，當時當 時，。作系統奈奎斯特圖如圖6-70(a)所示(K>0)圖6-70點坐標，由圖及奈氏穩定判據可知，只有當A點在(-l，j0)點右側時，系統才穩定，所以有解得所以當時系統穩定。時，作出系統奈奎斯特圖如圖6-70(b)，即所以當時，系統穩定。綜上，得系統穩定的條件是 。7答案繪出下列離散信號的圖形。(2)(4)是一個公比的等比序列，且該序列起始于k=0。其圖形如圖7-10(a)所示。此序列也是起始于k=0的，其圖形如圖7-10(b)所示。此序列可看做是對連續時間信以每周期取16個樣本點而得到的，故其圖形如圖10(c)所示。此序列起始于k=1，其圖形如圖7-10(d)所示。圖7-10繪出下列離散信號的圖形。(2)(3) (4)答：(1)（2）各離散信號的圖形如圖7-11所示：圖7-11寫出圖7-12所示序列的函數表達式。圖7-12答：(a)圖7-12(a)所示序列在0≤k≤4時值為2，利用單位階躍序列將其表示為所示序列是一個為首項，為公差的等差右邊序列，函數表達式可表示成為圖7-12(c)所示序列在-3≤k≤-l時值為1，在1≤k≤3時值為-1，利用單位階躍序列將其表示為7-12(d)所示序列在區間[-3，-l]上值滿足表達式8+2k，在區間[1，3]上滿足表達式8-2k，且k=0時值為6，其函數表達式可表示為或或用歸納法寫出下列右邊序列的閉式。(1) (2)(4)答：(1)該序列中1與-l交替出現，滿足 ，該序列的閉式為該序列滿，則該序列的閉式為該序列滿，序列的閉式為該序列滿，序列的閉式為判斷下列信號是否是周期性信號，如果是則其周期為多少(1) (2)(5)答：根據周期信號的定義，對于離散信號若存在某個正整數N，，是以N為周期的。，π是無理數，故該函數不是周期信號；為有理數，故該函數是周期信號，周期T=5；.，T1、T2均為有理數，故該函數為周期信號，周期T=20。為有理數，故該函數為周期信號，周期T=125。因為序列交替取“-1”、“+1”，是周期信號，周期T=2。周期信號是無始無終信號，而該序列為有始信號，所以是非周期的。一個有限長連續時間信號，時間長度為2min，頻譜包含有直流至100Hz為便于計算機處理，對其抽樣以構成離散信號，求最小的理想取樣點數。答：信號最高頻率由奈奎斯特抽樣定理，有最小抽樣頻率則抽樣點數為一連續時間信號，其頻譜包含有直流、lkHz、2kHz、3kHz四個頻率分量，幅度分別為0.5、10.5、0.25；相位譜為0，試以10kHz的抽樣頻率對該信號抽樣，畫出抽樣后所得離散序列在0～25kHz頻率范圍內的頻譜。答：抽樣信號與原信號的頻譜之間有如下關系或即，抽樣后的頻譜為原序列頻譜以抽樣頻率為周期進行周期延拓得到的。故在0～25kHz范圍內共有三個周期。由題意可知原信號頻譜如圖7-13所示。圖7-13則經抽樣后頻譜圖7-14所示。圖7-14其中等于10kHz。對信號 ，以抽樣時間間隔分別為及進行理想抽樣，試繪抽樣后所得序列的頻譜并作比較。答：設三角函數表示為，波形圖如圖7-15（a），即因為故由對稱性，有令，有頻譜圖如圖7-15（b）所示。①當取樣間隔為， 正好是的最大角頻率的兩倍，根據香農抽樣定理知，頻譜不會現混疊；則頻譜圖如圖7-15(c)所示。②當取樣間隔為， ，小于 的奈奎斯特抽樣角頻率，所以頻譜會出現混疊則頻譜圖如圖7-15(d)所示。圖7-15由圖7-15可知，當時，滿足抽樣定理，能無失真恢復信號；而當時，不滿足抽樣定理，頻譜出現混疊。有人每年年初在銀行存款一次，銀行利息為，每年年底所得利息亦轉存下一年，試用差分程表示第年年初的存款額。答：第年年初的存款額包括以下三個部分：①上一年即第年年初的存款額；②第年年底所得利息；③第年年初的存款 。故有整理得圖7-16表示一離散信號換為一階梯形模擬信號激勵的RC電路圖。已知電路參數為，，試寫出描述與間關系的差分方程，這里為在離散時間 的值組成的序列。圖7-16答：由電路圖可得系統轉移函數為整理得其中，為電路的時間常數代入元件數值，可得故且RC電路的零輸入響應(為系數)(考慮時間段轉換器的輸出，且當時，有從而得 那么在時間段，有零狀態響應：所以在時間里，總響應為代入元件數值，并可求出時刻的響應為前向差分方程為連續時間系統中，常用有限時間積分器求取信號的平均值，即試證明可以將上述積分方程轉換為下列差分方程來近似求解。證明：把時間段以T為間隔分為N等份，如果時間段足夠小，可認為在內，保持區間端點的值不變，則原積分運算可用求和近似，有當時即一初始狀態不為零的離散系統。當激勵為e(k)時全響應為當激勵為-e(k)時全響應為求當初始狀態增加一倍且激勵為4e(k)時的全響應。答：當激勵為時，設零輸入響應為，零狀態響應為，則響應為當激勵為 時，則響應為聯立方程，解得故當初始狀態增加一倍且激勵為4e(k)時，全響應為試列出圖7—17所示系統的差分方程。圖7—17設第一個加法器的輸出為，則根據圖7-17(a)得消去中間變量，可得根據圖7-17(b)得一個加法器的輸出為，則根據圖7-17(c)得消去中間變量，可得試繪出下列離散系統的直接模擬框圖。答：離散系統的直接模擬框圖分別如圖7-18(a)、(b)、(c)、(d)所示。圖7-18畫出下列差分方程所示系統的直接型模擬框圖。(1)(2)答：系統的直接模擬框圖分別如圖7-19（a）、（b）所示。（b）圖7-19求下列齊次差分方程所示系統的零輸入響應。答：當激勵為0時，完全響應的邊界條件就是零輸入響應的邊界條件。系統特征方，特征故可設零輸入響應為代入邊界條件得所以系統特征方程，特征故可設零輸入響應為解得所以系統特征方程，特征故可設零輸入響應為解得所以系統特征方程，特征故可設零輸入響應為解得所以系統特征方程，特征故可設零輸入響應為解得所以系統特征方程，特征故可設零輸入響應為解得所以求下列齊次差分方程所示系統的零輸入響應。(1)(2)(3)(4)， ，答：(1)引入移序算子，則差分方程可寫成故，解得解得所以故，解得可設零輸入響應為代入邊界條件，有解得所以故，解得解得所以故，解得可設零輸入響應為代入邊界條件，有解得所以求下列差分方程所示系統的單位函數響應。(1)(2)(3)(4)答：(1)根據題意，引入移序算子，有則因為已知對應關系故系統單位函數響應為則故系統單位函數響應為根據題意，有則，即故系統單位函數響應為則故系統單位函數響應為則故系統單位函數響應為則故單位函數響應為(7)根據題意，有則故單位函數響應為求圖7-20所示系統的單位函數響應。圖7-20答：根據系統框圖，有差分方程令，得系統單位函數響應，即證明單位階躍序列響應與單位函數響應存在如下關系。(2)證明：(1)當激勵為 時，可得單位階躍響應，即可證。因為所以求圖7-21所示系統的單位函數響應與單位階躍序列響應。圖7-21答：由系統框圖可得差分方程為則故單位函數響應為單位階躍響應為用圖解法求圖7-22(a)、(b)、(c)所示各時間序列的卷積和的圖形，并歸納卷積和的表達式中上下限選定的原則。圖7-22答：卷積定義圖解過程如圖7-23所示.圖7-23圖解過程如圖7-24所示。圖7-24圖解過程如圖7-25所示。圖7-25法求題7．18的(4)、(5)、(6)小題所示系統在時零狀態響應序列的前項。答：畫出的反褶，移位圖形，如圖7-26所示圖7-26各式的零狀態響應 的前七項如圖7-27所示.。圖7-27下列序列的卷積和。(2)(4)答：(1)(2)(3)證明卷積和的移序特性，即若，則證明：令 ，則下列差分方程所示系統的零狀態響應。(1)(2)(3)答：(1)故，即所以零狀態響應為根據題意，有故，所以零狀態響應為根據題意，有故，即所以零狀態響應為根據題意，有故 ，即所以系統零狀態響應為一離散系統當激勵時的零狀態響應為，求當激勵為時的零狀態響應。答：當激勵為時，系統零狀態響應為，當激勵為時，系統零狀響應為。所以當激勵為時，系統單位函數響應為所以當激勵為時，零狀態響應為一離散系統的差分方程及初始條件如下：零輸入響，零狀態響及全響。比較時全響應值與給定的初始條件值，說明二者不同的原因。答：(1)特征根，可設零輸入響應為代入邊界條件，有解得求得零輸入響應為又根據差分方程，有故則單位函數響應為所以零狀態響應為全響應為全響應的初始條件為由此知，該全響應值與給定初始條件值相同，這是因為零狀態響應滿足系統框圖如圖7-28所示。圖7-28一系統的系統方程及初始條件分別如下：零輸入響，零狀態響及全響。(2)判斷該系統是否穩定。(3)繪出系統框圖。答：(1)根據題意，有故可設零輸入響應為解得所以又因為，所以故全響應因為特性根圖如圖7-29所示圖7-29顯然，特征根2不在單位圓內，系統不穩定。系統框圖如圖7-30所示圖7-30有一球由10m高度自由落下，設每次彈起高度為前次的3/4，求第5次及第8答：kh(k)，則，故有第5次及第8次彈起的高度分別為用差分方程求0～k的全部整數和答：根據題意，可得引入移序算子，有故，則所以有由N段阻值為R的均勻導線連接成正多邊形，頂點分別為，多邊形中點也以相導線與各頂點連接。設點電壓為零，點外加電壓為，證明任意相鄰兩頂點與間的電流可下式表示：式中答：根據題意畫出電路圖如圖7-31所示。圖7-31有如下關系列出結點電位方程，有整理，得特征方程特征根記，則代入條件，有解得令，整理有，所以所以銀行向個人或企業的貸款采用逐月計息償還的方式，從貸款下一個月起，每月還款數為元，對于第個月所欠的貸款銀行收取貸款月利率并計入下個月的欠款總數中。設在第個月時欠行的貸款數額為。試列出關于欠款額的差分方程還貸方式一般有下列五種部本金和利息。這種方法一般適當于短期貸款。簡單又干脆，適用于在整個貸款期內家庭收入有穩定來源的貸戶，如國家機關、科研、教學單位人員等。目前住房公積金貸款和多數銀行的商業性個人住房貸款都采用了這種方式。(月)歸還，同時付清上一次退休臨近收入將遞減。些目前收入不高、但是預計以后收入會有大幅度上升的人，例如剛剛開始工作或創業的年輕人。⑤等額累進還款法。其與“等比累進還款法”類似，不同之處就是將在每個時間段上約定多還款的“固定比例”改為“固定額度”，以同樣在每個時間段內每月以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式。這種方法的優點與等比累進法相同，在國外的年輕人中十分流行后兩種消費信貸還款方式。假設某人從銀行貸款40萬元，20年內償還，月息0.42％。試計算五種還款方式下的還款計劃(每月還款數目)公式。其中在等比累進還款法和等額累進還款法中，以五年為一個階段，每個階段還款數目比上一個階段分別增加50％(等比累進還款法)或2000元(等額累進還款法)。答：（1）由題意，表示第個月時欠銀行的貸款數額，則表示第個月時欠銀行的貸款數額，分析題意可知，包括以下兩個部分：①第個月的欠款；②第個月銀行收取的貸款利息。但由于第月有還款額，故可建立以下關系式：整理可得關于欠款額 的差分方程為（2）求五種還款方式下的還款計劃公式。①到期一次還本付息法。此法是中途不還款，相當于沒有，那么就是解齊次差分方程由， ，可得20年即240個月，令 ，可計算得到，即到第240個月時，需一次性還109.376萬元，亦即還款計劃為②等額本息還款法設每月還款數額為元，考慮到第l個月才開始還款。故從而差分方程為且有用逐次迭代的方法可得由題意知， ， ，，代入上式得解得即采用此法的還款計劃為③等額本金還款法總共40萬元平攤到240個月，每月需還的本金部分就是元，第 個月的貸款利息為，則第個月需還款，將其代入原差分方程可得化簡得到差分方程可見 是個等差數列，由 ，公差為，將其代入的表達式中，有即采用此法的還款計劃為④等比累進還款法設第l～60個月每月還款元，則第1個月欠款額第2個月欠款額第3個月欠款額第60個月欠款額個月每月還款l.5m。對于第二個五年來說，其初始值應為，由以上(前個五年)推導過程可知，到第120個月時，欠款額為第121～180個月每月還款。對于第三個五年來說，其初始值為，則到第l80個月時，欠款額為第181～240個月每月還款。對于第四個五年來說，其初始值為，則到第240