54第12章壓軸題之猜想證明類一、單選題1．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，點D，E關于CB對稱，連接EB并延長，與AD的延長線交于點F，連接DE，CE．對于以下結論：①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．其中正確的是()A．①④ B．②③ C．①③ D．②④2．如圖，過的對角線上一點作分別交于點分別交于點，那么圖中四邊形的面積與四邊形的面積的大小關系是（）A． B． C． D．不能確定3．已知的三條邊長分別為6，8，12，過任一頂點畫一條直線，將分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條4．如圖，在中，，，直角的頂點是中點，、分別交、于點、．給出以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，在中，，，是邊上的動點（不與點重合），將沿所在直線翻折，得到，連接，則下面結論錯誤的是（）A．當時，B．當時，∠C．當時，D．長度的最小值是16．如圖，中，，是上一點，且，是上任一點，于點，于點，下列結論：①是等腰三角形；②；③；④，其中正確的結論是（）A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④7．橫、縱坐標均為整數的點稱為整點．如圖，一列有規律的整點，其坐標依次為，，，，，，，根據這個規律，第個整點的坐標為（）A． B． C． D．8．如圖，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于點E，BC邊上的中線AD交BE于G，連接DE，則下列結論正確的是（）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤9．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，下面說法正確的是（）①的面積的面積；②；③；④．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③10．如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，過點O作線段EF，使點E點F分別在邊AD，BC上（不與四邊形ABCD頂點重合），連結EB，EC設ED＝kAE，下列結論：①若k＝1，則BE＝CE；②若k＝2，則△EFC與△OBE面積相等：③若△ABE≌△FEC，則EF⊥BD．其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．②③二、填空題11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分線交AC于D．過點A作AE⊥BC于E，交BD于G，過點D作DF⊥BC于F，過點G作GH∥BC，交AC于點H，則下列結論：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四邊形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正確的結論是__．12．已知：如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點，AC＝10，BD＝8，則MN＝_____．13．如圖，在中，平分，，，與的延長線交于，連接．過作于，交于．下列結論：①；②；③；④中，其中正確的有______（填序號）．14．如圖，矩形中，點在邊上(不與重合)，將矩形沿折疊，使點分別落在點處有下列結論：①與互余；②若平分則③若直線經過點則④若直線交邊分別于當為等腰三角形時，五邊形的周長為．其中正確結論的序號是_____________________．15．已知點是反比例函數圖象上的動點，軸，軸，分別交反比例函數的圖象于點、，交坐標軸于、，且，連接.現有以下四個結論：①；②在點運動過程中，的面積始終不變；③連接，則；④不存在點，使得.其中正確的結論的序號是__________．三、解答題16．已知在平面直角坐標系內的位置如圖，，，、的長滿足關系式．（1）求、的長；（2）求點的坐標；（3）在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形．若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．17．如圖，在中，，，點在邊上，將沿折疊，點的對應點為點，點在邊上，將沿折疊，點的對應點也為點．（1）的度數為______．（2）設，當為何值時，為等腰三角形？（3）能否為直角三角形？若能，請求出相應的值：若不能，請說明理由．18．問題提出：（1）同一平面內的兩條線段和，已知，，則線段最大值是______；最小值是______．問題探究：（2）如圖，四邊形中，，，，且，問是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．問題解決：（自行作圖并解決）（3）在中，，，以為一邊作正方形，連接，問是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相應最值；若不存在，請說明理由．19．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使，再連接（或將繞著點逆時針旋轉得到），把，，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖2，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于，兩點，連接，探索線段，，之間的數量關系，并加以證明．20．八年級數學課上，老師出示了如圖框中的題目．如圖，在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且，試確定線段與的大小關系，并說明理由．小華與同桌小明討論后，進行了如下解答（1）特殊情況入手探索：當點為的中點時，如圖1，確定線段與的大小關系．請你直接寫出結論：_______（填“”，“”或“”）（2）一般情況進行論證：對原題中的一般情形，二人討論后得出（1）中的結論仍然成立，并且可以通過構造一個三角形與全等來證明．以下是他們的部分證明過程：證明：如圖2，過點作，交于點．（請完成余下的證明過程）圖2（3）應用結論解決問題：在邊長為的等邊三角形中，點在直線上，且，點在直線上，．則_______（直接寫出結果）21．（1）性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，則PB_______PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如圖2，小明發現，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則，請幫小明說明原因．（3）應用：如圖3，在小區三條交叉的道路AB，BC，CA上各建一個菜鳥驛站D，P，E，工作人員每天來回的路徑為P→D→E→P，①問點P應選在BC的何處時，才能使PD+DE+PE最小？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，則PD+DE+PE的最小值是多少？22．如圖，鈍角中，，為上一點，，為上一點，．（1）作于，交的延長線于．①判斷與的大小關系，并說明理由．②求證；（2）若，，求的長．23．在△ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高．問題發現：（1）如圖1，若∠ACB=90°，點E是線段AB上一個動點(點E不與點A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CF，連接BF，我們會發現CD，BE，BF之間的數量關系是CD=(BE+BF)，請你證明這個結論；提出猜想：（2）如圖2，若∠ACB=60°，點E是線段AB上一個動點(點E不與點A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點C逆時針旋轉60o，得到線段CF，連接BF，猜想線段CD，BE，BF之間的數量關系是；拓廣探索：（3）若∠ACB=α，CD=k·AB(k為常數)，點E是線段AB上一個動點(點E不與點A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點C逆時針旋轉α，得到線段CF，連接BF，請你利用上述條件，根據前面的解答過程得出類似的猜想，并在圖3中畫出圖形，標明字母，不必解答．24．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于點D．點G是射線AD上一點．（1）若GE⊥GF，點E，F分別在AB，AC上，當點G與點D重合時，如圖①所示，容易證明AE+AF＝AD．當點G在線段AD外時，如圖②所示，點E與點B重合，猜想并證明AE，AF與AG存在的數量關系．（2）當點G在線段AD上時，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．25．已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α（0°＜α≤90°）．（1）觀察猜想如圖1，當α＝90°時，請直接寫出線段CD與BE的數量