滬教版八年級上冊

第18章正比例函數與反比例函數19.2證明舉例—添加輔助線的基本方法（第5課時）目錄1

學習目標2

新課講解3

課本例題4

課本練習6隨堂檢測7課堂小結5

題型講解學習目標1．通過證明舉例的學習和實踐，懂得演繹推理的一般規則，初步掌握規范的表達格式；了解證明之前進行分析的基本思路；2．能利用全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質來證明有關線段相等、角相等的簡單問題；3．知道添置輔助線的基本方法，會添置常見的輔助線。復習引入：如圖，從下列4個條件：

AB=A'B'

AC=A'C'

BC=B'C'④∠C=∠C'=90°⑤∠B=∠B'任取三個為題設，一個為結論組成一個真命題，簡述理由。

復習：一.全等三角形的判定定理1、兩條邊及它們的夾角對應相等（S、A、S）2、兩角及它們的夾邊對應相等（A、S、A）3、兩個角及其中一個角的對邊對應相等（A、A、S）4、三邊對應相等

（S、S、S）新課引入：

我們已用畫圖的方法說明了上述結論的正確性，用疊合法說明了1、2、3結論的正確性，今天我們嘗試證明4的正確性。已知：如圖，在△ABC與△A’B’C’中，AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’求證：△ABC≌△A’B’C’探究1：如何運用現有的判定定理1，2，3證明例題9？例題9：已知:如圖,在△ABC與△A’B’C’中,AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’.求證:△ABC≌△A’B’C’.證明:設邊BC最長.如圖，把△ABC與△A’B’C’拼在一起，使邊BC與B’C’重合，并使點A、A’在B’C’的兩側；再聯結A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2,∠3=∠4(等邊對等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性質).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC與△A’B’C’中,AB=A’B’(已知)∠B’A’C’=∠BAC(已證)AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S)例題9：已知:如圖,在△ABC與△A’B’C’中,AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’.求證:△ABC≌△A’B’C’.例題10：已知：四邊形ABCD中，AB=DC，∠B=∠C求證：∠A=∠D探究2：如何證明兩角相等？歸納：解題過程中使用到的輔助線添加方式，證明角相等的方法。例題10：已知：如圖17-14,四邊形ABCD中,AB=DC,∠B=∠C.求證:∠A=∠D.方法一：證明:分別聯結AC、DB(如圖17-15).在△ABC與△DCB中,AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已證)BC=CB(已知),∴△ABC≌△DCB(S.A.S)得AC=DB(全等三角形的對應邊相等).在△ABD與△DCA中,DB=AC(已知)AB=DC(已知)AD=DA(公共邊),∴△ABD≌△DCA(S.S.S)∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的對應角相等).例題10：已知：如圖17-14,四邊形ABCD中,AB=DC,∠B=∠C.求證:∠A=∠D.方法二：延長BA、CD交于點E，構造等腰三角形，利用等腰三角形的知識解決此題怎樣添置輔助線要在以后的學習中不斷實踐、探索、領悟，要重視圖形的運動對添線的啟示，而構造基本圖形以及補全圖形是常用的添線方法.1.已知:如圖,AC與BD相交于點O,且AC=BD,AD=BC.求證:OA=OB.課本練習2.已知:如圖，點DE在△ABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE.求證:BD=CE.如圖，已知AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AF⊥CD，垂足為點F.求證：CF=FD.證明：連接AC，AD.

∵在△ABC和△AED中，AB=AE，

∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SAS）.∴AC=AD.

又∵AF⊥CD，

∴CF=FD.

ABCDEF隨堂檢測2.如圖,已知BA⊥AC,CD⊥DB,AC與BD相交于點O,AC=DB.求證:BA=CD.∴△ABC≌△DCB(HL),∴BA=CD.證明:連接BC.∵BA⊥AC,CD⊥DB,∴∠A=∠D=90°.3.如圖,AB=AD,BC=DC,E,F分別是DC,BC的中點.求證:AE=AF.∴△ACD≌△ACB(SSS),∴∠ACE=∠ACF.∵BC=DC,E,F分別是DC,BC的中點,∴CE=CF,證明:連接AC.∴△ACE≌△ACF(SAS),∴AE=AF.4.如圖,AD為△ABC的中線,點F在AC上,BF交AD于點E,且BE=AC.求證:AF=EF.∴△PDB≌△ADC(SAS),∴BP=AC,∠P=∠DAC.∵BE=AC,∴BE=BP,∴∠P=∠BEP.∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.證明:延長AD至點P,使DP=DA,連接BP.P5.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,

BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,求點D到AB的距離.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB,DC⊥AC,∴∠C=∠AED=90°.∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS),∴CD=DE.又∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8,∴DE=DC=2.6.∴點D到AB的距離為2.6cm.解:過點D作DE⊥AB于點E.E在幾何解題中,常常需要添加輔助線構造全等三角形,以溝通條件與結論之間的聯系.構造全等三角形,添加輔助線常見類型有以下幾種:(1)直接連線構